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1、第三章数学运算现在学习的是第1页，共25页矩阵运算 q 矩阵的翻转和旋转：矩阵的翻转和旋转：fliplr、flipud、rot90q 查看矩阵的大小：查看矩阵的大小：size(A)、size(A,1)、size(A,2)q 数组运算（数组运算（点运算点运算）：）：.*，./，.，.q 矩阵算术：矩阵算术：+，-，*，/，参与参与“+,-,.*,./,.”“+,-,.*,./,.”运算的对象必须具有相同的形状运算的对象必须具有相同的形状现在学习的是第2页，共25页矩阵的逆对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：，使得：AB=BA=I(I为单位矩
2、阵为单位矩阵)则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数的逆矩阵可调用函数inv(A)。例例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：其解为：x=A-1b现在学习的是第3页，共25页矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A同型的矩阵B，使得：ABA=ABA
3、B=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。现在学习的是第4页，共25页方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在的值。在MATLAB中，求方阵中，求方阵A所对应的行列所对应的行列式的值的函数是式的值的函数是det(A)。现在学习的是第5页，共25页矩阵的函数以及其它操作变换inv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转置现在学习的是第6页，共25页矩阵的函
4、数以及其它操作变换norm 矩阵求范数normest 矩阵求二阶范数rank 求矩阵的秩null 0空间 subspace 求两矩阵空间的角度现在学习的是第7页，共25页矩阵的一些特殊操作矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转;fliplr:上翻;flipud:下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角现在学习的是第8页，共25页线性代数方程组的矩阵表示Ax=b 现在学习的是第9页，共25页解的判别及其结构解的判别及其结构Ax=0：有非零解有非零解系数矩阵的秩
5、系数矩阵的秩R(A)n。若若R(A)=n，则方程组只有零解。，则方程组只有零解。Ax=b：分三种类型：分三种类型：1、当、当R(A)=R(B)=n时，称方程组为时，称方程组为恰定方程恰定方程组组，这时它有唯一解向量；，这时它有唯一解向量；2、当、当R(A)=R(B)n时，称方程组为时，称方程组为欠定方程欠定方程组组，这时它有无穷多解向量；，这时它有无穷多解向量；3、当、当R(A)R(B)时，称方程组为时，称方程组为超定方程组超定方程组或或矛盾方程组矛盾方程组，即保留方程个数大于未知量个数，即保留方程个数大于未知量个数，一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。
6、现在学习的是第10页，共25页非奇异矩阵 n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵也即行列式A的值不为零。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB=BA=E（E是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵。现在学习的是第11页，共25页矩阵函数的应用设矩阵设矩阵 解：解：A=3-4 0;-1 5 2;4 1-6det(A)%求矩阵的行列式的值求矩阵的行列式的值rank(A)%求矩阵的秩求矩阵的秩inv(A)%求逆矩阵求逆矩阵求求A的行列式、秩和逆矩阵。的行列式、秩和逆矩阵。现在学习的是第12页，共25页求线性方程组的唯一解求线性方程组求线
7、性方程组Ax=B的解，其中：的解，其中：解法解法1 利用矩阵除法：利用矩阵除法：X=AB 解法解法2 利用利用求逆矩阵函数求逆矩阵函数 inv：X1=inv(A)*B 比较：解法比较：解法1比解法比解法2更简便，更简便，解法解法1 的算法优于解法的算法优于解法2，解法解法1可用于一般矩阵，而解法可用于一般矩阵，而解法2只能用于非奇异的方阵只能用于非奇异的方阵 因此，只需运用解法因此，只需运用解法1.现在学习的是第13页，共25页恰定方程组条件：条件：rank(A)=rank(B)=r=n，指令：指令：1）逆矩阵：）逆矩阵：x=inv(A)*b；2）左除法：）左除法：x=Ab；3）符号矩阵：）符
8、号矩阵：x=sym(A)sym(b)。现在学习的是第14页，共25页恰定线性代数方程组求解解：（解：（解：（解：（1 1）A=2 1-5 1;1-3 0-A=2 1-5 1;1-3 0-6;0 2-1 2;1 4-7 6;6;0 2-1 2;1 4-7 6;b=8 9-5 0;b=8 9-5 0;2 2）键入）键入）键入）键入 xx=Ab xx=Ab xx=xx=3.0000 3.0000 -4.0000 -4.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 现在学习的是第15页，共25页欠定方程组（不定方程组）条件：条件：R(A)=R(B)=rn时时指令：指令：1、它的
9、通解由与其对应的齐次方程、它的通解由与其对应的齐次方程Ax=0的通解和的通解和Ax=b 的一个特解构成。的一个特解构成。2、求、求Ax=0的通解用的通解用null指令，指令，3、求、求Ax=b的一个特解用矩阵除法。的一个特解用矩阵除法。现在学习的是第16页，共25页17171)解的判断解的判断键入键入键入键入 A=1 1-3-1;3-1-3 4;1 5-9-8;b=1 4 0;A=1 1-3-1;3-1-3 4;1 5-9-8;b=1 4 0;Ar=rank(A),Ar=rank(A),br=rank(A b)br=rank(A b)Ar=2br=2 2 现在学习的是第17页，共25页1818
10、2）求出与）求出与Ax=b对应的齐次方程对应的齐次方程Ax=0通解通解由于由于n-r=2，对应的齐次方程组含有两个基向，对应的齐次方程组含有两个基向量。在指令窗中键入量。在指令窗中键入null(sym(A)%Z=null(A)由奇异值分解得到的矩阵由奇异值分解得到的矩阵A的零空间标准正的零空间标准正交基。交基。ans=3/2,-3/43/2,7/4 1,0 0,1现在学习的是第18页，共25页19193）求）求Ax=b的一个特解的一个特解在指令窗中键入在指令窗中键入在指令窗中键入在指令窗中键入 Ab Ab（须改变格式）（须改变格式）（须改变格式）（须改变格式）Warning:Rank defi
11、cient,rank=2 tol=8.8373e-015.ans=ans=0 0 -0.5333 0 0 -0.5333 0.6000若键入若键入若键入若键入sym(A)sym(b)sym(A)sym(b)Warning:System is rank deficient.Solution is not unique.Warning:System is rank deficient.Solution is not unique.ans=5/4 -1/4 0 0现在学习的是第19页，共25页20204）方程组）方程组Ax=b的通解的通解方程组方程组Ax=b的通解是由它的一个特解和方的通解是由它的一个特解和方程组程组Ax=0的通解组成，这些前面已经分别的通解组成，这些前面已经分别求出，将它们组合在一起就是非齐次线性求出，将它们组合在一起就是非齐次线性方程组的通解：方程组的通解：k1、k2为任意常数。为任意常数。现在学习的是第20页，共25页超定方程组条件：条件：R(A)0，就称M正定(Positive Definite)。现在学习的是第24页，共25页25251.方阵的三角分解指令方阵的三角分解指令lu L,U=lu(A)L,U,P=lu(A)2.方阵的乔累斯基（方阵的乔累斯基（Cholesky）分解指令）分解指令cholchol(A)矩阵分解现在学习的是第25页，共25页