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1、第2章误差的基本性质与处理现在学习的是第1页，共126页第一节第一节随机误差随机误差当当对同同一一量量值进行行多多次次等等精精度度的的重重复复测量量时，得得到到一一系系列列不不同同的的测量量值（常常称称为测量量列列），每每个个测量量值都都含含有有误差差，这些些误差差的的出出现没没有有确确定定的的规律律，即即前前一一个个误差差出出现后后，不不能能预定定下下一一个个误差差的的大大小小和和方方向向，但但就就误差差的的总体而言，却具有体而言，却具有统计规律性，律性，该类误差称差称为随机随机误差差。现在学习的是第2页，共126页随随机机误差差是是由由人人们不不能能掌掌握握，不不能能控控制制，不不能能调节
2、，更更不不能能消消除除的的微微小小因因素素造造成成。这些些因因素素主主要要有有以下几方面：以下几方面：1.测量量装装置置方方面面的的因因素素：零零部部件件配配合合的的不不稳定定性性、零零部件的部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。2.环境境方方面面的的因因素素：温温度度的的微微小小波波动、湿湿度度与与气气压的的微微量量变化化、光光照照强度度变化化、灰灰尘以以及及电磁磁场变化化等。等。3.人人员方面的因素：瞄准、方面的因素：瞄准、读数的不数的不稳定等。定等。一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因现在学习的是第3页，共126页二、随机误差的本质特征二、随机误
3、差的本质特征1、具具有有随随机机性性：测测量量过过程程中中误误差差的的大大小小和和符符号号以不可预知形式的形式出现。以不可预知形式的形式出现。2、产产生生在在测测量量过过程程之之中中：影影响响随随机机误误差差的的因因素素在测量开始之后体现出来。在测量开始之后体现出来。3、与与测测量量次次数数有有关关系系：增增加加测测量量次次数数可可以以减减小小随机误差对测量结果的影响。随机误差对测量结果的影响。现在学习的是第4页，共126页三、随机误差的分布三、随机误差的分布（一）正态分布（一）正态分布（normaldistribution）多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布多数随机误差都服从正态分布，
4、因而正态分布在误差理论中具有十分重要的地位。在误差理论中具有十分重要的地位。现在学习的是第5页，共126页n（1）有界性）有界性在在一一定定的的测测量量条条件件下下，随随机机误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定定界界限限。即即随随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。n（2）对称性）对称性绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。n（3）抵偿性）抵偿性由由随随机机误误差差的的对对称称性性知知，绝绝对对值值相相等等的的正正负负误误差差出出现现的的次次数数相相等等。因因此此，取取这这些些误
5、误差差的的算算术术平平均均值值时时，绝绝对对值值相相等等的的正正负负误误差差产产生生相相互互抵抵消消现现象象。对对于于有有限限次次测测量量，随随机机误误差差的的算算术术平平均均值是一个很小的量，而当测量次数无限增大时，它趋向于零。值是一个很小的量，而当测量次数无限增大时，它趋向于零。n（4）单峰性）单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。1.服从正态分布随机误差的特征服从正态分布随机误差的特征现在学习的是第6页，共126页设设被被测测量量的的真真值值为为L0，一一系系列列测测量量值值为为li，则则测测量量列列中中的随机误差的随机误差i为：为
6、：iliL0式中，式中，i=1,2,n。正态分布的概率分布密度正态分布的概率分布密度f()与分布函数与分布函数F()为为式式中中，为为标标准准差差（或或称称为为方方均均根根误误差差）；e为为自自然然对对数的底，其值为数的底，其值为2.7182。现在学习的是第7页，共126页其数学期望为其数学期望为方差为方差为平均误差为平均误差为此外由此外由可解得或然误差为可解得或然误差为现在学习的是第8页，共126页图图21图图2-1所所示示为为正正态态分分布布曲曲线线以以及及各各精精度度参参数数在在图图中中的的坐坐标标。值值为为曲曲线线上上拐拐点点A的的横横坐坐标标，值值为为曲曲线线右右半半部部面面积积重重
7、心心B的横坐标，的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。AB现在学习的是第9页，共126页2.算术平均值算术平均值对对某某一一量量进进行行一一系系列列等等精精度度测测量量，由由于于存存在在随随机机误误差差，其其测测得得值值皆皆不不相相同同，应应以以全全部部测测得得值值的的算算术术平平均均值值作作为为最最后后测测量量结结果。果。（1）算术平均值的意义）算术平均值的意义在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值系列测量值,常取算术平均值常取算术平均值作为测量结果的最佳估计（真值）。作为测量
8、结果的最佳估计（真值）。现在学习的是第10页，共126页无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 在在测测量量次次数数无无限限增增多多，且且无无系系统统误误差差的的情情况况下下，由由概概率率论论的的大大数数定定律律可可知知，算算术术平平均均值值以以概概率率为为1趋趋近近于于真值。真值。因为因为根据正态分布随机误差的抵偿性，当根据正态分布随机误差的抵偿性，当n n充分大时，有充分大时，有 现在学习的是第11页，共126页由由此此可可见见，如如果果能能够够对对某某一一量量进进行行无无限限多多次次测测量量，就就可可得得到到不不受受随随机机误误差差影影响响的的测
9、测量量值值，或或其其影影响响甚甚微微，可可予予忽忽略略。这这就就是是当当测测量量次次数数无无限限增增大大时时，算算术术平平均均值值（数数学学上上称称之之为为最最大大或或然然值值）被被认认为为最最接接近近于于真真值值的的理理论论依依据据。由由于于实实际际上上都都是是有有限限次次测测量量，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。现在学习的是第12页，共126页一一般般情情况况下下，被被测测量量的的真真值值为为未未知知，不不可可能能按按式式：iliL0求求得得随随机机误误差差，这这时时可可用用算算术术平平均均值值代代替替被被测测量的真值进行计算，则有量
10、的真值进行计算，则有式式中中，li为为第第i个个测测得得值值，i=1,2,n；vi为为li的的残残余余误误差差（简称残差）。（简称残差）。如如果果测测量量列列中中的的测测量量次次数数和和每每个个测测量量数数据据的的位位数数皆皆较较多多，直直接接按按 计计算算算算术术平平均均值值，既既繁繁琐琐，又容易产生错误，此时可用简便法进行计算。又容易产生错误，此时可用简便法进行计算。现在学习的是第13页，共126页（2）算术平均值简便计算法）算术平均值简便计算法任任选选一一个个接接近近所所有有测测得得值值的的数数l0作作为为参参考考值值，计计算算出出每个测得值每个测得值li与与l0的差值，的差值，lili
11、l0，i=1,2,n；因因则则式式中中的的为为简简单单数数值值，很很容容易易计计算算，因因此此按按式式一一求求算算术平均值比较简便。术平均值比较简便。现在学习的是第14页，共126页例例2-1测测 量量 某某 物物 理理 量量10次次，得得 到到 结结 果果 如如 表表 2-1，求求 算算 术术 平平 均均 值值。表表2-1序号lilivi11879.64-0.01021879.69+0.04+0.0531879.60-0.05-0.0441879.69+0.04+0.0551879.57-0.07-0.0761879.62-0.03-0.0271879.64-0.01081879.650+0
12、.0191879.64-0.010101879.650+0.01任选参考值：任选参考值：l0=1879.65计算差值计算差值li和和列于表中，列于表中，很容易求很容易求得算术平得算术平均值均值现在学习的是第15页，共126页（3）算术平均值的计算校核）算术平均值的计算校核算算术术平平均均值值及及其其残残差差的的计计算算是是否否正正确确，可可用用求求得得的的残残余余误误差差代代数数和和性性质质来来校校核核。根根据据残残差差的的定定义义式式，有有残余误差的代数和为残余误差的代数和为式中的算术平均值根据下式计算：式中的算术平均值根据下式计算：则有则有，即，即残余误差代数和为零残余误差代数和为零。现在
13、学习的是第16页，共126页利利用用残残余余误误差差代代数数和和为为零零的的性性质质，可可以以校校核核算算术术平平均均值值及及其其残残余余误误差差计计算算的的正正确确性性。但但是是在在实实际际计计算算中中，经经常常遇遇到到小小数数位位较较多多或或除除不不尽尽的的情情况况，此此时时必必须须根根据据测测量量的的有有效效数数字字，按按数数据据舍舍入入规规则则，对对算算术术平平均均值值进进行行截截取取与与凑凑整整，带来舍入误差带来舍入误差，即，即而而现在学习的是第17页，共126页利利用用残残余余误误差差代代数数和和校校核核算算术术平平均均值值及及其其残残余余误误差的规则为：差的规则为：1)残余误差代
14、数和应符合：残余误差代数和应符合：当当，求求得得的的为为未未经经截截取取与与凑凑整整的的准准确确数数时时，；当当 ，求得的，求得的 为已经截取与凑整的非为已经截取与凑整的非准确数时，准确数时，为正，其大小为求为正，其大小为求 时的余数；时的余数；当当 ，求求得得的的 为为经经截截取取与与凑凑整整的的非非准准确确数数时时，为负，其大小为求为负，其大小为求 时的亏数。时的亏数。现在学习的是第18页，共126页2)残余误差代数和绝对值应符合：残余误差代数和绝对值应符合：当当n为偶数时，为偶数时，;当当n为奇数时，为奇数时，。式式中中的的A为为实实际际求求得得的的算算术术平平均均值值末末位位数数的的一
15、一个个单单位位。（因因为为按按数数字字舍舍入入规规则则进进行行算算术术平平均均值值截截取取和和凑凑整整，其其舍入误差皆不超过保留数字最末位的半个单位）舍入误差皆不超过保留数字最末位的半个单位）以以上上两两种种校校核核规规则则，可可根根据据实实际际运运算算情情况况选选择择一一种种进进行行校校核核，大大多多数数情情况况可可能能选选用用第第二二种种规规则则比比较较方方便便，因其无需知道所有测得值之和。因其无需知道所有测得值之和。现在学习的是第19页，共126页例例2-2以例以例2-1数据，对计算结果进行校核。数据，对计算结果进行校核。解：解：因因n10为偶数，为偶数，A=0.01，由表，由表2-1知
16、知故计算结果正确。故计算结果正确。现在学习的是第20页，共126页例例2-3测测量量某某直直径径11次次，得得到到结结果果如如表表2-2，求求算算术术平平均均值值并并进进行行校核。校核。表表2-22000.07-0.0072000.0610+0.0132000.089-0.0172000.058-0.0072000.067+0.0032000.076+0.0132000.085-0.0072000.064+0.0232000.093-0.0172000.052+0.0032000.071vi/mmli/mm序号序号11+0.003取取用第一种规则校核用第一种规则校核现在学习的是第21页，共12
17、6页用第二种规则校核，则有用第二种规则校核，则有故用两种规则校核皆说明计算结果正确。故用两种规则校核皆说明计算结果正确。现在学习的是第22页，共126页（1）单次测量的标准偏差）单次测量的标准偏差由由于于随随机机误误差差的的存存在在，等等精精度度测测量量列列中中各各个个测测得得值值一一般般皆皆不不相相同同，它它们们围围绕绕着着该该测测量量列列的的算算术术平平均均值值有有一一定定的的分分散散，此此分分散散度度说说明明了了测测量量列列中中单单次次测测得得值值的的不不可可靠靠性性，因因此此必必须须用用一一个个数数值值作为其不可靠性的评定标准。作为其不可靠性的评定标准。符合正态分布的随机误差概率分布密
18、度为符合正态分布的随机误差概率分布密度为由由上上式式可可知知，值值愈愈小小，则则e的的指指数数的的绝绝对对值值愈愈大大，因因而而f()减减小小得得愈愈快快，即即曲曲线线变变陡陡。而而值值愈愈小小，在在e前前面面的的系系数数值值变变大大，即即对对应应于于误误差差为为零零（0 0）的的纵纵坐坐标标也也大大，曲曲线线变变高高。反反之之，值值愈愈大大，则则e的的指指数数的的绝绝对对值值愈愈小小，因因而而f()减减小小得得愈愈慢慢，曲曲线线平平坦坦，同同时时对应于误差为零的纵坐标也小，曲线变低。对应于误差为零的纵坐标也小，曲线变低。3.测量的标准偏差测量的标准偏差测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方
19、均根误差。测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。现在学习的是第23页，共126页图图22标标准准差差的的数数值值小小，该该测测量量列列相相应应小小的的误误差差就就占占优优势势，任任一一单单次次测测得得值值对对算算术术平平均均值值的的分分散散度度就就小小，测测量量的的可可靠靠性性就就大大，即即测测量量精精度度高高，如如图图中中0.5的的曲曲线线；反反之之，测测量量精精度度就就低低，如如图图中中2的的曲曲线线。因因此此单单次次测测量量的的标标准准差差是是表表征征同同一一被被测测量量的的n次次测测量量的的测测得得值值分分散散性性的的参参数数，可可作作为为测测量量列列中中单单次次测测量量不
20、不可可靠靠性性的评定标准的评定标准。现在学习的是第24页，共126页注注意意：标标准准差差不不是是测测量量列列中中任任何何一一个个具具体体测测得得值值的的随随机机误误差差，的的大大小小只只说说明明，在在一一定定条条件件下下等等精精度度测测量量列列随随机机误误差差的的概概率率分分布布情情况况。在在该该条条件件下下，任任一一单单次次测测得得值值的的随随机机误误差差，一一般般都都不不等等于于，但但却却认认为为这这一一系系列列测测量量中中所所有有测测得得值值都都属属同同样样一一个个标标准准差差的的概概率率分分布布。在在不不同同条条件件下下，对对同同一一被被测测量量进进行行两两个个系系列列的的等等精精度
21、度测量，其标准差测量，其标准差也不相同。也不相同。在等精度测量列中，单次测量的标准差按下式计算：在等精度测量列中，单次测量的标准差按下式计算：式中，式中，n为测量次数（应充分大）；为测量次数（应充分大）；i为测得值与被测量的真值之差。为测得值与被测量的真值之差。当当被被测测量量的的真真值值为为未未知知时时，按按上上式式不不能能求求得得标标准准差差。实实际际上上，在在有有限限次次测测量量情情况况下下，可可用用残残余余误误差差vi来来代代替替真真误误差差，而而得到标准差的估计值得到标准差的估计值现在学习的是第25页，共126页由式由式可得可得式中，式中，称为称为算术平均值的误差算术平均值的误差，将
22、其和，将其和代入上式，则有代入上式，则有将式二对应项相加得将式二对应项相加得现在学习的是第26页，共126页若将式二平方后再相加则得若将式二平方后再相加则得将式将式平方有平方有当当n适当大时，可认为适当大时，可认为趋近于零，并将趋近于零，并将代入式三得代入式三得由于由于即即代入式四得代入式四得现在学习的是第27页，共126页上上式式称称为为贝贝塞塞尔尔（Bessel）公公式式，通通过过此此式式可可由由残残余余误误差差求求得得单单次次测量的标准差的估计值测量的标准差的估计值。评评定定单单次次测测量量不不可可靠靠性性的的参参数数还还有有或或然然误误差差和和平平均均误误差差，可可用用残残余误差表示为
23、余误差表示为现在学习的是第28页，共126页在在多多次次测测量量的的测测量量列列中中，是是以以算算术术平平均均值值作作为为测测量量结结果果，因因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。如如果果在在相相同同条条件件下下对对同同一一量量值值作作多多组组重重复复的的系系列列测测量量，每每一一系系列列测测量量都都有有一一个个算算术术平平均均值值。由由于于随随机机误误差差的的存存在在，各各个个测测量量列列的的算算术术平平均均值值也也不不相相同同，它它们们围围绕绕着着被被测测量量的的真真值值有有一一定定的的分分散散。此此分分散散说说明明了了算算术术平平均均值值的的不
24、不可可靠靠性性，而而算算术术平平均均值值的的标标准准差差则则是是表表征征同同一一被被测测量量的的各各个个独独立立测测量量列列算算术术平平均均值值分分散散性性的的参参数数，可可作为算术平均值不可靠性的评定标准。作为算术平均值不可靠性的评定标准。（2）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差算术平均值算术平均值取方差取方差因因故有故有所以所以现在学习的是第29页，共126页因因此此在在n次次测测量量的的等等精精度度测测量量列列中中，算算术术平平均均值值的的标标准准差差是是单单次次测测量量标标准准差差的的，当当测测量量次次数数n愈愈大大时时，算算术术平平均均值值愈愈接接近近被被测测量量的的真值，测
25、量精度也越高。真值，测量精度也越高。增增加加测测量量次次数数，可可以以提提高高测测量量精精度度，但但由由算算术术平平均均值值标标准准差差的计算式的计算式可知可知测测量量精精度度与与测测量量次次数数的的平平方方根根成成反反比比，因因此此要要显显著著地地提提高高测测量量精精度度，必须付出较大的劳动。必须付出较大的劳动。由由左左图图可可知知，一一定定时时，当当n10n10以以后后，已已减减少少得得非非常常缓缓慢慢。此此外外由由于于测测量量次次数数越越多多时时，也也越越难难保保证证测测量量条条件件的的恒恒定定，从从而而带带来来新新的的误误差差，因因此此一一般般情情况况下下取取n n1010较较为为适适
26、宜宜。总总之之，要要提提高高测测量量精精度度，应应采采用用适适当当精精度度的的仪仪器，选取适当的测量次数。器，选取适当的测量次数。现在学习的是第30页，共126页例例：已已知知测测量量的的单单次次测测量量标标准准偏偏差差0.12。若若在在不不改改变变测测量量条条件件的的情情况况下下，要要使使被被测测量量估估计计值值的的标标准准偏偏差差达达到到0.04，需需测测量多少次？量多少次？解解：以以算算术术平平均均值值作作为为被被测测量量的的估估计计值值，适适当当增增加加测测量量次次数数，以以满满足测量精密度的需要。足测量精密度的需要。由算术平均值标准差的计算式得：由算术平均值标准差的计算式得：即测量次
27、数：即测量次数：即对被测量进行即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。可达到要求。现在学习的是第31页，共126页评评定定算算术术平平均均值值的的精精度度标标准准，也也可可用用或或然然误误差差R和和平平均均误误差差T，相相应的公式为应的公式为用残余误差用残余误差vi来表示，有来表示，有现在学习的是第32页，共126页例例2-4用用游游标标卡卡尺尺对对某某一一尺尺寸寸测测量量10次次，假假定定已已消消除除系系统统误误差差和粗大误差，得到数据如下（单位和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：）：75.0175.0475.0775
28、.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08求求算术平均值及其标准差。算术平均值及其标准差。解解：其其算算术术平平均均值值的的计计算算及及校校核核结结果果如如表表2-3所所示示，表表中中的的算算术术平平均值均值因为因为与表中的与表中的结果一致，故计算正确。结果一致，故计算正确。根据各个误差计算公式可得根据各个误差计算公式可得现在学习的是第33页，共126页除除了了贝贝塞塞尔尔公公式式外外，计计算算标标准准差差还还有有别别捷捷尔尔斯斯法法、极极差差法法及及最大误差法等。最大误差法等。（3）标准差的其他计算法）标准差的其他计算法1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters）由贝
29、塞尔公式，有由贝塞尔公式，有此式近似为此式近似为则平均误差为则平均误差为现在学习的是第34页，共126页故有故有上上式式即即为为别别捷捷尔尔斯斯公公式式，它它可可由由残残余余误误差差的的绝绝对对值值之之和和求求出出单单次次测测量的标准差，而算术平均值的标准差为量的标准差，而算术平均值的标准差为现在学习的是第35页，共126页用用贝贝塞塞尔尔公公式式和和别别捷捷尔尔斯斯公公式式计计算算标标准准差差均均需需先先求求算算术术平平均均值值，再再求求残残余余误误差差，然然后后进进行行其其他他运运算算，计计算算过过程程比比较较复复杂杂。当当要要求求简简便便迅速算出标准差时，可用极差法。迅速算出标准差时，可
30、用极差法。2）极差法）极差法若若等等精精度度多多次次测测量量测测得得值值服服从从正正态态分分布布，则则其其中中的的最最大值大值xmax与最小值与最小值xmin之差称为之差称为极差极差，即，即根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为因因故可得故可得标准差标准差的无偏估计值的无偏估计值，若仍以，若仍以表示，则有表示，则有表表2-4列列出出了了dn的的数数值值。极极差差法法可可简简单单迅迅速速算算出出标标准准差差，并并具具有有一一定的精度，一般在定的精度，一般在n10时均可采用。时均可采用。现在学习的是第36页，共126页3）最大误差法）最大误差法当各个独
31、立测量值服从正态分布时，当各个独立测量值服从正态分布时，估计标准差的计算公估计标准差的计算公式为式为 A.在在已已知知被被测测量量的的真真值值（或或约约定定真真值值）的的情情况况下下，多多次独立测得的数据为次独立测得的数据为 可可算算出出随随机机误误差差，取取其其中中绝绝对对值值最最大大的的一一个个值值B.被被测测量量的的真真值值未未知知时时，则则不不能能按按上上式式来来计计算算标标准准差差，应应按按最大残余误差进行计算，其关系式为最大残余误差进行计算，其关系式为系系数数,的的倒倒数数见见表表2-5。注注意意最最大大残残余余误误差差法法不不适适用于用于n1的情形。的情形。最最大大误误差差法法简
32、简单单、迅迅速速、方方便便，容容易易掌掌握握，因因而而有有广广泛泛的的用用途。当途。当n10时，最大误差法具有一定的精度。时，最大误差法具有一定的精度。现在学习的是第37页，共126页例例2-8某某激激光光管管发发出出的的激激光光波波长长经经检检定定为为=0.63299130m，由由于于某某些些原原因因未未对对此此检检定定波波长长作作误误差差分分析析，但但后后来来又又用用更更精精确确的的方方法测得激光波长法测得激光波长=0.63299144m，试求原检定波长的标准差。，试求原检定波长的标准差。解解：因因后后测测得得的的波波长长是是用用更更精精确确的的方方法法，故故可可认认为为其其测测得得值值为
33、为实实际际值值（或或约约定定真真值值），则则原原检检定定波波长长的的随随机机误误差差为为=0.63299130m-0.63299144m=-1410-8m查表查表2-5可知，可知，故标准差为故标准差为现在学习的是第38页，共126页在在代代价价较较高高的的实实验验中中（如如破破坏坏性性实实验验），往往往往只只进进行行一一次次实验，此时贝塞尔公式成为实验，此时贝塞尔公式成为无无法法计计算算标标准准差差。在在这这种种情情况况下下，又又特特别别需需要要尽尽可可能能地地估估算算其其精精度度，因而最大误差法就显得特别有用。因而最大误差法就显得特别有用。以以上上介介绍绍的的几几种种标标准准差差计计算算法法
34、，简简便便易易行行，且且具具有有一一定定的的精精度度，但但其其可可靠靠性性均均较较贝贝塞塞尔尔公公式式要要低低，因因此此对对重重要要的的测测量量或或几几种种方方法法计算的结果出现矛盾时，仍应以贝塞尔公式为准。计算的结果出现矛盾时，仍应以贝塞尔公式为准。现在学习的是第39页，共126页极极限限误误差差是是指指极极端端误误差差，是是误误差差不不应应超超过过的的界界限限，测测量量结结果果（单单次次测测量量或或测测量量列列的的算算术术平平均均值值）的的误误差差不不超超过过该该极极端端误误差差的的置置信信概概率率为为P，并使差值，并使差值(1P)可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差。可以忽略。此极端误
35、差称为测量的极限误差。（1）单次测量的极限误差）单次测量的极限误差测测量量列列的的测测量量次次数数足足够够多多且且单单次次测测量量误误差差为为正正态态分分布布时时，根据概率论知识，可求得单次测量的极限误差。根据概率论知识，可求得单次测量的极限误差。由由概概率率积积分分可可知知，随随机机误误差差正正态态分分布布曲曲线线下下的的面面积积相相当当于于全全部部误误差差出现的概率，即出现的概率，即而随机误差在而随机误差在至至范围内的概率为范围内的概率为引入新的变量引入新的变量t t4.测量的极限误差测量的极限误差现在学习的是第40页，共126页经变换，有经变换，有函数函数(t)称称为概率概率积分分，不同
36、，不同t的的(t)值可由附可由附录表表1查得。得。若若某某随随机机误差差在在t范范围围内内出出现现的的概概率率为为2(t)，则则超超出出的的概概率率为为=1-2(t)表表2-6给出了几个典型的给出了几个典型的t值及其相应的超出或不超出值及其相应的超出或不超出的概率，见图的概率，见图2-4。由由表表可可见见，随随着着t的的增增大大，超超出出 的的概概率率减减小小得得很很快快。当当t=2，即即 时时，在在22次次测测量量中中只只有有1次次的的误误差差绝绝对对值值超超出出2范范围围；而而当当t=3，即即 时时，在在370次次测测量量中中只只有有1次次的的误误差差绝绝对对值值超超出出3范范围围。由由于
37、于在在一一般般测测量量中中，测测量量次次数数很很少少超超过过几几十十次次，因因此此可可以以认认为为绝绝对对值值大大于于3的的误误差差是是不不可可能能出出现现的的，通通常常把把这这个个误误差差称称为为单单次次测测量量的的极极限限误误差差 ，即即 当当t=3时，对应的概率时，对应的概率P99.73%。现在学习的是第41页，共126页在在实际测量量中中，有有时也也可可取取其其他他t值来来表表示示单次次测量量的的极极限限误差差，如如取取t2.58，P99%；t2，P95.44%；t1.96，P95%等等。因因此此一一般般情情况况下下，测量量列列单次次测量量的的极极限限误差差可可用用下下式式表表示：示：
38、若若已已知知测量量的的标准准差差，选定定置置信信系系数数t，则可可由由上上式式求求得得单次次测量的极限量的极限误差。差。现在学习的是第42页，共126页（2）算术平均值的极限误差）算术平均值的极限误差测测量量列列的的算算术术平平均均值值与与被被测测量量的的真真值值之之差差称称为为算算术术平平均均值值误误差差，即，即当当多多个个测测量量列列的的算算术术平平均均值值误误差差为为正正态态分分布布时时，根根据据概概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为式中，式中，t为置信系数；为置信系数；为算术平均值的标准差。为算术平均值的标准差。通常
39、取通常取t3，则，则现在学习的是第43页，共126页实实际际测测量量中中，有有时时也也可可取取其其他他t值值来来表表示示算算术术平平均均值值的的极极限限误误差差。但但当当测测量量列列的的次次数数较较少少时时，应应按按“学学生生式式”分分布布（“Student”distribution）或称）或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即式式中中的的ta为为置置信信学学生生，它它由由给给定定的的置置信信概概率率P=1-和和自自由由度度n1来来确确定定，具具体体数数值值见见附附录录表表3；为为超超出出极极限限误误差差的的概概率率（称称显显著著度度或或显显著著
40、水水平平），通通常常取取0.01或或0.02，0.05；n为为测测量量次次数数；为为n次测量的算术平均值标准差。次测量的算术平均值标准差。对对于于同同一一个个测测量量列列，按按正正态态分分布布和和t分分布布分分别别计计算算时时，即即使使置置信信概概率率的的取取值值相相同同，但但由由于于置置信信系系数数不不相相同同，因因而而求求得得的的算算术术平平均均值值极极限限误误差差也也不不相相同同。当当测测量量列列的的次次数数较较少少时时，应应按按t分分布布来来计计算算测测量量列算术平均值的极限误差。列算术平均值的极限误差。现在学习的是第44页，共126页例例2-9对某量进行对某量进行6次测量，测得数据如
41、下：次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及其极限误差。求算术平均值及其极限误差。解：解：算术平均值算术平均值标准差标准差因因测量次数较少测量次数较少，应按应按t分布计算分布计算算术平均值的极限误差。算术平均值的极限误差。已已知知v=n-1=5，取取=0.01，则则由由附附录录表表3查查得得t=4.03，故故算算术术平平均值的极限误差为均值的极限误差为若若 按按 正正 态态 分分 布布 计计 算算，取取=0.01，相相 应应 的的 置置 信信 概概 率率 P=1-=0.99=2(t)(t)，由由附附录录表表1查查得得
42、t2.58，则则得得算算术术平平均均值值的的极极限限误差为误差为由由此此可可见见，当当测测量量次次数数较较少少时时，按按两两种种分分布布计计算算的的结结果果有有明显差别。明显差别。现在学习的是第45页，共126页前前面面讲讲述述的的内内容容皆皆是是等等精精度度测测量量的的问问题题，在在一一般般测测量量实实践践中中基基本本上上都都属属这这种种类类型型。但但为为了了得得到到更更精精确确的的测测量量结结果果，如如在在科科学学研研究究或或高高精精度度测测量量中中，往往往往在在不不同同的的测测量量条条件件下下，用用不不同同的的仪仪器器、不不同同的的测测量量方方法法、不不同同的的测测量量次次数数以以及及不
43、不同同的的测测量量者者进进行测量与对比，这种测量称为行测量与对比，这种测量称为不等精度测量不等精度测量。在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况：在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况：第第一一种种情情况况，用用不不同同测测量量次次数数进进行行对对比比测测量量。例例如如用用同同一一台台仪仪器器测测量量某某一一参参数数，先先后后用用n1次次和和n2次次进进行行测测量量，分分别别求求得得算算术术平平均均值值和和。因因为为n1n2，显显然然与与的的精精度度不不一一样样，如如何何求求得得最最后的结果及其精度？后的结果及其精度？第第二二种种情情况况，用用不不同同精精度度的的仪仪器器进进
44、行行对对比比测测量量。例例如如对对于于高高精精度度或或重重要要的的测测量量任任务务，往往往往要要用用不不同同精精度度的的仪仪器器进进行行互互比比核核对对测测量量，显然所得到的结果不会相同，如何求得最后的测量结果及其精度？显然所得到的结果不会相同，如何求得最后的测量结果及其精度？对对于于不不等等精精度度测测量量，计计算算最最后后测测量量结结果果及及其其精精度度（如如标标准准差差），不不能能套套用用前前面面等等精精度度测测量量的的计计算算公公式式，需需推推导导出出新新的的计计算算公公式。式。5.不等精度测量不等精度测量现在学习的是第46页，共126页（1）权的概念）权的概念在在等等精精度度测测量量
45、中中，各各个个测测得得值值可可认认为为同同样样可可靠靠，并并取取所所有有测测得得值值的的算算术术平平均均值值作作为为最最后后测测量量结结果果。在在不不等等精精度度测测量量中中，各各个个测测量量结结果果的的可可靠靠程程度度不不一一样样，因因而而不不能能简简单单地地取取各各测测量量结结果果的的算算术术平平均均值值作作为为最最后后测测量量结结果果，应应让让可可靠靠程程度度大大的的测测量量结结果果在在最最后后结结果果中中占占的的比比重重大大一一些些，可可靠靠程程度度小小的的占占比比重重小小一一些些。各各测测量量结结果果的的可可靠靠程程度度可可用用一一数数值值来来表表示示，这这个个数数值值即即称称为为该
46、该测测量量结结果果的的“权权”，记记为为p。因因此此测测量量结结果果的的权权可可理理解解为为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。现在学习的是第47页，共126页（2）权的确定方法）权的确定方法既既然然测测量量结结果果的的权权说说明明了了测测量量的的可可靠靠程程度度，因因此此可可根根据据这这一一原原则则来来确确定定权权的的大大小小。例例如如可可按按测测量量条条件件的的优优劣劣、测测量量仪仪器器和和测测量量方方法法所所能能达达到到的的精精度度高高低低、重重复复测测量量次次数数的的多多少少以以及及测测量量者者水水平平高
47、高低低等等来来确确定定权权的的大大小小，也也即即测测量量方方法法愈愈完完善善，测测量量精精度度愈愈高高，所所得得测测量量结结果果的的权权也也应应愈愈大大。在在相相同同条条件件下下，由由不不同同水水平平的的测测量量者者用用同同一一种种测测量量方方法法和和仪仪器器对对同同一一被被测测量量进进行行测测量量，显然对于经验丰富的测量者所测得的结果应给予较大的权。显然对于经验丰富的测量者所测得的结果应给予较大的权。现在学习的是第48页，共126页最最简简单单的的方方法法是是按按测测量量的的次次数数来来确确定定权权，即即测测量量条条件件和和测测量量者者水水平平皆皆相相同同，则则重重复复测测量量次次数数越越多
48、多，其其可可靠靠程程度度也也越越大大，因因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即此完全可由测量的次数来确定权的大小，即pini。假假定定同同一一个个被被测测量量有有m组组不不等等精精度度的的测测量量结结果果，这这m组组测测量量结结果果是是从从单单次次测测量量精精度度相相同同而而测测量量次次数数不不同同的的一一系系列列测测量量值值求求得得的的算算术术平平均均值值。因因为为单单次次测测量量精精度度皆皆相相同同，其其标标准准差差均均为为，则各组算术平均值的标准差为，则各组算术平均值的标准差为由此可得由此可得因为因为pini，故上式又可写成，故上式又可写成或表示为或表示为现在学习的是第49页，共126
49、页由由此此可可得得出出结结论论：每每组组测测量量结结果果的的权权与与其其相相应应的的标标准准差差平平方方成成反反比比，若若已已知知各各组组算算术术平平均均值值的的标标准准差差，则则可可按按式式五五确确定定相相应应权权的的大大小小。测测量量结结果果的的权权的的数数值值只只表表示示各各组组间间的的相相对对可可靠靠程程度度，它它是是一一个个无无量量纲纲的的数数，允允许许各各组组的的权权数数乘乘以以相相同同的的系系数数，使使其其以以相相同同倍倍数数增增大大或或减减小小，而而各各组组间间的的比比例例关关系系保保持持不不变变，但但通通常常皆皆将将各各组组的的权权数数予予以以简简约约，使使其其中中最最小小的
50、的权权数数为为不不可可再再约约简简的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。现在学习的是第50页，共126页例例2-10对对一一级级钢钢卷卷尺尺的的长长度度进进行行了了三三组组不不等等精精度度测测量量，其其结结果果为为求各测量结果的权。求各测量结果的权。解：解：由式五得由式五得因此各组的权可取为因此各组的权可取为现在学习的是第51页，共126页（3）加权算术平均值）加权算术平均值若若 对对 同同 一一 被被 测测 量量 进进 行行m组组 不不 等等 精精 度度 测测 量量，得得 到到m个个 测测 量量 结结 果果 ，设相应的测量次数为，设相应的测量次数为，