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1、第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量2在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是()A.2B.C.0D.03已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()A90B60C30D04已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,
2、3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若，则等于()A28B28C14 D145已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a3e12e2e3，be12e3，则(6a)(b)等于()A15B3C3D56已知正方体ABCDABCD的棱长为 a，设a，b，c，则，()A30 B60C90 D1207如图，四面体OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OMMA，N为BC中点，则等于()A.abcBabcC.abcD.abc8已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C是线段AB上一点，且，则C点的坐标为()A. B.C. D.9若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,
3、0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)10已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD的长等于()A3 B4 C5 D611如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A. B.C. D.答案C解析如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)从而(1,1，1)，(1,2,
4、0)，(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则即得令a2，则n(2,1,2)所以点E到平面ACD1的距离为h.12如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为，则等于()A120 B60C75 D90答案D解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，cos()0，90.二、填
5、空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a、b、c两两垂直，则(x，y，z)_.答案(64，26，17)解析由题意得解得14已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_答案解析设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系AB2，A1B11，ACBD2，A1C1B1D1，平面BDD1B1平面ABCD，
6、B1BO为侧棱与底面所成的角，B1BO60，设棱台高为h，则tan60，h，A(0，0)，D1(，0，)，B1(，0，)，C(0，0)，(，)，(，)，cos，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.15三棱锥PABC中，PAPBPCABAC1，BAC90，则直线PA与底面ABC所成角的大小为_答案45解析由条件知，ABAC1，BAC90，BC，PBPC1，BPC90，取BC边中点E，则PE，AE，又PA1，PEA90，故PAE45，E为BC中点，PEBC，AEBC，BC平面PAE，平面PAE平面ABC，PAE为直线PA与平面ABC所成角16已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿
7、对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_答案解析过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM，BM，CN，DN，MN1.由于，|2()2|2|2|22()()212()22(000)，|.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？请说明理由解析设c1a2b，则1，2.即cab.a、b、c共面18(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一
8、点，BG2GD，a，b，c，试用基底a，b，c表示向量.解析BG2GD，.又ac2b，b(ac2b)abc.19(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BCCD1.(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30，求线段AB的长度解析解法一：(1)CDAB，CDBC，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)ABBC，ABCD，AB平面BCD，ABBD.CBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45.二面角CABD的大小为45.(3)过点B作BHAC，垂足
9、为H，连接DH.平面ACD平面ABC，BH平面ACD，BDH为BD与平面ACD所成的角BDH30.在RtBHD中，BD，BH.又在RtBHC中，BC1，BCH45，在RtABC中，AB1.解法二：(1)同解法一(2)设ABa，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,0，a)，C(0,1,0)，D(1,1,0)，(1,1,0)，(0,0，a)平面ABC的法向量(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n(x，y，z)，则有nxy0，naz0，z0，取y1，则x1，n(1,1,0)cos，n，由图可知二面角CABD为锐角，二面角CABD的大小为45.(3)(0,1，a)，
10、(1,0,0)，(1,1,0)设平面ACD的一个法向量是m(x，y，z)，则myaz0，mx0，令z1，ya，则m(0，a,1)直线BD与平面ACD所成角为30，cos，mcos60，解得a1，AB1.20(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，C，AA1AC，D为CC1上的点，且CC13C1D，求二面角BB1DA的余弦值解析以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1AC3，则A(0,3,0)，B1(3,0,3)，D(0,0,2)(0，3,2)，(3，3,3)设平面ADB1的法向量n(1，)，则即解得n(1，2，3)又平面BB1D的法向量(0,3,0)，
11、cosn，.由题意可知，二面角BB1DA为锐角，二面角BB1DA的余弦值为.21(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离解析(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)(2,2,0)，(0,2,4)，(2，2,1)，(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACA
12、FA.BE平面ACF.(2)解：由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.22(本小题满分14分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平
13、面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则sin.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.解法二：(1)如图(
14、a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.