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1、河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知条件p：，q：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案解：由x1，推出1，p是q的充分条件，由1，得0，解得：x0或x1不是必要条件，故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断2.已知命题,总有,则为A. ,使得B. ,使得C. ,总有D. ,总有【答案】B【解析】由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.3.已知为等差数列的前n项
2、和，则等于A. B. 36C. 54D. 108【答案】B【解析】【分析】由等差数列性质，利用等差数列前n项和公式得，由此能求出结果【详解】解：为等差数列的前n项和，故选B【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.函数在上的最大值和最小值分别是（ ）A. 2，-18B. -18，-25C. 2，-25D. 2，-20【答案】C【解析】 由题意得， 令，解得或， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以函数的最小值为， 又，则，所以函数的最大值为，故选C.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之
3、栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C. a，b，c依次成公比为的等比数列，且D. a，b，c依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n
4、项和，即故答案为D.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】a，b，c成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出答案【详解】解：，b，c成等比数列，又，则，故选C【点睛】本题考查了余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.已知变量满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图：可得当，时取得最大值，所以，故选8.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】
5、A【解析】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质9.已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求得k，求出的导数，计算可得所求值【详解】解：由直线是曲线在处的切线，曲线过可得，即有，可得，则，故选B【点睛】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，函数求导，考查方程思想和运算能力，属于基础题10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到抛物线的准线的距离也为
6、5，即即抛物线的方程为易得，即M的坐标为;双曲线的左顶点为，则，且的坐标为其渐近线方程为,而，又由若双曲线的一条渐近线与直线平行，则有,选A考点：抛物线，双曲线的有关性质【名师点睛】本题考查双曲线与抛物线的有关性质，属容易题；解题时需要牢记双曲线的渐近线方程、顶点坐标等知识同时也要理解记忆抛物线的定义，解题时才能得心应手.11.设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当达到最小值时，t的值为A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解【详解】解：设，则，当时，当时，即函数在为减函数，在为增函数，所
7、以时取极小值即，即当达到最小值时，t的值为1，故选A【点睛】本题考查了建立函数解析式，函数求导，利用导数求函数的最值，属中档题12.已知椭圆C：点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得：，解不等式求解【详解】解：，设，由M在椭圆上，则所以，可得：，解不等式得故选C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解【详解
8、】解：，（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题14.函数的单调递增区间是_【答案】或【解析】【分析】求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间【详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【点睛】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题15.在数列中，“，又，则数列的前n项和为_【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得，可得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】解：，则，可得数列的前n项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，
9、最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题16.设、分别为双曲线C：的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】如图，由已知条件知圆的方程为由，得，又，即双曲线的离心率为，故答案为.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据题平面向量夹角的余弦公式，建立关于焦半径和焦距的关系从而找出
10、之间的关系，求出离心率三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且求角A的大小；设的面积为，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据正弦定理，化简整理得，结合解出，从而可得A的值由三角形的面积公式，从而解出，再结合基本不等式求最值，即可得到a的取值范围【详解】解：由正弦定理可得：，又，可得：，又，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立综上，边a的取值范围为【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式和三角恒等变换及运用，基本不等式求值域等知识，由函数值求角，要考虑角的范围，属于中档题18.已知；
11、函数有两个零点(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集即可；（2）若为真命题，为假命题，则一真一假试题解析：若为真，令，问题转化为求函数的最小值，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故若为真，则，或 (1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为(2)若为真命题，为假命题，则一真一假若真假，则实数满足，即；若假真，则实数满足，即综上所述，实数的取值范围为19.已知数列前n项和为，且求数列的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（1）（
12、2）【解析】【分析】运用数列的递推式：时，当时，结合等比数列的通项公式，可得所求；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】解：，可得，即，当时，化为，所以为等比数列，则；，可得前n项和，相减可得，化简可得【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.已知抛物线C：焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且求此抛物线C的方程；过点做直线交抛物线C于A，B两点，求证：【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（）设抛物线C：，点，代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即
13、可求得p=2，进而得到抛物线方程；（）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OAOB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证试题解析：（1）设，点，则有，所以抛物线的方程为（2）当直线斜率不存在时，此时，解得满足当直线斜率存在时，设，联立方程设，则综上，成立考点：抛物线的方程和性质21.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）.【解析】试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得
14、函数的极值；（2）当时，把直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）定义域为，.当时，为上的增函数，所以函数无极值.当时，令，解得.当，在上单调递减；当，在上单调递增.故在处取得极小值，且极小值为，无极小值.综上，当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解.令，则有.令，解得，当变化时，的变化情况如下表：且当时，；时，的最大值为；当时，从而的取值
15、范围为.所以当时，方程无实数解，解得的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为求椭圆C的方程；直线l与椭圆C交于，两个不同点，O为坐标原点，若的面积为，证明：为定值【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】由离心率为，由，解得：，即可求得椭圆C的方程；直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对
16、称，由三角形面积公式即可求得和的值，可得的值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用及韦达定理求得和的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得的面积，求得m和k的关系式，即可证明为定值.【详解】解：椭圆C：的焦点在x轴上，离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为，即，由，解得：，椭圆的标准方程为：；证明：当直线轴时，的面积，解得：，故当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立可得：，即，由韦达定理可知，点O到直线l的距离为则的面积整理得：，满足，代入综上为定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题