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1、计算机视觉第四章计算机视觉第四章2022/12/71现在学习的是第1页，共29页概 述曲线的分类曲线的分类规则曲线（可以使用初等解析函数来描述的，如圆、椭圆、双曲线、摆规则曲线（可以使用初等解析函数来描述的，如圆、椭圆、双曲线、摆线螺旋线、圆球面、圆柱面、圆锥面和圆环面等）线螺旋线、圆球面、圆柱面、圆锥面和圆环面等）自由曲线（以复杂方式自由变化的曲线或曲面，这类曲线自由曲线（以复杂方式自由变化的曲线或曲面，这类曲线/面无法用初面无法用初等解析函数来描述，但依然是光滑连续的）等解析函数来描述，但依然是光滑连续的）随机曲线（处处连续、处处不光滑并且处处不可导的非规则曲线，如随机曲线（处处连续、处处
2、不光滑并且处处不可导的非规则曲线，如地图边界、海岸线、水波以及超声等）地图边界、海岸线、水波以及超声等）如何使用离散的有限点构成一条光滑的曲线或曲面，一直是个关键问题从工程应用的角度讲，曲线曲面可分成两大应用需求：拟合型和设计型拟合型和设计型 拟合型：对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线或曲面，用以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。设计型：设计人员对其所设计的曲线（曲面）并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥。2022/12/72现在学习的是第2页，共29页概 述计算机辅助几何设计（计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,CA
3、GD）:通通过过模模拟拟复复杂杂表表面面产产品品生生产产过过程程中中的的模模线线样样板板法法（型型值值点点放放样样），用用数数学学的的方方法法来来定定义义自自由由曲曲面面和和曲曲线线，将将这这些些复复杂杂形形状状信信息息的的表表示示由由模模拟拟量量转转变变成成数数字字量量，并并交交由由计算机来完成，形成了计算机来完成，形成了CAGD。CAGD的的研研究究内内容容：根根据据定定义义形形状状的的几几何何信信息息建建立立相相应应的的曲曲线线或或曲曲面面方方程程，并并将将其其采采用用适适当当的的算算法法变变换换成成计计算算机机程程序序，通通过过在在计计算算机机上上运运行行这这些些程程序序，计计算算出出
4、描描述述该该曲曲线线（面面）的的数数据据点点集集，并并可可方方便便地地分分析析与与综综合合所定义形状的几何特征。所定义形状的几何特征。2022/12/73现在学习的是第3页，共29页概 述研究内容研究内容对几何外形信息的对几何外形信息的计算机表示计算机表示对几何外形信息的对几何外形信息的分析与综合分析与综合对几何外形信息的对几何外形信息的控制与显示控制与显示 主要体现在研究曲线和曲面的基本理论；参数主要体现在研究曲线和曲面的基本理论；参数多项式插值与逼近、参数样条曲线；样条曲线多项式插值与逼近、参数样条曲线；样条曲线的几何连续性；的几何连续性；Bezier曲线曲面、曲线曲面、B样条插值样条插值
5、曲面等等曲面等等2022/12/74现在学习的是第4页，共29页概 述对形状数学描述的要求：对形状数学描述的要求：从计算机对形状处理的角度来看从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已给唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已给定的有限信息决定的形状是唯一的定的有限信息决定的形状是唯一的（2）几何不变性：当用有限的信息决定一个曲面或曲几何不变性：当用有限的信息决定一个曲面或曲线时，如果这些点的相对位置确定后，那么曲线的线时，如果这些点的相对位置确定后，那么曲线的形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变。形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变。对在不同测量坐
6、标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。2022/12/75现在学习的是第5页，共29页概 述（3）易于定界：在工程上，曲线和曲面的形状总是有界易于定界：在工程上，曲线和曲面的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界的，形状的数学描述应易于定界（4）统一性：统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线标量函数：平面曲线 y=f(x)y=f(x)空间曲线空间曲线 y=f(x)y=f(x)z=g(x)z=g(x)矢量函数：平面曲线矢量函数：平面曲线 P(t)=x(t)y(t)P(t)=x(t)y(t)空间曲线空间
7、曲线 P(t)=x(t)y(t)z(t)P(t)=x(t)y(t)z(t)2022/12/76现在学习的是第6页，共29页概 述从形状表示与设计的角度来看从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观，具有明显的几何意义，设计不必考虑其数学表达2022/12/77现在学习的是第7页，共29页自由曲线曲面的发展过程自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片自由曲线和曲面的数学描述的标准形式自由曲线和曲面的数学描述的标准形式19641967年，美国
8、MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法将非有理Bezier曲线、有理Bezier曲线及非有理B样条曲线都统一在NURBS中2022/12/78现在学习的是第8页，共29页参数曲线基础参数曲线基础曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示缺点：1）形状与坐标轴相关2）会出现斜率无穷大的情况3）对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数描述4）
9、不便于编程和计算机处理2022/12/79现在学习的是第9页，共29页参数曲线基础参数曲线基础参数表示：空间曲线（曲面上）中的某一点P为P（t）=（x,y,z）参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间0，1外形设计关注的是曲线上各点之间的位置关系而不是它们具体的坐标值。参数表示法比非参数法更能满足形状数学描述的要求，具有更好的性能2022/12/710现在学习的是第10页，共29页参数表示的好处参数表示的好处有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算设设计计或或表表示示形形状状
10、更更直直观观，拥拥有有许许多多参参数数表表示示的的基基函函数数，如如Bernstein基和基和B样条函数，有明显的几何意义样条函数，有明显的几何意义2022/12/711现在学习的是第11页，共29页曲线曲面拟合方法生成方法生成方法插值插值点点通过型值点点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值插值逼近逼近提供的是存在误差的实验数据提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、曲线、B样条曲线等样条曲线等拟合：拟合：利用插值或逼近的
11、方法使所生成的曲线达到某些设计要利用插值或逼近的方法使所生成的曲线达到某些设计要求求2022/12/712现在学习的是第12页，共29页样条与样条插值样条与样条插值样条（样条（Spline）是一条通过一组指定点集来）是一条通过一组指定点集来生成光滑曲线的柔性带子，这样的曲线可用生成光滑曲线的柔性带子，这样的曲线可用分段三次多项式来描述。在计算机图形学中，分段三次多项式来描述。在计算机图形学中，样条曲线是指：由多项式曲线段连接而成的样条曲线是指：由多项式曲线段连接而成的曲线，在各段的边界处应满足特定的连续条曲线，在各段的边界处应满足特定的连续条件。件。插值样条曲线和逼近样条曲线插值样条曲线和逼近
12、样条曲线凸包：包围一组控制点的凸多边形的边界成凸包：包围一组控制点的凸多边形的边界成为凸包，不仅提供了曲线曲面与围绕控制点为凸包，不仅提供了曲线曲面与围绕控制点区域间的偏差度量，还保证了多项式光滑地区域间的偏差度量，还保证了多项式光滑地沿控制点前进。沿控制点前进。控制多边形：连接控制点的折线称作该曲线控制多边形：连接控制点的折线称作该曲线的控制多边形的控制多边形2022/12/713现在学习的是第13页，共29页参数连续性条件参数连续性条件传统的、严格的连续性传统的、严格的连续性称曲线称曲线P=P(t)在在 处处n阶参数连续，如果阶参数连续，如果它在它在 处处n阶左右导数存在，并且满足阶左右导
13、数存在，并且满足记号记号2022/12/714现在学习的是第14页，共29页参数曲线基础（参数曲线基础（5/6）几何连续性：只需限定两个曲线段在交点处的参数几何连续性：只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例而不必完全相等，因此：导数成比例而不必完全相等，因此：直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在 处处0阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在 处位置连续首位处位置连续首位相接，即相接，即记为记为1阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在 处处1阶几何连续，如果它在该阶几何连续，如果它在该 处处 ,并且切矢并且切矢
14、量方向连续量方向连续记为记为2022/12/715现在学习的是第15页，共29页参数曲线基础（参数曲线基础（6/6）2阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在 处处2阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在 处处（1）（2）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续（3）曲率相等）曲率相等2022/12/716现在学习的是第16页，共29页2022/12/717现在学习的是第17页，共29页参数多项式曲线（参数多项式曲线（1/4）样条描述为什么采用参数多项式曲线样条描述为什么采用参数多项式曲线表示最简单表示最简单理论和应用最成熟理论和应用最成熟定义定义-n次多项式曲线次多项式曲线2022/12
15、/718现在学习的是第18页，共29页参数多项式曲线（参数多项式曲线（2/4）矢量表示形式矢量表示形式加权和形式加权和形式缺点缺点 没有明显的几何意义没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难2022/12/719现在学习的是第19页，共29页参数多项式曲线（参数多项式曲线（3/4）矩阵表示矩阵表示矩阵分解矩阵分解几何矩阵几何矩阵控制顶点控制顶点基矩阵基矩阵M 确定了一组基函数确定了一组基函数2022/12/720现在学习的是第20页，共29页参数多项式曲线（参数多项式曲线（4/4）例子例子直线段的矩阵表示直线段的矩阵表示P0P1P
16、0+P1几何矩阵G基矩阵MT2022/12/721现在学习的是第21页，共29页三次三次Hermite曲线曲线(1/7)定义（定义（给定每个控制点切线的分段三次多项式给定每个控制点切线的分段三次多项式）给定给定4个矢量个矢量 ，称满足条件的三，称满足条件的三次多项式曲线次多项式曲线P(t)为为Hermite曲线曲线P0P1R0R12022/12/722现在学习的是第22页，共29页三次三次Hermite曲线曲线(2/7)矩阵表示矩阵表示条件条件2022/12/723现在学习的是第23页，共29页三次三次Hermite曲线曲线(3/7)合并合并解解2022/12/724现在学习的是第24页，共2
17、9页三次三次Hermite曲线曲线(4/7)基矩阵与基函数（调和函数）基矩阵与基函数（调和函数）2022/12/725现在学习的是第25页，共29页26三次Hermite样条（5/7）通常将TMk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：2022/12/726现在学习的是第26页，共29页27三次Hermite样条（6/7）Hermite基函数2022/12/727现在学习的是第27页，共29页28三次Hermite样条（7/7）特点可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和Kochanek-Bartels样条。Hermite曲线具有几何不变性。2022/12/728现在学习的是第28页，共29页三次三次Hermite曲线曲线(7/7)优点：优点：简单，易于理解简单，易于理解缺点：缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便不方便所有参数插值曲线的缺点：所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计不适合于外形设计2022/12/729现在学习的是第29页，共29页