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1、第九讲、排列、组台、二项式定理六、 统计（一）随机抽样 1.了解随机抽样的意义。 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。（二）总体估计 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。 3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。七、
2、概率（一）事件与概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。（二）古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式。 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。分类计数原理和分步计数原理 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有
3、 种不同的方法3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 5原理浅释 （可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同）分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步
4、骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理排列与组合的基本问题 1排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3排列数公式：（）4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定5排列数的另一个计算
5、公式：= 6组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合7组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示8组合数公式：或9 组合数的性质1：规定：；组合数的性质2：+ 分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_3600_捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进
6、行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_240_种排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_30_条隔板法：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法
7、错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,442个、3个、4个元素的错位排列容易计算关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：5个元素的全排列为：；剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的) 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的) 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的) 种 120-1-44用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、元素的错位排列问题容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定
8、位置的排法种数,宜用容斥法二项式定理1二项式定理及其特例：（1），（2）2二项展开式的通项公式：3常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各
9、二项式系数和：，令，则随机事件事件的概率 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作3概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件6等可能
10、性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件7等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率8随机事件的概率、等可能事件的概率计算首先、对于每一个随机实验来说，可能出现的实验结果是有限的；其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P（A）=m/n来进行计算9等可能性事件的概率公式及一般求解方法 求解等可能性
11、事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m（3）应用等可能性事件概率公式P=计算 确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏互斥事件有一个发生的概率 1 互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(AB)=）P(A+B)=P（A）+ P(B)一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥2对立事件的概念:事件和事
12、件B必有一个发生的互斥事件 A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生这时P(AB)=, P(A+B)=P（A）+ P(B) 一般地,3 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的 从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的
13、补集，即A=U，A=对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件4事件的和的意义:事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生 当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的， 因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1P（）5 要弄清，的区别 表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有，但=6
14、互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么7互斥事件有一个发生的概率 求解这类问题的数学思想方法是：在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互斥，并理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后再利用互斥事件的概率计算公式进行加法运算特别要注意的是，若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P（A+B）的值时绝对不可以使用P（A+B）=P（A）+P（B）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P（A+B）=1-P（）进行计算相互独立事件同时发生的概率 1相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若与是相互独立事件，则与，与，与
15、也相互独立2互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生3相互独立事件同时发生的概率：事件相互独立， 4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验5 关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的6独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在
16、n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率令k=0得 在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n令k=n得 在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pn7相互独立事件同时发生的概率 在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件；两事件相互独立是指其中的一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响对这两个概念的区分能力足以体现分析问题和解决问题的能力，这正是高考考查的主要目的另外要理解“积事件”的意义，特别要注意：若事件A与B不是相互独立事件而是互斥
17、事件，那么在计算P（AB）的值时绝对不可以使用P（AB）=P（A）P（B）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P（AB）=1-P（）进行计算8 n次独立重复实验恰好有k次发生的概率要求掌握n次独立重复实验恰好有k次发生的概率计算公式，对这个公式，不能死记硬背，要真正理解它所表示的含义，特别要理解其中的的意义此公式是概率的加法公式的应用，也为处理离散型随机变量的概率分布问题做了很好的铺垫一般高考不单独考这个知识点，经常是和互斥事件有一个发生的概率或者相互独立事件同时发生的概率综合起来考查离散型随机变量的期望与方差 1平均数的计算方法：如果有n个数据x1，x2，xn，那么=（x1+x2+xn）
18、叫做这n个数据的平均数，读作“x拔”2方差的计算方法：对于一组数据x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做这组数据的方差，而s叫做标准差抽样方法与总体分布的估计 1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为； 简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样.简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其
19、他更复杂抽样方法的基础 2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 适用范围：总体的个体数不多时 优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法 3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码 4.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分
20、所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层 5.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个数比较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样总体由差异明显的几部分组成6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样随机抽样、系统抽
21、样、分层抽样都是不放回抽样8.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.9.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.10.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.11.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概
22、率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。排列、组合与二项式定理练习题一、 选择题1若从集合P到集合Q=a,b,c所有不同的映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同的映射共有（ ）A32个B27个C81个D64个2某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ） A42B36C30D123全
23、班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P，排成前后两排，每排24人，排法总数为Q,则有（ ）APQBP=QCPQD不能确定4从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A8B12C16D20512名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）ABCD 6某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为16的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种A350B300C65D507有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人
24、重新站位，则有（ ）种重新站位的方法A1680B256C360D2808一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A7200 B3600 C2400 D12009在()n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ） A. 462 B. 330 C.682 D.792 10.在(1+x)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项,则的值为( ) A. B. C. D.二、填空题11某公园现有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见
25、，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有_种。12“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为_。13体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有_种。14若（），则 （用数字作答）。15在的展开式中，的系数为_。三解答题16用0，1，2，3，4，5这六个数字（1） 可组成多少个不同的自然数？ （2） 可组成多少个无重复数字的五位数？（3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？（4） 可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？（5） 可组成多少个
26、无重复数字的且大于31250的五位数？（6） 可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？17某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）18 已知，求（1）的值（2）及的值；（3）各项二项式系数和。19.证明：（1），其中；（2）证明：对任意非负整数，可被676整除。20（本题满分14分）已知是正整数，的展开式中的系数为7， （1）试求中的的系数的最小值（2）对于使的的系数为最小的，求出此时的系数（3）利用上述结果，求的近似值（精确到0.01）21.规定且（1） 求的值，（2）组合数的两个性质：；是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由(3) 已知组合数是正整数，证明：当是正整数时，