《第二章线性模型及自相关与偏相关函数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章线性模型及自相关与偏相关函数.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1随机线性模型 对于随机差分方程： （I）系数及两个多项式满足一定约束且是一白噪声，当时，则称是（I）之一个平稳解，我们将给予上述线性模型进行详细讨论. 首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系. 例1 在某一专用计算机的固定程序中，包括如下的简单迭代计算 （II）其中为固定常数由于计算机的字长有限，每次计算上式时都会有舍入误差. 若以和分别表示计算机的计算值和真实值，则二者之差便是一个误差序列，我们现在来分析它的内在变化规律. 设在计算时产生的舍入误差为，于是计算值为 （2） （3）经验表明，舍入误差近似为均匀分布的白噪声，其
2、方差依计算机的字长而定. 于是（3）式就是计算（1）式时，计算误差序列的所满足的随机模型的特殊情况. 以后我们将主要讨论为正态分布的情况. （3）和普通差分方程，由于是随机序列，也是随机序列. 随着初值不同而不同，于是序列也各次取不同值，但是它与相应的都满足（3）式. 若用表示一步延迟算子，即 （4） 为输入为输出一级反馈系统为输入为输出，一级反馈系（数）统. 例2 空间飞行目标（如飞机、导弹或卫星）. 在一空域飞行时，其加速度常常被视为随机过程，在离散采样时，就是随机序列. 比如在绪论的例2中我们曾把看作满足第一章差分方程的平稳序列，并希望用时序分析方法估计的模型参数. 但不能象例1那样用简
3、单推导列出的模型. 随机序列与随机模型的关系： 与例1类似，从实际背景出发，能够准确导出误差序列所满足的随机模型，即称之为能用物理方法列出的随机模型. 与例2类似，对于物理过程，并无物理方法能准确列出它的模型. 事实上，我们说具有差分方程的模型，这只是一种近似地描述随机序列的手段，即用具有有理谱的平稳序列来近似描述. 这时我们用的样本序列来估计模型（差分方程），这就要用到时序分析方法. （绪论中例1例4，大量事例） 有理谱与随机模型（差分方程）关系一般归纳为三： 一、具有有理谱的平稳序列必满足随机模型. 二、随机模型（差分方程）的平稳解便于在最小（均方）差意义下进行最佳预报和控制设计. 三、有
4、理谱能较好地逼近各种连续谱密度. 差分方程（随机线性模型）： （I）用表示步线性推移算子，即，为常数并令 （II）于是（I）又可简写为： （III）把作为算子的多项式，通常假定它们之间无公共因子. 为方便计：参量常用向量表示 （IV）于是模型（I）和（III）中，用线性差分方程描述了和这两个序列不同时刻之间的线性关系，因而是一种线性时序模型. 但以后，我们总假定（I）式中为正态平稳白噪声，其方差，且假定（时刻的白噪声与时刻的不相关），与无公共因子. 常假定 另外，（I）与（III）两种特殊情况： or （V） or （VI）（若，即，而且满足（I）式，则有，这就是随机序列的均值不为零时的模型，
5、它不是我们讨论的主要对象. 相关函数与的完全相同，只要讨论（I）模型就够了.) 随机线性模型分类： （1）Moving Average Models：若（VI）式中的系数多项式（可逆滑动平均模型）的根全在单位圆外，即其根的模都大于1，我们称（VI）为. 其解叫做可逆滑动平均序列. 简称为MA模型和MA序列. 滑动平均阶数，和称为它们的参数. 简记模型（序列），表示阶纯滑动平均的. （2）Autoregressive Models：若（V）式的系数多项式的根全在单位圆外，即其根的模都大于1. 我们称（V）式为平稳自回归模型，其平稳解叫做平稳自回归序列，分别简称为模型和序列. 自回归阶数和称为它们
6、的参数. 记号模型（或序列），表示模型是阶纯自回归的. （3）模型（或序列）（平稳自回归-可逆滑动平均混和模型）若模型（I）或（III）式中的系数多项式和无公共因子，而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件，我们就称这一模型为. 其平稳解叫做自回归-可逆滑动平均混和序列，简称模型和序列. 用表示其阶数，前者表示自回归的阶数，后者表示滑动平均的阶数，和为其参数，参数表示：记号模型（或序列）.由上述知识知道：随机模型平稳性和可逆性的定义为 若给了一个随机模型（I）或（or（III），我们可以求出相应方程和的根，检验这些根是否全在单位圆外，以此来判定模型是否为平稳的和可逆的. 另外，亦可根据代数方程
7、根和系数的关系，把平稳性和可逆性条件转化成关于参数的约束条件，这样便利，从而引出平稳域和可逆域两个概念： 1平稳域：设模型（I）式的自回归阶数是，凡是使的根全在单位圆外的系数向量，构成一个维实向量空间的子集，记做，的根全在单位圆外，称为模型的平稳域. 模型（I）为平稳. 2可逆域：设模型（I）式滑动平均阶数为，凡是使的根全在单位圆外的系数向量，构成一个维实向量空间的子集，记做的根全在单位圆外，称为模型的可逆域，模型（I）式是可逆的 几个例子 例1 和的模型的平稳域模型形式为.相应的代数方程为，其根为，为使，必须且只须. . 为或模型的平稳域. 例2 和模型的平稳域模型形式为.相应的代数方程为，
8、此方程有两根且由二次方程的根与系数关系得：因而有 注意为复数时，由于是实数，必为的共轭复数；当为实数时，也必为实数，于是若，那么，而且无论为实数还是复数，都有反之，若且（即）. 时，显然有：； 均为复数时，只须证即可 若令，则 从而总有，于是. 那么从前者推出中至少有一个大于（）不妨设. 当为复数时，必有，这时；当都为实数时，由于，意味着. 从推得. 即或这就证明了无论为实数或复数，都有. 综上所述：，这是或的平稳域（绘图之）. 例3 和模型的可逆域与模型类似： （图a） 例4 和模型与模型类似： （图b） 例5 模型，它的平稳可逆域是 （图c）低阶模型的平稳域与可逆域 高阶模型参数的平稳域与
9、可逆检验： 当超过2时，模型的平稳可逆域就变得比较复杂，不可能用简单关系式表示. 但有办法检验它们的参数是否属于平稳可逆域. 一种是直接办法：求解代数方程，检查它的根是否在单位圆外，此法计算量较大，况且有时并不需要了解特征方程根的具体数值；另一种方法：运用Schur-Cohn准则和Jury准则来判定. 1Schur-Cohn准则：定义：系统特征多项式称为稳定的当且仅当系统特征多项式的根在复平面的单位圆内. 令的行列式为为的共轭复数，且令. 系统特征多项式稳定它的行列式满足. 若上述条件满足，则的所有的根均在单位圆内，否则至少有一个根不在单位圆内. 但不能判断究竟有几个，也不能判断这些根是在圆外
10、还是在圆上. 时 Schur-Cohn准则详释： 要检验 或 根是否全在单位圆外，可通过反演变换，由或得到对应特征多项式： 易知根全在单位圆外根全在单位圆内. 对应 系数序列为 的行列式为： 2Jury准则： Jury准则来源于E.I.Jury, Theory and Application of the Z-Transform Method (New York, Wiley, 1964) Jury准则有一个相当适用方便的结果（参数估计时将用之）. Theorem：多项式的根全部在单位圆内的一个充分条件是： （1）即当（1）成立时，多项式的根全都在单位圆内. Proof：问题等价于当（1）成立
11、时，Jury准则检验能通过，显然且为奇数时当为偶数时剩下需检验个不等式成立，显然成立. 由可得. 同理，可得一系列不等式：因此证得在单位圆内充要条件满足. 将此结果应用到模型，可以得到相应结果，即当-1或-1时，或满足平稳性或可逆性. Remark：Jury准则当条件不全成立时至少有一个根不在单位圆内. Jury检验准则依赖于以下的表格： 表中第一行中依次排列的系数，第二行是第一行中的逆序，其余各行中的元素如下定义： ， 在单位圆外和圆上无根 以及这个关系式都成立. （第一个不等式和其余不等式反向.） 怎样将和化成规定的形式，当然在中系数都是实的，然后才能作进一步讨论. 例要检验的所有根是否在单位圆外，就应转化为检验：（通过反演变换）. 的根是否在单位圆内，其对应的系数序列应该是. 同理，关于的可逆域的讨论，涉及的系数序列是. 第一章第二节所举的六个伪随机数列构造的秘密，它们分别按以下模式构造： （I） （II） （III） （IV） （V） （VI） 不是模型. （VI）的根为，其中它不满足平稳性条件.