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1、专题023：三角函数的图象与性质（复习设计）（师）考试要求：1考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用2考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用3掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象通过三角函数的图象研究其性质4注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用知识结构1“五点法”作图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)2三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos
2、 xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：无对称轴对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性奇偶奇3两条性质(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式4三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin
3、 x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题基础自测：1函数ycos，xR(C)A是奇函数 B是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数2函数ytan的定义域为(A)A. B. C. D.3(2011全国新课标)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减 Bf(x)在单调递减 Cf(x)在单调递增 Df(x)在单调递增解析f(x)sin(x)cos
4、(x)sin，由最小正周期为得2，又由f(x) f(x)可知f(x)为偶函数，因此k(kZ)，又|可得，所以f(x)cos 2x，在单调递减答案A4ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一个对称中心是.答案B5下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是(D)A.(0，)B. C. D.6函数f(x)cos的最小正周期为_解析T. 答案7的定义域是_8. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_对称例题选讲：1三角函数的定义域与值域例1：(1)求函数ylg sin 2
5、x的定义域(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值分析： (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决解(1)依题意.(2)设sin xt，则t.y1sin2xsin x2，t，故当t，即x时，ymax，当t，即x时，ymin.小结：(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2x
6、bsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)2三角函数的奇偶性与周期性例2：函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数分析：先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性解析y2cos21cossin 2x为奇函数，T.答案A小结：求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函
7、数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解3三角函数的单调性例3：已知f(x)sin xsin，x0，求f(x)的单调递增区间分析：化为形如f(x)Asin(x)的形式，再求单调区间解f(x)sin xsinsin xcos xsin.由2kx2k，kZ，得：2kx2k，kZ，又x0，f(x)的单调递增区间为.小结：求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，若为负则要先把化为正数4三角函数的对称性例4：函数ycos图象的对称轴方程可能是()Ax Bx Cx Dx分析：对ycos x的对称轴为xk，把“x”看作一个整体，即可求解析(1)令2xk(k
8、Z)，得x(kZ)，令k0得该函数的一条对称轴为x.本题也可用代入验证法来解答案A注：进一步分析对称中心。小结：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用例5：写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.解(1)ysin，它的增区间是ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为，kZ；增区间为，kZ.最小正周期T.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，
9、kZ.最小正周期：T.探究提高(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x) (其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(2)对于yAtan(x) (A、为常数)，其周期T，单调区间利用x，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.巩固作业：A组：一、 选择题：1.已知f(x)cos(x)sin(x)为偶函数，则可以取的一个值为(D)A.
10、B. C D2.若函数f(x)asin xbcos x在x处有最小值2，则常数a、b的值是(D)Aa1，b Ba1，b Ca，b1 Da，b13已知，（），则（ ） 或 略解：由得或（舍），4若，则（） 5对于函数f(x)2sinxcosx，下列选项正确的是( )Af(x)在(，)上是递增的 Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2 Df(x)的最大值为2【解析】f(x)sin2xf(x)在(，)上是递减的，A错； f(x)的最小正周期为，C错；f(x)的最大值为1，D错；选B.6若、(，)，那么“”是“tantan”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充
11、分又不必要条件【解析】、(，)，tanx在此区间上单调递增当时，tantan；当tantan时，.故选C.二、填空题：7.已知函数f(x)sin(0)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，则的值为_（答：2）8.若函数ysin xsin(0)的最小正周期为，则_7_.9.已知函数f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则f(x)的最小正周期是_解析由f(x)(sin xcos x)sin xsin2xsin xcos xsin 2xsin.最小正周期为.答案10. 函数f(x)sin的单调减区间为_解析f(x)sinsin，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kZ
12、，得：kxk，kZ.故所求函数的减区间为(kZ)答案(kZ)11. (1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.解析(1)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，k，kZ.答案(1)(2)k，kZ三、解答题：12. (1)求函数y的定义域(2)已知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值解(1)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如
13、图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.(2)由题意得：f(x)cos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.又x，2x，sin.故当x时，f(x)取最大值1；当x时，f(x)取最小值.13.已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值.解(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos xcos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，所以2或2，故或.14已知函数f(x)sinxcosx，f(x)是f(x)的导函数(1)求f(x)及函数yf(x)的最小正周期；(2)当x0，时，求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的值域【解析】(1)f(x)cosxsinxsin(x)yf(x)的最小正周期为T2.(2)F(x)cos2xsin2x12sinxcosx1sin2xcos2x1sin(2x)x0，2x， sin(2x)，1，函数F(x)的值域为0,1B组：一、选择题：二、填空题：三、解答题：