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1、计算方法第一章误差现在学习的是第1页，共39页数值计算方法上课时间：1-18周周三上午三、四节上课地点：第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房 其余周次：A1-403考试方式：闭卷成绩计算方法：笔试60%，平时20%，上机20%实验工具：MatLab现在学习的是第2页，共39页数值分析数值分析是数学与计算机技术结合的 一门学科，是利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支。现在学习的是第3页，共39页现代复杂工程技术问题现代复杂工程技术问题的的解决解决步步骤骤工程问题上机计算数学模型结果分析问题解答设计算法现在学习的是第4页，共39页数值分析涉及的主要内容计算机只
2、能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成的小型软件包）1.数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的解法，分直接方法和间接方法 2.插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办法得到点之间的值 3.数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分，利用数值方法求解 4.常微分方程和偏微分方程的数值解法 现在学习的是第5页，共39页数值分析需要考虑哪些问题1.计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量，用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。说明了算法方法的重要
3、性2.存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空间。现在学习的是第6页，共39页数值分析需要考虑哪些问题3.数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关。例：一元二次方程 其精确解为如用求根公式：和字长为8位的计算器求解，有又现在学习的是第7页，共39页数值分析需要考虑哪些问题 现在学习的是第8页，共39页误差的来源和基本概念误差的来源1.模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的误差。不是数值方法考虑的问题 2.测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。
4、也不是数值方法考虑的问题 3.截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。这是计算数学考虑问题 4.舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四舍五入，由此产生的误差称舍入误差。数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响 现在学习的是第9页，共39页误差的基本概念绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误差。绝对误差可正可负，是有量纲的。误差是无法计算的，但可以估计出它的一个上界。即：现在学习的是第10页，共39页现在学习的是第11页，共39页相对误差和相对误差限相对误差和相对误
5、差限记作相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正可负。相对误差的估计，即：实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：现在学习的是第12页，共39页现在学习的是第13页，共39页例：重力加速度常数g。两者均有三位有效数字后者的绝对误差大，而相对误差分别为两者相等，与量纲的选取无关现在学习的是第14页，共39页有效数字若近似值若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个的绝对误差限是某一位数的半个单位，则说单位，则说 x 精确到该位，若从该位到精确到该位，若从该位到 x的的左面第一位非零数字一共有左面第一位非零数字一共有n位，则称近似位，则称近似值值x有有n位有效数字。位有效数字。现在学习的是第15页，
6、共39页例：3.14有三位有效数字；3.1416有五位有效数字，误差限为0.00005又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900是六位有效数字。前者的误差限为，后者为，写成标准的浮点数为：现在学习的是第16页，共39页当其中，有效数字的个数是l,即现在学习的是第17页，共39页有效数字：由绝对误差决定有效数字：由绝对误差决定现在学习的是第18页，共39页现在学习的是第19页，共39页现在学习的是第20页，共39页有效数字与相对误差现在学习的是第21页，共39页此定理说明，相对误差限是由有效数字决定。现在学习的是第22页，共39页现在学习的是第23页，共39页现在学习的是第24页
7、，共39页现在学习的是第25页，共39页现在学习的是第26页，共39页数值计算中误差的传播1.对函数的计算：现在学习的是第27页，共39页数值计算中误差的传播2.对多元函数的计算：现在学习的是第28页，共39页数值计算中误差的传播3.四则运算中误差的传播：现在学习的是第29页，共39页证明第二条如下：现在学习的是第30页，共39页数值计算中的若干准则1.关于数值稳定性的算法 一个程序往往需要进行大量的四则运算才能得出结果，每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法，否则就称之为不稳定的算法。现在学习的是第31页，共39页现在学习的是第32页
8、，共39页现在学习的是第33页，共39页现在学习的是第34页，共39页数值计算中的若干准则结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的结果仍然有四位有效数字。这说明算法设计的重要性2.注意避免两个相近数的减法现在学习的是第35页，共39页数值计算中的若干准则3.简化计算步骤，减少运算次数例：计算例：计算 的值。的值。只需只需14次乘法。次乘法。又如：现在学习的是第36页，共39页采用采用“秦九韶算法秦九韶算法”例：计算多项式例：计算多项式只需只需n次乘法和次乘法和n次加法。次加法。一般要注意，能在循环外计算就不要放在循环内计算现在学习的是第37页，共39页数值计算中的若干准则4.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值另外，很小的数作除数有时还会造成计算机溢出而停机。现在学习的是第38页，共39页数值计算中的若干准则5.防止大数吃掉小数现在学习的是第39页，共39页