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1、第六节 二次函数的应用【回顾与思考】 二次函数应用【例题经典】用二次函数解决最值问题例1 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式
2、； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠
3、配方法或最值公式，而不是解方程【考点精练】1二次函数y=x2+x-1，当x=_时，y有最_值，这个值是_2在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_m3影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相
4、比，刹车距离相差_米4（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？5（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克） 25 24 23 22销售量y（千克）2000250030003500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断y与x之
5、间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？6（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x30）存在如下图所示的一次函数关系式 （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利
6、润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）7施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示） （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下8（2006年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD
7、（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米 求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； 若2米CD3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）答案:例题经典 例1：解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y且有（作辅助线构造相似三角形），即=，y=-x+5，S=xy=-x2+5x（2x4），此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5，当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x
8、=4时，S有最大值S最大=-42+54=12考点精练 1-1，小，- 27 3364解：矩形MFGN矩形ABCD，AB=2AD，MN=x，MF=2x，EM=EF-MF=10-2x，S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，当x=时，S有最大值为5解：（1）正确描点、连线由图象可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，点（25，2000），（24，2500）在图象上， ，y=-500x+14500（2）P=（x-13）y=（x-13）（-500x+14500）=-500x2+21000x-=-500（x-21）2+32000，P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-，当
9、销售价为21元/千克时，能获得最大利润6解：（1）设y=kx+b由图象可知，y=-20x+1000（30x50） （2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x2+1400x-20000a=-200，P有最大值当x=-=35时，P最大值=4500即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元（3）31x34或36x397解：（1）M（12，0），P（6，6） （2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）2+6，抛物线过O（0，0），a（0-6）2+6=0，解得a=，这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x （3）设点A的坐标为
10、（m，-m2+2m），OB=m，AB=DC=-m2+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，BC=12-2m，即AD=12-2m，L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米8（1）当AD=4米时，S半圆=（）2=22=2（米2） （2）AD=2r，AD+CD=8，CD=8-AD=8-2r，S=r2+ADCD=r2+2r（8-2r）=（-4）r2+16r，由知CD=8-2r，又2米CD3米，28-2r3，25r3，由知S=（-4）r2+16r=（3.14-4）r2+16r=-2.43r2+16r=-2.43（r-）2+，-2.430，函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴r=3.3又2.5r33.3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r=3时，S有最大值，S最大值=（-4）32+163（3.14-4）9+48=26.1326.1（米2）答：隧道截面面积S的最大值约为26.1米2