第2讲、函数概念的深入理解.doc

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1、第二讲、函数概念的深入理解板块一、映射知能点全解：知能点一：映射的概念设、是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、，以及对应关系）叫做集合到集合的映射，记作：。知能点二：像与原像的概念 给定一个集合A到集合的映射，且，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的像，元素叫做元素的原像。特别提醒：1、对于映射来说，则应注意理解以下四点：（1）集合中每一个元素，在集合中必有唯一的象；（2）集合中不同元素，在集合中可以有相同的象；（3）允许集合中的元素没有象；（4）集合中的元素与集合中的元素的对应关系，可以是

2、：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。2、集合、及对应法则是确定的，是一个系统；3、对应法则有“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的； 例1：给出下列关于从集合到集合的映射的论述，其中正确的有_。中任何一个元素在中必有原象；中不同元素在中的象也不同；中任何一个元素在中的象是唯一的；中任何一个元素在中可以有不同的象；中某一元素在中的原象可能不止一个；集合与一定是数集；记号与的含义是一样的答案：及时演练，在的作用下，的原象是多少？14的象是多少？ 解：由 ，解得，故的原象是6; 又，故14的象是知能点三：一一映射一般地，设，是两个非空的集合，是集合到集

3、合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的不同的元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到的一一映射。特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：1、对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，也就是说，不允许“多对一”；2、集合B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合中不允许有剩余的元素。例2：下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射?(1)，对应法则；(2)，；(3)，对应法则取正弦；(4)，对应法则除以2得的余数；(5)，对应法则；(6)，对应法则作等边三角形的内切圆。解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合中有些元素(正整数)没有原

4、象；(2)是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数；(3)是映射，是一一映射，因为集合中的角的正弦值各不相同，且集合中每一个值都可以是集合中角的正弦值；(4)是映射，不是一一映射，因为集合中不同元素对应集合中相同的元素；(5)不是映射，因为集合中的元素(如4)对应集合中两个元素(2和-2)；(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆。边长不同，圆的半径也不同拓展知识点：1、设集合有个元素，集合有个元素，那么映射的个数为；映射的个数为。2、设集合、都有个的元素，那么到的一一映射的个数为例

5、3：已知集合，那么到的映射的个数为 256 个；到的一一映射的个数为 24 个。板块二、函数的相关概念知能点全解：知能点一：函数的概念 设、是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数y=f(x)的值域.特别注意：1、函数实际上就是集合到集合的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合, 为非空的数集；其中定义域，就是指原象的集合，值域，就是象的集合。2、函数符号表示“是的函数”，应理解为：（1）是自变量，

6、它是关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”，也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号外，还常用等符号来表示。3、判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1）的取值集合是否为空集（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。例 4：下列各式能否确定是的函数？ （1）；（2）；（3） 解：（1）不能。由得出，所以当时，故不符合函数的定义；（2）能；（3）不能。因为。知能点二：函数的值表示当时，函数的值，这个值就由“”这一对应关系来确定；与是不同的

7、，前者表示以为自变量的函数，后者为常数例5：已知，则 ； ； ； ； 。 答案：-1；41；。知能点三：函数的三要素 我们通常把对应法则、定义域A、值域称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。例6：下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 ； ； ； ； 答案：知能点四：区间的概念和记号名称定义符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间无穷区间无穷区间无穷区间无穷区间特别注意：书写区间记号时：有完整的区间外围记号，有两

8、个区间端点，且左端点小于右端点；两个端点之间用“，”隔开；无穷大是一个符号，不是一个数；以“”或“”为区间一端时，这一端必是小括号。例 7：将下列集合用区间表示： （1）； （2）； （3）。 答案：（1）；（2）；（3）。知能点五：分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。 如函数特别注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；3、分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例8： 已知 ，分别求的值。答案：

9、知能点六：复合函数如果，那么叫做和的复合函数，其中为内函数，为外函数。 例9：已知 求 解：； 板块三、函数的定义域与解析式知能点全解：知能点一：函数定义域的常见题型及解题常用方法1、给出函数解析式，求其定义域如果给出函数解析式却没有单独指明函数的定义域，那么该函数的定义域就是能使这个式子有意义的自变量的取值范围。使解析式有意义的常见形式： 分式的分母不得为零； 偶次根式中被开方数不小于零； 零的零次幂无意义； 对数的真数大于零； 指数和对数的底数必须大于零且不等于1； 三角函数中正切函数且；当函数由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。特别提醒： 1、求函数的定义域之前，不要对函

10、数的解析式进行化简或变形，以免引起定义域的变化。 2、当解析式是整式时，其定义域为。 3、当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。例 10：求下列函数的定义域，并用区间法表示：（1） （2） （3） 解：（1）要使函数有意义，必须：定义域为：（2）要使函数有意义，必须： 定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为： 2、抽象函数的定义域： 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见

11、的是求复合函数的定义域，其有三种情况： （1）已知的定义域是，求的定义域。该类题目实质上是由不等式所求的取值范围就是的定义域。例 11（1）：已知函数的定义域是，求函数的定义域 解：由题意知： 解得： 即函数的定义域为。（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域。该类型题目的实质是由的取值范围所求得的的取值范围就是函数的定义域。例 11（2）：已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解： 即函数的定义域为。（3）已知函数的定义域是，求函数的定义域。该类题目的解决方法是：先由函数的定义域求出函数的定义域，再由函数的定义域取得函数的定义域。例 11（3）：已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解： 即

12、函数的定义域为 解得：解得： 即函数的定义域为。3、函数定义域的逆向问题例 13：已知若函数的定义域是R，求实数的取值范围解：定义域是R,知能点二：函数解析式的常见的题型及解题常用方法：1、已知所求函数的类型（如：一次、二次函数、反比例函数等），求函数的解析式：待定系数法例 14：设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.解：设, 图象过点(0,3), 有f(0)=c=3,故c=3；又满足且=0的两实根平方和为10，得对称轴=2且=10，即且， a=1，b=-4， 2、求复合函数的解析式：（1）已知的解析式，求的解析式代换法例 15：已知，求的表达式解：（2）已

13、知的表达式，求的表达式换元法（ 注意新元的取值范围） 例 16：若,求 解：令t=则x=t-1, t1 代入原式有 （x1）3、构造方程组已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。板块四、函数的表示方法知能点全解：知能点一：函数的常用表示方法简介表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1、解析法的概念： 如果函数中，是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。例如，=60，=，,等等都是用解析式表示函数关系的。特别提醒：1、解析法的优点：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任

14、意一个自变量的值所对应的函数值；便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。2、解析法的缺点：并不是所有的函数都能用解析法表示；不能直观地观察到函数的变化规律。2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒：1、列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。2、列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应

15、的函数值。3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。特别提醒：1、图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。2、图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。知能点二：函数图像1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与轴垂直的直线，当该直线保持与轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图

16、像。例 17：下列图像中，那些可能是函数图像，把你认为正确图像的序号填写在横线上 。 2、函数图像的作图方法大致分为两种：（1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。（2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。3、一次函数和二次函数图像的作法：（1）一次函数图像的作法： 若时，在直角坐标平面内分别描出点、，过这两点连接而成的直线便是该一次函数的图形；若时，除描点之外，根据解析式任取一点描出，然后连接即可。（2）二次函数草图的作法： 首先根据对称轴方程，顶点坐标，分别求出对称轴方程和顶点坐标并将其作在直角坐标平面内。然后令，

17、若方程有实根，求出实根并将其对应得点，描在坐标平面内；若无实数根可根据二次函数的解析式在对称轴两侧等距地任找两点并描在坐标平面内。最后用一条光滑的曲线将这三点连接起来即可得到该二次函数的草图。知能点三：根据函数图像确定函数的定义域和值域 1、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在轴上的正投影所覆盖的区域；例 18：根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域（1） （2） （3） （4） 解：（1）定义域为；值域是。（2）定义域为；值域是；（3）定义域为；值域是；（4）定义域为；值域是。知能点四：分段函数图像

18、 有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。例 19：作出分段函数的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即： = 板块五、函数的值域知能点全解：知能点一：一次函数的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 及时演练：求下列函数的值域（1） （2） （3） （4） （5）当时，函数的值域为 。答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）知能点

19、二：二次函数的值域（最值）1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为2、二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例20： 分别求函数在下列区间上的值域：（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； 解：原函数经过配方得：，即该函数的对称轴方程为

20、：（1）， （2） （3） （4） （5） 由右图可知： 及时演练：求下列函数的值域（1）函数的值域是 。（2）当时，函数的值域为 。（3）当时，函数的值域为 。（4）已知 的定义域为，则的定义域为 。（5）已知集合，则用列举法表示集合为 。（6）已知，且，则的值域为 。 知能点三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。例21： 求下列函数的值域（1） （2） （3） 解：（1） 又 （2）由原函数可变形整理为： 可解得 （3）由原函数可变形整理为： 可解得

21、。及时演练： 求下列函数的值域 （1）当时，函数的值域 。 （2）已知，且，则的值域为 。 （3）已知集合，当时，函数的值域为 （4）函数的值域为 ；若时，其值域为 。知能点四：二次分式函数的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；分子、分母必须是既约分式。例22：求下列函数的值域（1）； （2）； （3）；解：（1）由原函数变形可得： 整理得： 当，即时，上述方程无解，也就是说，不是原函数的值。 当，即时，上述方程要有解，必有即： 解得：或 综

22、合得：原函数的值域为（2） 即值域为（3）由原函数变形可得：当时，上述方程的解为： 也就是说，是原函数值域中的一个值；当时，上述方程要有解，必有即： 解得：综合得：原函数的值域为：。例23：求函数的值域解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 当时，上述方程要在区间上有解，即要满足或 解得： 综合得：原函数的值域为：及时演练：求下列函数的值域 （1）函数的值域为 。 （2）函数的值域为 。 （3）函数的值域为 。（4）函数的值域为 。知能点五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某

23、区间上求值域问题，然后求其值域。例24： 求函数在下列条件下的值域 （1）； （2） 解：令 （1）将原函数换元得： 原函数的值域为；（2）将原函数换元得： 原函数的值域为。及时演练： 求下列函数的值域（1）函数的值域为 ；当时，其值域为 。（2）函数的值域为 ；当时，其值域为 。知能点六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例25：求下列函数的值域 （1） （2） 解：（1）函数图像如下图： （2）函数图像如下图： 由图像可知： 由图像可知： 原函数的值域为 原函数的值域为及时演练：（1）函数的值域为 ；（2）函数的值域为 ；知能点七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例26： 求下列函数的值域 （1） （2）解：（1） 令 解得: 即原函数的值域为。（2）由 解得： 令 即原函数的值域为及时演练：（1）函数的值域为 。（2）函数的值域为 。（3）函数的值域为 。