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1、第三章 空间向量与立体几何本章归纳整合高考真题1(2011课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角A PB C的余弦值证明(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD，故PABD.(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射 线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设
2、平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.2(2011北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC.(2)解设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
3、O xyz，则P(0， ，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)设PB与AC所成角为，则cos |.(3)解由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0.所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即60，解得t.所以PA.3(2011山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE；(2)若AC
4、BC2AE，求二面角ABFC的大小 (1)证明因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90.所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE. (2)解因为ACB90，所以CAD90.又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBC2AE2，则由题意得A(0，0，0)，
5、B(2，2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，1)，所以(2，2，0)，(0，2，0)又EFAB，所以F(1，1，1)，(1，1，1)设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1，0，1)设平面向量ABF的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21，则n(1，1，0)所以cosm，n.因此二面角A BF C的大小为60.4(2011辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q BP C的余弦值解如图，以D为坐标原点，线段DA的长为
6、单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz.(1)证明依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)所以0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，(1，0，0)，(1，2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1，1，1)，所以cosm，n.故二面角Q BP C的余弦值为.5(2011天津高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B
7、1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值解如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，) (1)易得(，)，(2，0，0)，于是cos，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0，2，0)，(，)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)同样地，设平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n，从而sinm，n
8、.所以二面角AA1C1B1的正弦值为.6(2011浙江高考)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A MC B为直 二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由(1)证明如图以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴， 射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)， P(0，0，4)，(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得0， 所以，即APBC.(2)解假设存在满足题意的M，设，1，则(0，3，4)(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可取n1(0，1，)由即得可取n2(5，4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3.综上所述， 存在点M符合题意，AM3.