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1、平面问题有限元你现在浏览的是第一页，共78页3-13-1有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤3-23-2平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元3-33-3单元刚度矩阵单元刚度矩阵3-43-4单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-53-5平面问题的矩形单元平面问题的矩形单元3-63-6六节点三角形单元六节点三角形单元3-73-7单元载荷移置单元载荷移置3-83-8整体分析整体分析3-93-9整体刚度矩阵的形成整体刚度矩阵的形成3-103-10整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点3-113-11支承条件的处理支承条件的处理3-123-12应力计算应力
2、计算12/3/2022你现在浏览的是第二页，共78页弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：1 1、所分析问题的数学建模、所分析问题的数学建模 2 2、离散化、离散化 3 3、单元分、单元分析析 4 4、整体分析与求解、整体分析与求解 5 5、结果分析、结果分析12/3/2022图 3-1你现在浏览的是第三页，共78页有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。元组成的离散体。对于平面
3、问题，最简单，因而最常用的单元是对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角三角形单元形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图3-13-
4、112/3/2022你现在浏览的是第四页，共78页12/3/20221、位移函数、位移函数 如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地小网格，在每一个单元范围内，内部各点的
5、位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数位移函数，或称为，或称为位移模式、位移模式、位移模型、位移场位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。但选取多少项数，要受单元型式的限制。你现在浏览的是第五页，共78页12/3/2
6、022 三结点三角形单元三结点三角形单元六六个个节节点点位位移移只只能能确确定定六六个个多多项项式式的的系系数数，所所以以平平面面问问题题的的3节节点点三三角角形形单单元元的的位移函数如下，位移函数如下，该该位位移移函函数数，将将单单元元内内部部任任一一点点的的位位移移设设定定为为坐坐标标的的线线性性函函数数，该该位位移移模模式式很很简简单单。其其中中 为为广广义义坐坐标标或或待待定定系系数数，可可据据节节点点i、j、m的的位位移移值值和和坐坐标标值求出。值求出。位移函数写成矩阵形式为：位移函数写成矩阵形式为：你现在浏览的是第六页，共78页12/3/2022最终确定六个待定系数最终确定六个待定
7、系数其中其中为为2A第第1行行各各个个元元素素的的代数余子式，代数余子式，a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是记号，表示此方阵仅与x(i,j,m),y(i,j,m)有关。你现在浏览的是第七页，共78页12/3/2022令令 （下标（下标i，j，m轮换）轮换）简写为简写为I是单位矩阵，是单位矩阵，N称为形函数矩阵，称为形函数矩阵，Ni只只与与单单元元节节点点坐坐标标有有关关，称称为为单单元元的形状函数的形状函数你现在浏览的是第八页，共78页据弹性力学几何方程得据弹性力学几何方程得 单元的应变分量单元的应变分量由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则由于三节点三角形单元的位
8、移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）应变为常量）12/3/2022你现在浏览的是第九页，共78页2 2、形函数的特点及性质、形函数的特点及性质1)1)形函数形函数N Ni i为为x x、y y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)2)形函数形函数N Ni i在在i i节点处的值等于节点处的值等于1 1，而在其他节点上的值为，而在其他节点上的值为0 0。即即12/3/20223)单元内任一
9、点的三个形函数之和恒等于单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在形函数的值在01间变化。间变化。你现在浏览的是第十页，共78页12/3/20223、收敛性分析、收敛性分析 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：因此，选用的位移模式应当满足下列条件：(1)位移函数必须含单元常量应变。位移函数必须含单元常量应变。(2)单单元元必必须须能能反反映映单单元元的的刚刚体体位
10、位移移（即即单单元元应应变变为为0时时的的位位移移）。前前面位移函数改写为（注意：面位移函数改写为（注意：为为0）则单元刚体位移为则单元刚体位移为显然，位移函数包显然，位移函数包含了单元的刚体位含了单元的刚体位移（平动和转动）移（平动和转动）你现在浏览的是第十一页，共78页(3)(3)位移函数在单元内部必须连续位移。因为线位移函数在单元内部必须连续位移。因为线性函数，内部连续性函数，内部连续 (4)(4)位移函数必须保证相邻单元在公共边位移函数必须保证相邻单元在公共边界处的位移协调（即在公共边界上位界处的位移协调（即在公共边界上位移值相同）。如右图移值相同）。如右图 设公共边界直线方程为设公共
11、边界直线方程为y=Ax+By=Ax+B，代入，代入位移函数可得：边界上位移为位移函数可得：边界上位移为显然，显然，u,vu,v仍为线性函数，即公共边界仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。上位移连续协调。综上所述，常应变三角形单元的位移综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元为协调单元12/3/2022y=Ax+B 边界不协调产生裂缝边界不协调产生重迭你现在浏览的是第十二页，共78页12/3/2022例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵N。你现在浏览的是第十三页，共78页12/3/2
12、022 由三角形的面积由三角形的面积把上步求得的a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)代入你现在浏览的是第十四页，共78页4 4、应力、应变矩阵、应力、应变矩阵将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：12/3/2022你现在浏览的是第十五页，共78页应力矩阵应力矩阵由平面问题物理方程得：由平面问题物理方程得：应变矩阵应变矩阵BB反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系应力矩阵应力矩阵SS反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系显然，常应变三角形单
13、元的应变矩阵显然，常应变三角形单元的应变矩阵BB为常量矩阵，说明在该单元上为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。不连续，有突变。12/3/2022你现在浏览的是第十六页，共78页12/3/2022 yiFixmF xjF xiF ymFy jFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjys*xy*y*xgeexytxs(a)节点力、内部应力(b)虚位移、虚应变 讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出
14、用节点位移表示节点力的表达式。移表示节点力的表达式。由应力推算节点力，需要利用平衡方程。采用虚功方程表示由应力推算节点力，需要利用平衡方程。采用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。作的虚应变功。你现在浏览的是第十七页，共78页12/3/2022 考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：任意虚设位移，节点位移与内部应变为任意虚设位移，节点位移与内部应变为你现在浏览的是第十八页，共78页12/3/2022 令实际受力状态在虚设位移上作虚功
15、，外力虚功为令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为你现在浏览的是第十九页，共78页12/3/2022 计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和和dy，厚，厚度为度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。你现在浏览的是第二十页，共78页12/3/2022 微小矩形的内力虚功为微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为你现在浏览的是第二十一页，共78页12/3/2022 根据虚功原理，得根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方这就是弹性平面问题
16、的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。程。虚应变可以由节点虚位移求出：虚应变可以由节点虚位移求出：代入虚功方程代入虚功方程你现在浏览的是第二十二页，共78页12/3/2022 接上式，将应力用节点位移表示出接上式，将应力用节点位移表示出 有有 令令实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为 则则建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度称为单元刚度矩阵。它是矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小
17、、方位单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。移动而改变。你现在浏览的是第二十三页，共78页12/3/2022 由于由于D中元素是常量，而在线性位移模式下，中元素是常量，而在线性位移模式下，B中的元素也是中的元素也是常量，且常量，且因此因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。阵。你现在浏览的是第二十四页，共78页单元刚度矩阵单元刚度矩阵 可记为可记为分块矩阵形式分块矩阵形式将应变矩
18、阵将应变矩阵BB的分块阵的分块阵代入单元刚度矩阵，可得代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式：其子块计算式：对于常应变三角形单元，对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩考虑平面应力问题弹性矩阵阵DD，可得，可得12/3/2022你现在浏览的是第二十五页，共78页12/3/2022 上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为单元刚阵单元刚阵K的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。其元素其元素 的意义为：当第的意义为：当第j个自由度发生单位位移，而其他自个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为由度的位移为0时，在第时，
19、在第i个自由度上所施加的力。若按节点来说明，个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块则刚阵中每个子块 表示：当节点表示：当节点j处发生单位位移，而其他节点处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点固定时，在节点i上所施加的力。上所施加的力。s tABT tA BD BKTe=ede eF D B BDS=(6)(6)(3)(3)(3)(3)(6(63)3)(3(33)3)(3(36)6)(3(36)6)(6(66)6)你现在浏览的是第二十六页，共78页12/3/2022 节点力和节点位移的关系：节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例以简单平面桁架为例)平面问题中，离散化的单元
20、组合体极为相似，单元组合体在节点平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。存在，大小相等方向相反，统称为节点力。节点力和节点位移的关系前面已经求出：节点力和节点位移的关系前面已经求出：你现在浏览的是第二十七页，共78页12/3/2022 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义：将将 写成分块矩阵写成分块矩阵写成普通方程写成普通方程其中其中 表示节点表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点产生单位位移时，在节点r(r
21、=i,j,m)上所上所需要施加的节点力的大小。需要施加的节点力的大小。你现在浏览的是第二十八页，共78页12/3/2022 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义：将节点力列矩阵将节点力列矩阵 与节点位移列矩阵与节点位移列矩阵 均展开成均展开成(6*1)阶列矩阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：阶方阵：元素元素K的脚码，标有的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方的表示垂直方向。向。你现在浏览的是第二十九页，共78页12/3/2022 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的每一个
22、元素都有明显的物理意义。单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。表示节点表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如直节点力的大小。例如 表示节点表示节点j在垂直方向产生单位位移在垂直方向产生单位位移时，在节点时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。所需要施加的水平节点力的大小。你现在浏览的是第三十页，共78页1 1）单元刚度矩阵是对称阵，）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明只要证明 )2 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；
23、因为主对角元素）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 表示力的表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。方向和位移方向一致，故功总为正值。3 3）单元刚阵是奇异阵，即）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0|K|=0，这是因为计算单元刚阵时没，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解 ，只能得到唯一的节点力解。，只能得到唯一的节点力解。4 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数
24、行的对）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。12/3/2022你现在浏览的是第三十一页，共78页例题：求下图所示单元例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设的刚度矩阵，设12/3/20221、求、求B2、求、求D3、求、求S4、求、求你现在浏览的是第三十二页，共78页几点说明：几点说明：1 1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程
25、是一组节点力平衡方程组。是一组节点力平衡方程组。2 2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单元内平衡。满足单元内平衡。3 3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满足平衡
26、条件。间应力有突变，明显不满足平衡条件。12/3/2022你现在浏览的是第三十三页，共78页利用节点位移，可待定系数利用节点位移，可待定系数12/3/2022xyi(1,-1)j(1,1)l(-1,1)m(-1,-1)矩形单元是平面问题常用的一种矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界比较规则的平单元，尤其是边界比较规则的平面结构，如图面结构，如图2a*2b的的4节点节点8自由自由度矩形单元。度矩形单元。位移函数位移函数取无量纲坐标，得矩阵表示取无量纲坐标，得矩阵表示你现在浏览的是第三十四页，共78页代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数NiNi为
27、形函数，仍具有前述的形函数的基本性质为形函数，仍具有前述的形函数的基本性质记为矩阵形式，记为矩阵形式，I I为单位矩阵为单位矩阵可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元12/3/2022你现在浏览的是第三十五页，共78页应变矩阵应变矩阵12/3/2022应变矩阵应变矩阵B的元素是的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中的应变的函数，所以，矩形单元中的应变不是常量，而是随不是常量，而是随x或或y线性变化的，显然，应力也是随线性变化的，显然，应力也是随x或或y线性线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度变化的。较常应变单元有更高的计算精度你现在浏览
28、的是第三十六页，共78页将刚阵记为分块形式将刚阵记为分块形式其子块的计算为其子块的计算为（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）单元）12/3/2022你现在浏览的是第三十七页，共78页面积坐标面积坐标称为称为p p点的面积坐标，显然三个面积点的面积坐标，显然三个面积坐标不完全独立，有如下关系坐标不完全独立，有如下关系 实际为三角形实际为三角形 的高与的高与 高的比，即平行高的比，即平行jmjm线的直线上的所线的直线上的所有点有相同的有点有相同的 。同时，易得。同时，易得 12/3/2022ijmp你现在浏览的是
29、第三十八页，共78页将三角形顶点将三角形顶点ijmijm坐标坐标与与p p点坐标代入面积坐点坐标代入面积坐标，则得面积坐标与标，则得面积坐标与直角坐标直角坐标xoyxoy的关系式的关系式比较比较 与常应变三角形与常应变三角形的形函数的形函数 可知，两可知，两者相同者相同12/3/2022你现在浏览的是第三十九页，共78页如图六节点如图六节点1212自由度三角形单元自由度三角形单元位移函数：单元内任意一点的位位移函数：单元内任意一点的位移位移函数用移位移函数用6 6个节点位移与相应的个节点位移与相应的形函数来表示形函数来表示12/3/2022i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1
30、/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)你现在浏览的是第四十页，共78页应变矩阵应变矩阵12/3/2022从上可知：位移为面从上可知：位移为面积坐标或直角坐标的积坐标或直角坐标的二次函数，应变或应二次函数，应变或应力为面积坐标或直角力为面积坐标或直角坐标的一次式，即在坐标的一次式，即在单元内位移为二次变单元内位移为二次变化，应变或应力为线化，应变或应力为线性变化性变化你现在浏览的是第四十一页，共78页将刚阵记为分块形式将刚阵记为分块形式12/3/2022其子块的计算为其子块的计算为(虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元虽然该计算式是从三角形推导的
31、，但它是一般格式，适用于所有单元)你现在浏览的是第四十二页，共78页12/3/2022 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解分解)，而成为节点载荷。，而成为节点载荷。如果弹性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用如果弹性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上实际问题往往受有
32、分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点移置。集中力也要向节点移置。将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。你现在浏览的是第四十三页，共78页载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载
33、荷与移置后的节点载载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等荷在相应的虚位移上所做的虚功相等载荷移置的条件：圣维南原理载荷移置的条件：圣维南原理载荷移置的方法：载荷移置的方法：1 1）直接法（静力等效法，虚功移置法）直接法（静力等效法，虚功移置法）2 2）普遍公式法）普遍公式法12/3/20220.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM静力等效静力等效你现在浏览的是第四十四页，共78页12/3/2022 虚功移置：虚功移置：在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算得节点载荷
34、。即虚功计算得节点载荷。即移置前后虚功相等移置前后虚功相等。如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/3的重力移到每个的重力移到每个节点，即节点，即 yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX1/3你现在浏览的是第四十五页，共78页12/3/2022 例：例：总载荷的总载荷的2/3移置到节点移置到节点i，1/3移置到节点移置到节点j，与原载荷同向，与原载荷同向yxmjip=0.5qLiX=2/3pjX=1/3pjL=2/3LiL =1/3LyxmjiqL你现在浏览的是第四十六页，共78页12/3/2022 普遍公式法普遍公式法集中力的移置
35、集中力的移置体力的移置体力的移置分布面力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用直接计算在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式下，要用普法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。遍公式计算。你现在浏览的是第四十七页，共78页12/3/2022图示结构的网格共有四个单图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节点元和六个节点。在节点1、4、6共有四个支杆支承。结构的共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。载荷已经转移为结点载荷。整体分析的四个步骤：整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚、根据支承条件修改整体刚度矩阵；度矩阵；3、解方程
36、组，求节点位移；、解方程组，求节点位移；4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。析。你现在浏览的是第四十八页，共78页12/3/20221、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵)上图中的结构有六个节点，共有上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和个节点位移分量和12个节点力分个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：分块形式为：分块
37、形式为：其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵，是二行二列矩阵，整体刚度矩阵整体刚度矩阵K是是12*12阶矩阵。阶矩阵。你现在浏览的是第四十九页，共78页12/3/20222、根据支承条件修改整体刚度矩阵、根据支承条件修改整体刚度矩阵 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有考建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。理。在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节
38、点1、4、6的四的四个支杆处相应位移已知为零：个支杆处相应位移已知为零：建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。3、解方程组，求出节点位移。、解方程组，求出节点位移。通常采用消元法和迭代法两种方法。通常采用消元法和迭代法两种方法。4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。你现在浏览的是第五十页，共78页12/3/2022 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵 的集成。的集成。1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单元刚刚度矩阵中的元素，即由节点作单
39、位位移时引起的节点力。在单元刚阵阵 中，中，表示表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，节点单位位移，其他节点位移为零时，单元单元e在在i节点引起的节点力节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，；类似，在整体刚阵中，表示表示j节点单位节点单位位移，其他节点位移为零时，位移，其他节点位移为零时，整体结构在整体结构在i节点引起的节点力节点引起的节点力(由于由于结构已被离散为一系列单元，即所有与结构已被离散为一系列单元，即所有与i、j节点相关的单元在节点相关的单元在i节点引节点引起的节点力之和起的节点力之和)。如上图结构，计算如上图结构，计算 时，与节点时，与节点2和和3相关的单元有单元相关的单元有单
40、元和和，当节点，当节点3发生单位位移时，相关单元发生单位位移时，相关单元和和同时在节点同时在节点2引起节引起节点力，将相关单元在节点点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构在节点的节点力相加，就得出结构在节点2的节的节点力点力 。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。你现在浏览的是第五十一页，共78页12/3/20222、刚度矩阵的集成方法：、刚度矩阵的集成方法：1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在）在整体离散结构变形后
41、，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移，有单元在该节点上有相同位移，2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷等于作用于该节点上的节点载荷Ri，12i 3412i Ri34你现在浏览的是第五十二页，共78页2 2、整体刚度矩阵的集成方法、整体刚度矩阵的集成方法具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其，然
42、后将其中的每个子块中的每个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵加之后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵KK。关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。这需要了解单元中的对应位置。这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。12/3/2022你现在浏览的是第五十三页，共78页12/3/2022结构中的节点编码称为节点的总码，结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方各个单元
43、的三个节点又按逆时针方向编为向编为i,j,m,称为节点的局部码。称为节点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按节点单元刚度矩阵中的子块是按节点的局部码排列的，而结构刚度矩的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按节点的总码排列阵中的子块是按节点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，的。因此，在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排其中的子块按照总码次序重新排列。列。你现在浏览的是第五十四页，共78页12/3/2022以单元以单元为例，局部码为例，局部码i,j,m对应于总码对应于总码5,2,4，因此，因此 子块按照总码重子块按照总码重新排
44、列后，得出扩大矩阵新排列后，得出扩大矩阵 为：为：而相应的单元刚度方程为而相应的单元刚度方程为（或节点力表达式）：（或节点力表达式）：你现在浏览的是第五十五页，共78页用同样的方法可得出其他用同样的方法可得出其他单元的扩大的单元刚度方单元的扩大的单元刚度方程程:12/3/2022据节点力平衡，各个单元相应据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加：节点力叠加：整理可得，整体平衡方程：整理可得，整体平衡方程：你现在浏览的是第五十六页，共78页12/3/2022整体平衡方程：整体平衡方程：1）其中）其中K为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：集成包含
45、搬家和迭加两个环节：集成包含搬家和迭加两个环节：A、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵 。B、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵K。2）为节点载荷向量，为节点载荷向量，为节点位移向量。为节点位移向量。你现在浏览的是第五十七页，共78页12/3/2022你现在浏览的是第五十八页，共78页12/3/2022在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮
46、容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。1、对称性。、对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。量。2、稀疏性。、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。你现在浏览的是第五十九页，共78页12/3/20222、稀疏性。、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。节点节点5只与周围的六个节点只与周围的六个节点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相用三
47、角形单元相连，它们是连，它们是5的相关节点。只有当的相关节点。只有当这七个相关节点产生位移时，才使这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节点力，其余节点发生该节点产生节点力，其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。位移时并不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵因此，在矩阵K中，第中，第5行的非零行的非零子块只有七个子块只有七个(即与相关节点对应即与相关节点对应的七个子块的七个子块)。你现在浏览的是第六十页，共78页12/3/20222、稀疏性、稀疏性一般，一个节点的相关结点不一般，一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中有会超过九个，如果网格中有200个节点，则一行中非零子块的个节点，则
48、一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不个数与该行的子块总数相比不大于大于9/200，即在，即在5%以下，如果以下，如果网格的节点个数越多，则刚度网格的节点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。矩阵的稀疏性就越突出。利用矩阵利用矩阵K的稀疏性，可设的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可大法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。量地节省存贮容量。你现在浏览的是第六十一页，共78页12/3/2022 3、带形分布规律。、带形分布规律。上图中，矩阵上图中，矩阵K的非零元素分布在以对角线为中心的带形区的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中域内，称为带形矩阵。在
49、半个带形区域中(包括对角线元素在内包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公表示。半带宽的一般计算公式是：式是：半带宽半带宽 d=(相邻结点码的最大差值相邻结点码的最大差值+1)*2 上图中相邻节点码的最大差值为上图中相邻节点码的最大差值为4，故，故d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。叫半带存贮。你现在浏览的是第六十二页，共78页12/3/2022图图(a)中的矩阵中的矩阵K为为n行行n列矩阵，半带宽为列矩阵，半带
50、宽为d。半带存贮时从。半带存贮时从K中中取出上半带元素，按图取出上半带元素，按图(b)中的矩阵中的矩阵 的排列方式进行存贮，的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与，存贮量与K中元素中元素总数之比为总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。值越小，则存贮量约省。矩阵矩阵K 矩阵矩阵对角线对角线 第第1列列 r行行 r行行 r列列 45度斜线度斜线r行行s列列 r行行s-r+1列元素列元素 元素元素你现在浏览的是第六十三页，共78页12/3/2022同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应