弹性力学第九章优秀PPT.ppt

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1、弹性力学第九章弹性力学第九章你现在浏览的是第一页，共82页薄板薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。是厚度远小于板面尺寸的物体。9-1 9-1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。你现在浏览的是第二页，共82页比较薄板受到横向荷载（板面）的作用-薄板的弯曲问题薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（板面）的作用-平面应力问题平面应力问题；杆件受到横向荷载（杆轴）的作用-梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（杆轴）的作用-杆件的拉压问题；你现在浏览的是第三页，共82页 薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了3个计

2、算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面。小挠度薄板-这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：特点你现在浏览的是第四页，共82页(3)在内力中，仅由横向剪力 与横向荷 载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。(2)在中面位移中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度 ；你现在浏览的是第五页，共82页1.垂直于中面的线应变垂直于中面的线应变 可以不计可以不计。取 ，由 ，得 故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。本章研究小挠度薄板的弯曲问题。根据其内力和

3、变形特征，提出了3个计个计算假定算假定(kirchhoff)(kirchhoff)：计算假定你现在浏览的是第六页，共82页弯应力 （合成弯矩 ）及扭应力 （合成扭矩 ）横向切应力 （合成横向剪力 ）挤压应力 2.次要应力分量次要应力分量 远小于其他应力远小于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：你现在浏览的是第七页，共82页 所以 为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得略去 引起的形变项。当略去 后，薄薄板弯曲问题的物理方程板弯曲问题的物理方程为(9-2)得：得：你现在浏览的是第八页，共82页 (1)在薄板弯曲问

4、题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：说明：你现在浏览的是第九页，共82页 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于 平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩 和扭矩 。你现在浏览的是第十页，共82页 从计算假定1、2，得出 故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。你现在浏览的是第十一页，共82页 因此，中面在变形后，其线段和面积在 xy 面上的投影形状保持不变。由于故3.3.中面的纵向位移可以不计中面的纵向位移可以不计，即(9-3)你现在浏览的是第十二页

5、，共82页 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。你现在浏览的是第十三页，共82页9-2 9-2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程 本节从空空间间问问题题的的基基本本方方程程出发，应用3 3个个计计算算假假定定进行简化，导出按按位位移移求求解薄板弯曲问题的基本方程解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法你现在浏览的是第十四页，共82页 2.将其他未知函数纵向位移 u,v；主要 应变分量 ;主要应力分量 ；次要应力分量 及最次要

6、应力 均用w来表示。薄板弯曲问题是按位移求解的薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。你现在浏览的是第十五页，共82页具体推导如下：1.1.取挠度 为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，你现在浏览的是第十六页，共82页2.将 ，用 表示。应用几何方程及计算假定2，得又由计算假定3，故得你现在浏览的是第十七页，共82页3.主要应变 用 表示。应用其余三个几何方程，得：(a)你现在浏览的是第十八页，共82页4.主要应力 用 表示。应用薄板的三个物理方程及式(a)，得：(9-4)你现在浏览的是第十九页，共82页5

7、.次要应力 用 表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵 向体力 ），有利用式（9-4）可得：其中你现在浏览的是第二十页，共82页 因为上下板面上下板面是大边界，必须精确满精确满足应力边界条件足应力边界条件 由此求出 及 ，代入得到(9-5)你现在浏览的是第二十一页，共82页6.更次要应力 用 表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入并对z积分，得你现在浏览的是第二十二页，共82页由下板面的边界条件下板面的边界条件求出 ，故更次要应力为(9-6)你现在浏览的是第二十三页，共82页7.导出求解导出求解 w 的基本方程。的基本方程。由上板面边界条件上板面边界条件（

8、属于静力平衡条件）得出在A域中求 w 的方程，(9-8)(9-9)为薄板的抗弯刚度求w方程你现在浏览的是第二十四页，共82页 说明：说明：在三个计算假定下，纵向位移 u,v；主要应变 ；主要 应力 ；沿z向均为线性分 布，在中面 为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛 物线分布；均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三 次曲线分布。你现在浏览的是第二十五页，共82页 按位移求解薄板弯曲问题，只取 为 基本未知函数。在导出求 的基本方 程中应用了3个计算假定，与材料力 学解梁的弯曲问题相似。你现在浏览的是第二十六页，共82页 从上述推导过程可见,空间问题的空间问题的6 6个几何个几何方程

9、，方程，6 6个物理方程和个物理方程和3 3个平衡微分方程都个平衡微分方程都已考虑并满足已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在（）的大边界板面大边界板面上，3 3个个应力边界条件也已精确满足应力边界条件也已精确满足。只有板边的边界条件板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。你现在浏览的是第二十七页，共82页 薄板内力薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面薄板每单位宽度的横截面 上上,由应力合成的主矢量和主矩。由应力合成的主矢量和主矩。求薄板内力的目的：9-3 9-3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力 在板边（小边界）上，要用内力的边 界条件代替应力的边界条件。薄

10、板是按内力设计的；薄板内力你现在浏览的是第二十八页，共82页 求内力：求内力：取出 的六面体，x面上，有应力 ，y面上，有应力 ，。其中 ，=，沿z为直线分布，在中面为0；，沿z为二次分布，方向横截面。你现在浏览的是第二十九页，共82页 x面面 面积上面积上，应力的主矢量和主矩为：x面内力合成主矢量称为横向剪力横向剪力,合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩扭矩,合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩弯矩,你现在浏览的是第三十页，共82页类似地，求出y面面 面积上的内力：面积上的内力：y面内力弯矩扭矩横向剪力内力的正负号规定内力的正负号规定，根据应力符号确定:正的应力方向的主矢量为正正的应力方向的主矢量为

11、正;正的应力正的应力正的矩臂的力矩方向为正正的矩臂的力矩方向为正,如图。如图。你现在浏览的是第三十一页，共82页内力符号你现在浏览的是第三十二页，共82页 内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，所以其量纲均应降低一次长度量纲。(e)(f)中面内力平衡条件 考虑上图的中面平衡条件中面平衡条件，可得：薄板内力是横截面上，应力向中面合成的主矢量和主矩。你现在浏览的是第三十三页，共82页 再将 用w来表示，同样地得出挠曲线微分方程将前两式代入后式，得 你现在浏览的是第三十四页，共82页994 4 边界条件扭矩的等效剪力边界条件扭矩的等效剪力 薄板的边界条件薄板的边界条件：在上下板面（大边界），已精确地满足

12、了3个应力边界条件。边界条件你现在浏览的是第三十五页，共82页 板边为小边界，板边为小边界，可以应用圣维南原理圣维南原理来简化边界条件,将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。板边板边（小边界）（小边界）的边界条件尚未考虑,是求解挠曲线微分方程的边界条件。，可看成是中面的挠曲微分方程,或中面的平衡方程；边界条件你现在浏览的是第三十六页，共82页 薄板板边的边界条件薄板板边的边界条件分为三类：1.1.固定边固定边-若 为广义固定边，则其中 为给定的约束位移。若完全固定，则固定边(a)你现在浏览的是第三十七页，共82页 2.简支边简支边-若 为广义简支边，则其中 分别为给定的

13、约束位移和弯矩。若 ，则一般的简支边条件为简支边你现在浏览的是第三十八页，共82页因故 第二个条件可以简化。简支边的条件为简支边你现在浏览的是第三十九页，共82页 3.自由边自由边-若 为一般的自由边，则 上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。经过约20年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。自由边你现在浏览的是第四十页，共82页你现在浏览的是第四十一页，共82页在在EF=dx 微分段上微分段上，总扭矩 ，化为E、F上等效的一对力 ，分别向下（E）和向上（F）；在在FG=dx 微分段上微分段上，总扭矩 ，化为F、G上等效的一对力 ，分别向下（F）和向上（G）。图中，取

14、出板边AB（y面），扭矩的等效剪力你现在浏览的是第四十二页，共82页在F点，合成集中力 ,向下。再化为 宽度上的分布剪力 。故 AB边界总的分布剪力边界总的分布剪力为 你现在浏览的是第四十三页，共82页此外，在在A，B两端两端，还有两个未被抵的集集中剪力中剪力 用挠度表示为 因此，自由边的边界条件自由边的边界条件成为 同理可导出 的自由边条件。你现在浏览的是第四十四页，共82页4.自由边交点的角点条件自由边交点的角点条件在角点B，集中 力为 若B点有支承，阻止挠度的发生，则有 若B点无支承，应无集中力，有角点条件你现在浏览的是第四十五页，共82页 角点集中力的正负号及方向，根据扭矩确定，见习题

15、9-2。固定边是位移边界条件，自由边是内力边界条件，简支边是混合边界条件。你现在浏览的是第四十六页，共82页 小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程挠曲线微分方程和板边的边界条件板边的边界条件。995 5四边简支矩形薄四边简支矩形薄 板的重三角级数解板的重三角级数解求w条件你现在浏览的是第四十七页，共82页 对于四边简支的四边简支的矩形板矩形板，边界条件为 (b)四边简支你现在浏览的是第四十八页，共82页 纳维将 w 表示为重三角级数重三角级数，其中m，n为正整数。代入式(b)，全部边界条件满足。你现在浏览的是第四十九页，共82页将q(x,y)也展为重三角级数，再代

16、入式(a)，得将q代入上式，比较两边系数，得你现在浏览的是第五十页，共82页 纳维解答是用多种正弦波形 的叠加来表示挠度 w 的。对于各种形式的荷载q，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。你现在浏览的是第五十一页，共82页 当q为集中荷载F，作用于一点 时，可用 代替q，并且只在 处的微分面积上存在，其余区域q=0，于是 中 当q为均布荷载时，代入式(f)，便可求出 ，并得出w解答。你现在浏览的是第五十二页，共82页 设矩形板的两对矩形板的两对边边 为简支边为简支边，其余两边为任意边界。996 6矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解 两对边简支你现在浏览的是第五十

17、三页，共82页其中 是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了 的简支边条件,莱维采用单三角级数单三角级数表示挠度，将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支你现在浏览的是第五十四页，共82页 将 也展开为单三角级数，两对边简支代入式(b)，比较系数，得出求 的常微分方程，你现在浏览的是第五十五页，共82页其中 为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将 代入式(a)，得w解，其中 的系数由其余两边界条件来确定。式(d)的解为你现在浏览的是第五十六页，共82页 书中列举了受均布荷载 时,四边简支板的解答。矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。你现

18、在浏览的是第五十七页，共82页1.从求解薄板弯曲问题来看，两者比较 如下：适用性适用性 四边简支四边简支 两对边简支，另两边可任意两对边简支，另两边可任意求解求解较困难，须求解系数较困难，须求解系数 收敛性收敛性慢慢 快快应用应用 局限于局限于四边简支四边简支 可推广应用到其他各种边界可推广应用到其他各种边界纳维解法纳维解法 莱维解法莱维解法简便简便你现在浏览的是第五十八页，共82页2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三 角级数解，用于解决各种矩形薄板的矩形薄板的边边 界条件问题界条件问题。3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静 力（弯曲）问题中得到了广泛的应用，而且可以推广应用于薄板的动力、稳

19、定 问题,以及能量法中。你现在浏览的是第五十九页，共82页1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？思考题你现在浏览的是第六十页，共82页 应用差分法差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。首先将挠曲线微分方程变换为差分方程,插分方程 9 97 7矩形板的差分解矩形板的差分解你现在浏览的是第六十一页，共82页对 点，即你现在浏览的是第六十二页，共82页固定边和简支边附近的w 值，如下图所示。若AB为简支边，对于o 点，若AB为固定边，则对于o点，你现在浏览的是第六十三页，共82页(a)固定边(b)简支边你现

20、在浏览的是第六十四页，共82页 对于自由边自由边的情形，边界点的w值是未知数，须列式(a)的差分方程，其中涉及边界外一、二行虚结点的 w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。对于具有支承边支承边（简支边，固定边）的矩形板，每一内结点的w值为未知数，对每一内结点应列式(a)的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的 w值，如式(b)或(c)所示。你现在浏览的是第六十五页，共82页例例1 1 四边简支的正方形薄板，受到均布荷载 的作用，试取 的网格，如图，用差分法求解薄板中心点的挠度和内力（取 ）。2121012120你现在浏览的是第六十六页，共82页网格精确解答案答案:你现在浏览的是

21、第六十七页，共82页例例2 2 同上题，但四个边界均为固定边。网格精确解答案答案:你现在浏览的是第六十八页，共82页 总之，对于具有支承边的矩形板，采用差分法求解是十分简便有效的，取较少的网格便可求得精度较好的挠度值w。而由 w求内力时，因为对近似解w求导数后会降低精度，所以须适当地加密网格。你现在浏览的是第六十九页，共82页 对于 的正方形薄板，受均布荷载 作用，试取 的网格，分别求解下列边界问题的中心点挠度，并进行比较：边（1）四边简支；（2）三简支，一边固定；思考题你现在浏览的是第七十页，共82页（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（

22、6）四边固定。你现在浏览的是第七十一页，共82页998 8圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲 圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。你现在浏览的是第七十二页，共82页 1.挠曲微分方程挠曲微分方程仍为其中 圆板方程你现在浏览的是第七十三页，共82页将对x，y的导数变换为对 的导数，并代入 ，得2.内力公式内力公式-类似地可利用公式，例如，内力公式你现在浏览的是第七十四页，共82页 同样，得出你现在浏览的是第七十五页，共82页 类似地，横截面上的总剪力为你现在浏览的是第七十六页，共82页 3.边界条件边界条件可以表示为 设 为简支边简支边，则 设 为固定边固定边，则边界条件你现

23、在浏览的是第七十七页，共82页 前一条件使w对 的导数在 边界上 均为0，故简支边条件为你现在浏览的是第七十八页，共82页 设 为自由边自由边，则你现在浏览的是第七十九页，共82页 若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。所以有999 9圆形薄板的轴对称弯曲圆形薄板的轴对称弯曲挠曲微分方程为轴对称弯矩你现在浏览的是第八十页，共82页 对于无孔板无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在 的有限值条件，所以得 。式(a)的全解全解为 对于有孔板有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定 。通解的系数 由边界条件来确定：其中特解特解 为边界条件你现在浏览的是第八十一页，共82页 上述的轴对称解答(b)，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。你现在浏览的是第八十二页，共82页