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1、关于二次函数中的符号问题与求解析式第一页，本课件共有54页2回味知识点：回味知识点：1、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？的开口方向与什么有关？2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c与与y轴的交点是轴的交点是 .3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是 .a0时，开口向上；a0时，开口向下。（0、c）X=-第二页，本课件共有54页3归纳知识点：归纳知识点：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴
2、有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0 向下向下ao 下半轴下半轴c0-与与1比较比较-与与-1比较比较与与x轴交点个数轴交点个数令令x=1，看纵坐标，看纵坐标令令x=-1，看纵坐标，看纵坐标令令x=2，看纵坐标，看纵坐标令令x=-2，看纵坐标，看纵坐标第八页，本课件共有54页3、判断、判断y=ax2+bx+c符号符号a、b 、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c、4a-2b+c1-1第九页，本课件共有54页10快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符的符号：号：xo
3、y根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十页，本课件共有54页11抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符的符号：号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十一页，本课件共有54页12抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符的符号：号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十二页，本课件共有54页13抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符的符号：号：xyo快速回答
4、：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十三页，本课件共有54页14抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符的符号：号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十四页，本课件共有54页15练一练：练一练：1.已知：二次函数已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点的图象如图所示，则点M（，a）在（）在（）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 xoyD根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C0第十五页
5、，本课件共有54页16练一练：练一练：2、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下的图象如图所示，下列结论中：列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c)2b2，其中正确的个数是其中正确的个数是 （）A、4个个 B、3个个C、2个个 D、1个个xoyx=1B根据图像可得：1、a02、-13、=b-4ac04、C0第十六页，本课件共有54页17练一练：练一练：3、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下的图象如图所示，下列结论中：列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0;a-b+c0正确的个数是正确的个数是 （）A、
6、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C根据图像可得：1、a02、-13、=b-4ac04、C0第十七页，本课件共有54页184.4.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点的图象的一部分如图，已知它的顶点M M在第二象限，且经过在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),A(1,0),B(0,1),请判断实数请判断实数a a的范的范围围,并说明理由并说明理由.1MOBAyx1想一想：想一想：根据图像可得：1、a02、-03、a+b+c04、C1第十八页，本课件共有54页19 5.(06.5.(06.芜湖市芜湖市)如图，在平面直
7、角坐标系中，二次函数如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=axy=ax2 2+c+c（a0a0a0；b0b0；c0c0；a+b+c=0a+b+c=0其中正确其中正确结论结论的序号是的序号是 （答（答对对得得3 3分，少分，少选选、错选错选均不得分）均不得分）第第(2)(2)问问：给给出四个出四个结论结论：abc0abc02a+b0；a+c=1a+c=1；a1a1其中正确其中正确结论结论的序号是的序号是 （答（答对对得得5 5分，少分，少选选、错选错选均不得分）均不得分）xyO1-12仔细想一想：仔细想一想：第二十页，本课件共有54页212.若关于若关于x的函数的函数y=(a-2)x2-(2a-
8、1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，的图象与坐标轴有两个交点，则则a可取的值为可取的值为 ；1.如如图图是二次函数是二次函数y1=ax2+bx+c和一和一次函数次函数y2=mx+n的图象，观察图象的图象，观察图象写出写出y2 y1时，时，x的取值范围是的取值范围是_;3.(03武武汉汉)已知抛物已知抛物线线y=ax2+bx+c（a0)经过点（经过点（1，0），），且且满满足足4a4a2b2bc c0 0以下以下结论结论：a ab b0 0；a ac c0 0；a ab bc c0 0；b b2 2-2ac5a-2ac5a2 2其中正确的个数有（其中正确的个数有（）（A A）1 1个个 （B B
9、）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D）4 4个个第二十一页，本课件共有54页（1）二次函数）二次函数yax2+bx+c的的图图象如象如图图所示，那所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 这这五个代数式中，五个代数式中，值为值为正数的有正数的有（）练习练习A4个个 B3个个C2个个 D1个个yx-11第二十二页，本课件共有54页1.1.已已知知二二次次函函数数的的图图象象如如图所示，图所示，则有（）则有（）()a0,b0,c0 ()a0,b0,c0 (C)a0,b0,c0 (D)a0,b0,c0第二十三页，本课件共有54页（2）根据下列表格中二次函数）根据下列表格中二次函数y
10、ax2+bx+c的自的自变变量量与函数与函数值值的的对应值对应值，判断方程，判断方程ax2+bx+c=0（a0,a,b,c为为常数）的一个解的范常数）的一个解的范围围是（是（）x6.176.186.196.20yax2bxc-0.03-0.010.020.04A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C-0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20第二十四页，本课件共有54页yx02-3 （3）小明从右边的二次函数）小明从右边的二次函数yax2bxc的图象的图象观察得出下面的五条信息：观察得出下面的五条信息：a 0；c0；函数函数的最小值为的最小值为-3；当当x0时，时，y0；当当
11、0 x1x22时，时，y1 y2 你认为其中正确的个数有（你认为其中正确的个数有（）A2 B3 C4 D5 第二十五页，本课件共有54页 （4）请你写出一个二次函数）请你写出一个二次函数yax2bxc，使它，使它同时具有如下性质：同时具有如下性质：图象关于直线图象关于直线x1对称；对称；当当x2时，时，y0；当当x2时，时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十二页，本课件共有54页 4、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+b
12、x+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十三页，本课件共有54页 4、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才
13、能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十四页，本课件共有54页 4、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十五页，本课件共有54页5、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线
14、y=kx+4相交于相交于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点及轴交于原点及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线）在抛物线上是否存在点上是否存在点D，使，使S OCD=S OCB，若存在，求，若存在，求出点出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）y=-x2+6x第三十六页，本课件共有54页5、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交于相交于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点及轴交于原点及C点，（点，（1）求直线和
15、抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物）在抛物线上是否存在点线上是否存在点D，使，使S OCD=S OCB，若存在，若存在，求出点求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）第三十七页，本课件共有54页5、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交于相交于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点及轴交于原点及C点，点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上）在抛物线上是否存在点是否存在点D，使，使S OCD=S O
16、CB，若存在，求出点，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABCy=-x2+6x（4，8）（6，0）（2）S OCB=24设点设点D坐标为（坐标为（x，y）y=12y=12第三十八页，本课件共有54页 1、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为的图象的顶点为P（-2，9），且与），且与x轴有两个交点轴有两个交点A、B（A左左B右），右），S ABC=27，求：（，求：（1）二次函数的解析式；（）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（两点的坐标；（3）画出草图；（）画出草图；（4）若抛物线与）若抛物线与y轴交于轴交于C点，求四边形
17、点，求四边形ABCP的面积。的面积。试一试：试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30第三十九页，本课件共有54页2、已知：一次函数的图象交、已知：一次函数的图象交y轴于点（轴于点（0，-1），交），交抛物线抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（于顶点和另一点（2，5），试求这），试求这个一次函数的解析式和个一次函数的解析式和b、c的值。的值。点拔：点拔：y=3x-1抛物线抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为第四十页，本课件共有54页 3、已知、已知:抛物线抛物线y=ax2+bx+c过点（过点（-5，0）、（）、（0，）（）（1，6）三点，
18、直线）三点，直线L的解析式为的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与）求证：抛物线与直线无交点；（直线无交点；（3）若与直线）若与直线L平行的直线与抛物平行的直线与抛物线只有一个交点线只有一个交点P，求，求P点的坐标。点的坐标。点拔：点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与）设与L平行的直线的解析式为平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即解。即=0第四十一页，本课件共有54页4、已知：二次
19、函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线有最大值，它与直线 y=3x-1交于交于A（m，2）、）、B（n，5），且其中一个交），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；）此二次函数的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。先求出先求出A、B两点的坐标：两点的坐标：A（1，2）、）、B（2，5）若若A（1，2）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y=a(x-1)2+25=a+2 a=3又又函数有最大值函数有最大值,a=3不合不合,舍去舍去.若若B（2，5）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y
20、=a(x-2)2+52=a+5 a=-3则解析式为则解析式为y=-3(x-2)2+5第四十二页，本课件共有54页第四十三页，本课件共有54页1、已知二次函数、已知二次函数与轴两个交点为与轴两个交点为A（，0），），B（，0），），且满足且满足 ，求此二次函数解析，求此二次函数解析式。式。2、已知二次函数、已知二次函数 （1）求证：不论）求证：不论k取何值，这个函数的图像与取何值，这个函数的图像与轴总有两个交点。轴总有两个交点。（2）实数）实数k为何值时，这两个交点之间的距离为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。最小，并求这个最小距离。第四十四页，本课件共有54页（南京市中考题）
21、如果抛物线（南京市中考题）如果抛物线 与轴交于与轴交于A、B两点，点两点，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点B在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，0A=a,0B=b,若若a:b=3:1，求抛物线的解析式。，求抛物线的解析式。第四十五页，本课件共有54页已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程2x2+4x+k10有实数根，有实数根，k为正整数为正整数.（1）求）求k的值；的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函的二次函数数y2x2+4x+k1的图象向下平移的图象向下平移8个单位，求平个单位，求平移后的图象的解析式；移后的图象的解析式
22、；（3）在（）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直请你结合这个新的图象回答：当直线线yx+b(bk)与此图象有两个公共点时，与此图象有两个公共点时，b的取值的取值范围范围.第四十六页，本课件共有54页解（解（1）由题意，得）由题意，得168(k1)0，所以，所以k3，而，而k为正整数，所以为正整数，所以k1，2，3.（2）当）当k1时，方程时，方程2x2+4x+k10有一有一个根为个根为0；
23、当当k2时，方程时，方程2x2+4x+k10无整数无整数根；根；当当k3时，方程时，方程2x2+4x+k10有两个非有两个非0整数根；整数根；综上所述，综上所述，k1和和k2时，不合题意，舍时，不合题意，舍去，去，k3符合题意符合题意.当当k3时，二次函数为时，二次函数为y2x2+4x+2，把它，把它的图象向下平移的图象向下平移8个单位，得到的图象的解个单位，得到的图象的解析为析为y2x2+4x6.（3）设二次函数为）设二次函数为y2x2+4x6的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两点，则两点，则A(3，0)，B(1，0).依题意，得翻折后的图象如图所示，依题意，得翻折后的图象如图所示，当直线
24、当直线y x+b经过点经过点A时，可求得时，可求得b ；当直线；当直线y x+b经过点经过点B时，可求得时，可求得b .由图象可知，符合题意的由图象可知，符合题意的b(b3)的取值的取值范围为范围为 b .第四十七页，本课件共有54页如图如图1，已知二次函数，已知二次函数yx22x1的图象的图象的顶点为的顶点为A.二次函数二次函数yax2+bx的图象与的图象与x轴交于原点轴交于原点O及另一点及另一点C，它的顶点，它的顶点B在函在函数数yx22x1的图象的对称轴上的图象的对称轴上.（1）求点）求点A与点与点C的坐标；的坐标；（2）当四边形）当四边形AOBC为菱形时，求函数为菱形时，求函数yax2
25、+bx的关系式的关系式.图1第四十八页，本课件共有54页解如图解如图2.（1）因为）因为yx22x1(x1)22，所以顶点所以顶点A的坐标为的坐标为(1，2).又因为二次函数又因为二次函数yax2+bx的图象经过原点，且它的的图象经过原点，且它的顶点在二次函数顶点在二次函数yx22x1图象的对称轴图象的对称轴l上，所上，所以点以点C和点和点O关于直线关于直线l对称，所以点对称，所以点C的坐标为的坐标为(2，0).（2）因为四边形）因为四边形AOBC是菱形，所以点是菱形，所以点B和点和点A关于关于直线直线OC对称，因此，点对称，因此，点B的坐标为的坐标为(1，2).因为二次函数因为二次函数yax
26、2+bx的图象经过点的图象经过点B(1，2)，C(2，0)，所以，所以解得解得所以二次函数所以二次函数yax2+bx的关系式的关系式为为y2x2+4x.图2第四十九页，本课件共有54页1、如图，抛物线、如图，抛物线y=-x2+2x+3与与x轴相交于轴相交于A、B两点（点两点（点A在在点点B的左侧），与的左侧），与y轴相交于点轴相交于点C，顶点为，顶点为D（1）求出）求出A、B的坐标和的坐标和 ABC的面积的面积（2）在该抛物线的）在该抛物线的对称轴对称轴上是否存在点上是否存在点Q，使得，使得QAC的周长最的周长最小？若存在，求出小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由点的坐标；若不存在
27、，请说明理由（3）连接）连接BC，与抛物线的对称轴交于，与抛物线的对称轴交于点点E，点，点P为线段为线段BC上的一个动点，过上的一个动点，过点点P作作PF DE交抛物线于点交抛物线于点F点点P在线段在线段BC上移动的过程中，四上移动的过程中，四边形边形PEDF是否能成为平行四边形？是否能成为平行四边形？若能，求此时点若能，求此时点F的坐标；若不能，的坐标；若不能，请说明理由请说明理由QE是否存在一点是否存在一点P，使，使BCF的面积最的面积最大？若存在，求出点大？若存在，求出点P的坐标及的坐标及BCF的面积最大值若没有，请说明的面积最大值若没有，请说明理由理由第五十页，本课件共有54页2、（、
28、（2010宁波）如图，已知二次函数宁波）如图，已知二次函数 的图象经过的图象经过A（2，0）、）、B（0，-6）两点）两点（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与）设该二次函数的对称轴与x轴交于点轴交于点C，连接，连接BA、BC，求，求 ABC的面积的面积 第五十一页，本课件共有54页（2010宁波）如图，已知二次函数宁波）如图，已知二次函数 的图象经过的图象经过A（2，0）、）、B（0，-6）两点）两点（3）设（）设（1）中抛物线交）中抛物线交x轴于另一个点轴于另一个点D，在该，在该抛物线的对称轴上是否存在点抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得
29、 ABQ的周的周长最小？若存在，求出点长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请的坐标；若不存在，请说明理由。说明理由。（4）在（）在（1）中的抛物线上）中的抛物线上的第四象限内是否存在一点的第四象限内是否存在一点P，使，使 PBD的面积最大的面积最大?若存在，求出点若存在，求出点P的坐标及的坐标及 PBD的面积的最大值。的面积的最大值。若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。D第五十二页，本课件共有54页3、如图、如图,已知抛物线与已知抛物线与y轴相交于轴相交于C，与，与x轴相交于轴相交于A、B，点，点A的坐标为（的坐标为（2，0），点），点C的坐标为的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）点）点E是线段是线段AC上一动点，过点上一动点，过点E作作DE x轴于点轴于点D，连结，连结DC，当，当DCE的面积最大时，求点的面积最大时，求点D的坐标；的坐标；（3）在直线）在直线BC上是否上是否存在一点存在一点P，使，使ACP为等腰三角形，若存在，为等腰三角形，若存在，求点求点P的坐标，若不存在，的坐标，若不存在，说明理由说明理由.第五十三页，本课件共有54页感谢大家观看第五十四页，本课件共有54页