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1、第二章导热微分方程式第一页，本课件共有27页2-1 温度场和温度梯度温度场和温度梯度一、温度场（Temperature field）各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称 温度场是温度场是温度场是温度场是时间时间时间时间和和和和空间空间空间空间的函数的函数的函数的函数tttt为温度为温度为温度为温度;x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z为空间坐标为空间坐标为空间坐标为空间坐标;-时间坐标时间坐标时间坐标时间坐标 稳态温度场稳态温度场稳态温度场稳态温度场 非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态导
2、热非稳态导热非稳态导热非稳态导热 一维温度场：一维温度场：一维温度场：一维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场：稳态导热稳态导热稳态导热稳态导热第二页，本课件共有27页二、等温面与等温线二、等温面与等温线(1)(1)(1)(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交l l 等温面：等温面：等温面：等温面：同一时刻、温度场中所有同一时刻、温度场中所有同一时刻、温度场中所
3、有同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面温度相同的点连接起来所构成的面温度相同的点连接起来所构成的面温度相同的点连接起来所构成的面l 等温线：等温线：等温线：等温线：用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相 交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇l 等温面与等温线的特点等温面与等温线的特点(2)(2)(2)(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，在连续的温度场
4、中，等温面或等温线不会中断，它们要么封闭它们要么封闭它们要么封闭它们要么封闭,要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上(3)(3)(3)(3)等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流 密度的相对大小密度的相对大小密度的相对大小密度的相对大小(4)(4)(4)(4)等温面一般都不彼此平行等温面一般都不彼此平行等温面一般都不彼此平行等温面一般都不彼此平行第三页，本课件共有27页三、温度梯度（Temperature gradient）
5、等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递 温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量 不同的等温面之间，有温差，有导热不同的等温面之间，有温差，有导热不同的等温面之间，有温差，有导热不同的等温面之间，有温差，有导热系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面
6、之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度，记为温度梯度，记为温度梯度，记为温度梯度，记为gradtgradt 温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向第四页，本课件共有27页四、热流密度矢量四、热流密度矢量(Heat fluxHeat flux)直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：l l 热流密度矢量：等温面上
7、某点，以通过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大最大最大最大热流密度热流密度热流密度热流密度 的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度不同方向上的热流密度的大小不同不同方向上的热流密度的大小不同l 热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量温度
8、梯度和热流密度的方向都是在等温面温度梯度和热流密度的方向都是在等温面温度梯度和热流密度的方向都是在等温面温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低的法线方向。由于热流是从高温处流向低的法线方向。由于热流是从高温处流向低的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正温处，因而温度梯度和热流密度的方向正温处，因而温度梯度和热流密度的方向正温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好好好好相反相反相反相反。t+ttt-t第五页，本课件共有27页2-2 导热基本定律和导热系数导热基本定律和导热系数一一、傅傅里里叶叶定定律律（Fouriers Fouri
9、ers lawlaw）：1822年，法国数学家傅里叶(FourierFourier)在实验研究基础上，发现导热基本规律实验研究基础上，发现导热基本规律l l 导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度导热基本定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度 成正比而方向相反成正比而方向相反成正比而方向相反成正比而方向相反 热导率（导热系数）热导率（导热系数）热导率（导热系数）热导率（导热系数）傅里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象傅里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象傅
10、里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象傅里叶定律只适用于均质各向同性材料的纯导热现象：热导率在各个方向是相同的热导率在各个方向是相同的热导率在各个方向是相同的热导率在各个方向是相同的矢量形式矢量形式标量形式标量形式第六页，本课件共有27页二、导热系数（二、导热系数（Thermal conductivityThermal conductivity）p p 由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到(标量形式标量形式标量形式标量形式):):):):p p 物理意义物理意义物理意义物理意义：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值
11、上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时 间内通过单位面积的热量。间内通过单位面积的热量。间内通过单位面积的热量。间内通过单位面积的热量。表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小，由实验测定。，由实验测定。，由实验测定。，由实验测定。l l 影响热导率的因素影响热导率的因素影响热导率的因素影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、物质的种类、材料成分、温度、物质的种类、材料成分、温度、物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等p p 导热系数反映了物质微观粒子传递热
12、量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。第七页，本课件共有27页u 不同物质导热机理不同物质导热机理l 气体的导热系数气体的导热系数依靠分子依靠分子依靠分子依靠分子无规则的热运动无规则的热运动无规则的热运动无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递l 液体的导热系数液体的导热系数主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞主要依靠晶格的振动也有分子的无规
13、则运动和碰撞l 固体的热导率固体的热导率依靠依靠依靠依靠自由电子自由电子自由电子自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者的迁移和晶格的振动，主要依靠前者的迁移和晶格的振动，主要依靠前者的迁移和晶格的振动，主要依靠前者 a)a)金属的热导率：金属的热导率：金属的热导率：金属的热导率：依靠依靠依靠依靠晶格的振动晶格的振动晶格的振动晶格的振动传递热量；传递热量；传递热量；传递热量；b)b)非金属的热导率：非金属的热导率：非金属的热导率：非金属的热导率：T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数
14、导热系数导热系数第八页，本课件共有27页u 不同物质的导热系数不同物质的导热系数不同物质的导热系数不同物质的导热系数当当当当0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)时，时，时，时，这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。1.1.1.1.防潮防潮防潮防潮 2.2.2.2.避免挤压避
15、免挤压避免挤压避免挤压 3.3.3.3.在中低温中在中低温中在中低温中在中低温中 第九页，本课件共有27页 导热系数的取值lconst，不考虑温度对其影响l ，认为是温度的线性函数第十页，本课件共有27页2-3 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场l l 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 +能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量
16、守恒定律一、导热微分方程式 假设：假设：假设：假设：(1)(1)所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质(2)(2)热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知首要任务首要任务首要任务首要任务第十一页，本课件共有27页在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体导入与导导入与导出净热量出净热量根据根据能量守恒定律能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡的关系，单位时间内微元体热平衡的关系，单位时间内微元体热平衡的关系，单位时间内微元体热平衡的关系式
17、：式：式：式：微元体产微元体产生的热量生的热量微元体的微元体的内能变化量内能变化量123第十二页，本课件共有27页xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内、沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴方方方方向向向向、经经经经 x x 表表表表面面面面导导导导入入入入的的的的热量：热量：热量：热量：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内、沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴方方方方向向向向、经经经经 x+dx x+dx 表表表表面面面面导导导导出的热量：出的热量：出的热量：出的热量：单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入
18、与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量l 1 导入与导出微元体的净热量导入与导出微元体的净热量第十三页，本课件共有27页净热量：净热量：l l单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 x x 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量l l单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 y y 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量l l单位单位单位单位 时间
19、内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 z z 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量第十四页，本课件共有27页l2 单位时间微元体内热源的发热量单位时间微元体内热源的发热量l3 单位时间微元体热力学能的增量单位时间微元体热力学能的增量第十五页，本课件共有27页净热量内热源发热量净热量内热源发热量=内能增量内能增量导热微分方程式导热微分方程式导热过程的能量方程导热过程的能量方程xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQdQz z三维非稳态常物性导热微分方程式三维非稳态常物性导热微分方程式第十六页，本课件共有
20、27页热扩散率热扩散率物性参数物性参数物性参数物性参数 、c c c c和和和和 均均均均 为常数为常数为常数为常数,无内热源无内热源无内热源无内热源 物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，无内热源无内热源无内热源无内热源,稳态稳态稳态稳态 物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，无内热源无内热源无内热源无内热源,一维一维一维一维稳态稳态稳态稳态二、导热微分方程式的简化拉普拉斯方程拉普拉斯方程第十七页，本课件共有27页三、其他坐标下的导热微分方程三、其他坐标下的导热微分方程 对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 直角坐标直角坐标第十八页，本课件共有27
21、页四、导热过程的单值性条件 导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程+单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律+能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、它描写物体的温度
22、随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。特定的导热过程。通用表达式。特定的导热过程。通用表达式。特定的导热过程。通用表达式。l l 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解条件的唯一解条件的唯一解条件的唯一解l l 单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何条件几何
23、条件几何条件几何条件物理条件物理条件物理条件物理条件初始条件初始条件初始条件初始条件边界条件边界条件边界条件边界条件第十九页，本课件共有27页u 单值性条件单值性条件 几何条件几何条件几何条件几何条件如：物性参数如：物性参数如：物性参数如：物性参数 、c c 和和和和 的数值，是否随温的数值，是否随温的数值，是否随温的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；度变化；有无内热源、大小和分布；度变化；有无内热源、大小和分布；度变化；有无内热源、大小和分布；又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初
24、始状态 说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相互作用的条件互作用的条件互作用的条件互作用的条件说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征 物理条件物理条件物理条件物理条
25、件 初始条件初始条件初始条件初始条件 边界条件边界条件边界条件边界条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件与时间无关与时间无关与时间无关与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件第二十页，本课件共有27页u 边界
26、条件边界条件l 第一类边界条件第一类边界条件已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上温度温度温度温度值值值值：稳态导热：稳态导热：稳态导热：稳态导热：t tw w=constconst非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：t tw w=f=f(x,y,z,x,y,z,)o xtw1w1tw2w2例：例：例：例：第二十一页，本课件共有27页l 第二类边界条件第二类边界条件根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：已知物体边界上已知物体边界上已知物体边界上已知物体边界上热流密度热流密度热流密度热流密度的分布及变
27、化规律的分布及变化规律的分布及变化规律的分布及变化规律：第第第第二二二二类类类类边边边边界界界界条条条条件件件件相相相相当当当当于于于于已已已已知知知知任任任任何何何何时时时时刻刻刻刻物物物物体体体体边边边边界界界界面面面面法法法法向向向向的的的的温温温温度梯度度梯度度梯度度梯度值值值值稳态导热：稳态导热：稳态导热：稳态导热：qw非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：第二十二页，本课件共有27页思考思考l等温线与绝热边界位置关系应该为等温线与绝热边界位置关系应该为_，沿，沿等温线等温线_存在热量传递，沿绝热边界存
28、在热量传递，沿绝热边界_存在热量传递。存在热量传递。垂直相交垂直相交不不可能会可能会第二十三页，本课件共有27页l 第三类边界条件第三类边界条件傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：当当当当物物物物体体体体壁壁壁壁面面面面与与与与流流流流体体体体相相相相接接接接触触触触进进进进行行行行对对对对流流流流换换换换热热热热时时时时，已已已已知知知知任任任任一一一一时时时时刻刻刻刻边边边边界界界界面面面面周周周周围围围围流流流流体体体体的的温温度度 以以及及边边界界与与流流体体之之间间的的复合换热系数复合换热系数tf f,h hqw牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：第二
29、十四页，本课件共有27页导热微分方程式的求解方法导热微分方程式的求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温度场温度场温度场积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法第二十五页，本课件共有27页l 本章作业本章作业 2-2,2-5第二十六页，本课件共有27页 a a反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导
30、热能力 与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力 c c 之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系.a a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为越大，故称为越大，故称为越大，故称为热扩散率热扩散率热扩散率热扩散率u 热扩散率热扩散率a 分子分子分子分子 是物体的导热系数。是物体的导热系数。是物体的导热系数。是物体的导热系数。分母分母分母分母 c c是单位体积的物体温度升高是单位体积
31、的物体温度升高是单位体积的物体温度升高是单位体积的物体温度升高1 1所需的热量。所需的热量。所需的热量。所需的热量。越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量 c c越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升1 1所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。是是 与与1/(c)两个两个因子的结合因子的结合 a a越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，a a也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能 力大小的指标，故有力大小的指标，故有力大小的指标，故有力大小的指标，故有导温系数导温系数导温系数导温系数之称。之称。之称。之称。第二十七页，本课件共有27页