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1、21.2.3 21.2.3 因式分解法因式分解法 20(0)axbxca1.1.了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式 法解某些一元二次方程法解某些一元二次方程. .2.2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想. . 1.1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? ?2.2.什么叫因式分解什么叫因式分解? ?把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. .直接开平方法直接开平方
2、法配方法配方法x x2 2=a (a0)=a (a0)(x+m)(x+m)2 2=n (n0)=n (n0)公式法公式法)04,0(2422acbaaacbbx 认真思考下面大屏幕出示的问题认真思考下面大屏幕出示的问题, ,列出一元二次方程并列出一元二次方程并尽可能用多种方法求解尽可能用多种方法求解. .一个数的平方与这个数的一个数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果相等，倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？这个数是几？你是怎样求出来的？.32xx 小颖小颖, ,小明小明, ,小亮都设这个数为小亮都设这个数为x,x,根据题意得根据题意得: :.293 x.30或这个数
3、是:小颖是这样解的2x3x0.【 解 析 】小颖做得对吗小颖做得对吗? ?. 3x. 3这个数是:小明是这样解的2x3x,x,.【解析】方程两边都同时约去 得小明做得对吗小明做得对吗? ?. 03 xx.30或这个数是:小亮是这样解的2x3x,【 解 析 】 由 方 程得.032xxx0 x30.或. 3, 021xx小亮做得对吗小亮做得对吗? ?. 0, 0,个为那么这两个数至少有一如果两个因式的积等于即:小亮是这样想的.000,0015,030.000baba或或那么,0,ba如果反过来当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分解成两个一而另一边易于分解成两个一次因
4、式的乘积时次因式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法求解我们就可以用分解因式的方法求解. .这这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. .温馨提示温馨提示: :1.1.用分解因式法的条件是用分解因式法的条件是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而而右边等于零右边等于零; ;2. 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识关键是熟练掌握因式分解的知识; ;3.3.理论依旧是理论依旧是“如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零, ,那么至少那么至少有一个因式等于零有一个因式等于零.”.”【例【例1 1】用分解因式法解方程】用分解因式法
5、解方程: : (1)(1)5x5x2 2=4x;(2)x-2=x(x-2).=4x;(2)x-2=x(x-2). 2: 1 5x4x0,解x05x40.或. 045xx.54021，xx 2 x2xx20,x201x0.或. 012xx. 1221，xx例 题【解析【解析】分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是: :2.2.将方程左边因式分解将方程左边因式分解; ;3.3.根据根据“至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, ,转化为两个一元一次转化为两个一元一次 方程方程. .4.4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根分别解两个一元一次方程，它们的根就是原
6、方程的根. .1.1.化方程为一般形式化方程为一般形式; ;归纳：归纳：(1)x(1)x2 2-4=0; (2)(x+1)-4=0; (2)(x+1)2 2-25=0.-25=0.【解析【解析】(x+2)(x-2)=0,(x+2)(x-2)=0,x+2=0 x+2=0或或x-2=0.x-2=0.xx1 1=-2, x=-2, x2 2=2.=2.1.1.你能用分解因式法解下列方程吗？你能用分解因式法解下列方程吗？【解析【解析】(x+1)+5(x+1)-5=0,(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0 x+6=0或或x-4=0.x-4=0.xx1 1=-6, x=-6, x2 2=4.=4.
7、这种解法是不是解这两个方程的最好方法这种解法是不是解这两个方程的最好方法? ?你是否还有其它方法来解你是否还有其它方法来解? ?跟踪训练. 422，x1 1x x2.2.解下列方程解下列方程: : ，x03141 12 2x x2 2x x2 2,013 3- -4 4x x2 2x x2x104x30.或.43,2121xx【解析【解析】(1)（1 1）（）（x+2)(x-4)=0 (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0 x+2)(x-4)=0 (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0 x 2 0 x 4 0 或【解析【解析】设这个数为设这个数为x,x,根据题意根据题意, ,得得x=0
8、 x=0或或2x-7=02x-7=0.2x2x2 2=7x.=7x.2x2x2 2-7x=0,-7x=0,x(2x-7)x(2x-7) =0,=0,.27,021xx1.1.一个数平方的一个数平方的2 2倍等于这个数的倍等于这个数的7 7倍倍, ,求这个数求这个数. . 参考答案：参考答案：121.5;2.xx 122.5 ;3.xx 123.3;2.xx12144 .;.27xx 1255.2;.3xx 5. 3x(x2)5(x2)025)25(2xx1. 2. 015)53(2xx23. x(32)x1804.4. ) 12()24(2xxx2.2.用分解因式法解下列方程用分解因式法解下列
9、方程?有没有规律看出了点什么; 6, 1067:212xxxx得解方程3.3.观察下列各式观察下列各式, ,也许你能发现些什么也许你能发现些什么? ?);6)(1(672xxxx而; 1, 3032:212xxxx得解方程);1)(3(322xxxx而;23,2309124:212xxxx得解方程);23)(23( 491242xxxx而; 1,340473:212xxxx得解方程);1)(34( 34732xxxx而【解析【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：通过观察上述的式子，可得以下两个结论：（1 1）对于一元二次方程）对于一元二次方程(x-p)(x-q(x-p)(x-q)=0)
10、=0，那么它的两个，那么它的两个实数根分别为实数根分别为p p、q q；（2 2）对于已知一元二次方程的两个实数根为）对于已知一元二次方程的两个实数根为p p、q q，那么这，那么这个一元二次方程可以写成个一元二次方程可以写成(x-p)(x-q(x-p)(x-q)=0)=0的形式，的形式，一般地一般地, ,要在实数范围内分解二次三项式要在实数范围内分解二次三项式axax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),只只要用公式法求出相应的一元二次方程要用公式法求出相应的一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两的两个根个根x x1 1,x,x2 2, ,然后直接
11、将然后直接将axax2 2+bx+c+bx+c写成写成a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2),),就可以了就可以了. .归纳归纳二次三项式二次三项式axax2 2+bx+c +bx+c 的因式分解的因式分解即即axax2 2+bx+c=a(x-x+bx+c=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )4.4.（惠安（惠安中考）解方程中考）解方程:x:x2 2-25=0 -25=0 【解析【解析】(x+5)(x-5)=0(x+5)(x-5)=0 x+5=0 x+5=0或或x-5=0 x-5=0 xx1 1= -5,x= -5,x2 2=5=5.1.1.因式分解法解一元二次方程的步骤是因式分解法解一元二次方程的步骤是: :(1)(1)化方程为一般形式化方程为一般形式; ;(2)(2)将方程左边因式分解将方程左边因式分解; ;(3)(3)根据根据“至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, ,得到两个一元一次方程得到两个一元一次方程; ;(4)(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根两个一元一次方程的根就是原方程的根. .2.2.因式分解的方法因式分解的方法, ,突出了转化的思想方法突出了转化的思想方法“降次降次”，鲜明地显示了鲜明地显示了“二次二次”转化为转化为“一次一次”的过程的过程. .通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：