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1、高考总复习 专题4 函数的性质（一）一、知识网络二、高考考点1.函数单调性的判定；单调区间的寻求.2.函数奇偶性的判定与应用；函数单调性与奇偶性联系的应用.3.函数周期性定义及其延伸的应用.4.函数的单调性与不等式的问题；函数的奇偶性,周期性与方程的问题.5.函数奇偶性的延伸函数图形的对称性.6.反函数的存在与判断;正反函数的联系及求值问题.三、知识要点1单调性(1)定义:设函数f(x)的定义域为I,区间D I.如果对任意 , D,当 时,都有f( )f( ),则称f(x)是区间D上的增(减)函数.区间D称为f(x)的单调区间.认知: ()单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而
2、言,单调性往往是函数的局部性质,而对于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的 , 具有任意性,不能以特殊值代替.()函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.()注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:f(x)在D上为增函数且f( )f( ) ,且 , D;f(x)在D上为减函数且f( ) , , D.(2)定义的应用单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为()设值定大小:设 ,
3、 为给定区间上任意两个自变量值,且 0)的单调性,其中a0,且b0.分析1.运用函数的单调性定义.设0 ,则f( )-f( )=a( - ) (尽量简化分母)由此可见,差式的符号取决于 的符号,因此,以确定 的符号为主旨展开讨论.在这里,当划分区间的分界点难以确定时,可考虑运用极端分析法,即从极端情形入手分析与寻觅:令 = 且 =0,解得 = = 于是考虑以这些零值为分界点划分所给区间(0,+).解法1.设 , (0,+ )且 ,则 - 0,且f( )-f( )= = (1)当 , (0, ,0 , 0,即f( )f( )f(x)在(0, 上为减函数.(2)当 , ,+ ）时, , - 0从而
4、f( )-f( )0,即f( )f( )f(x)在 ,+ )上为增函数.于是由(1)(2）得知,f(x)在(0, )为减函数,在 ,+ 上为增函数.分析2.注意到f(x)的导数易求，考虑运用导数法.解法2.(x)=a- 令(x)=0得x= 当0x 时, f(x)在(0, )上为减函数.同理可得,f(x)在( ,+)上为增函数.综上得知,f(x)在(0, )为减函数,在 ,+ 上为增函数.点评: (1)解法一中确定讨论的子区间的分界点的“极端分析法”,在解决其它单调性的讨论问题时值得借鉴.(2)本题的结论对解决此类函数问题具有潜在作用,请同学们注意它或它的特例的图像.例2.已知函数f(x)=m(
5、x+ )的图象与h(x)= 的图象关于点A(0,1)对称.(1)求m的值;(2)若g(x)=f(x)+ 在区间(0,2 )上为减函数,求实数a的取值范围.分析:对于两个函数的图象关于某点对称或关于某直线对称的问题,解题的基本策略是从两个图象上的“点对称”切入,即从“一个图像上的某一点(或任一点)关于该点的对称点必在另一个函数图像上”切入.解: (1)在这里,点M(1, )在函数h(x)的图像上,又点M(1, )关于点A(0,1)的对称点为M（-1, - ）由题设知点M必在函数f(x)的图像上.故得 - =m(-1)+ 由此解得m= (2)由(1)知, f(x)= ,g(x)= + 即g(x)
6、= + 解法一(定义法):设 , (0,2）且 0 又 - 0 又 , (0,2 ） 且 , 0 注意到式中须有a+1 0,由得 再注意到式是对任意 , (0,2 )都成立,为满足它, 式须有 所求实数a的取值范围为:3,+ ) .解法2(导数法):供同学们练习.点评:解法一的特点是“构造”.由已知导出式后,注意到左边是关于 , 的代数式(函数式) ,右边为常数1,于是想到再由题设条件入手去构造关于 的不等式,以求两式联合推出关于参数a的不等式,进而解出a的取值范围.此为解决这类问题的常用策略.例3.已知函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y)+3, f(3)=6 ,且
7、当x0时,f(x)3.(1)讨论f(x)在R上的单调性;(2)是否存在实数a,使f( )4成立?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.分析:此类关于抽象函数的不等式问题,一般只适于定义法.()循着运用单调性定义解题的思路设 , R且 0 由此寻到解题的突破.()解不等式f( )4,需将4化为f( )的形式.注意到已知等式的一般性,考虑循着由一般到特殊的辩证途径去寻觅.解: (1)设 , R且 0 由当x0时,f(x)3得f( - )3 f( - )-30 f( )=f +( - )=f( )+f( - )-3由得 f( )f( ) 即f( )f( )f(x)在R上为增函数.(2)在已知
8、恒等式中令x=y=1得2f(1)=f(2)+3(从“1”入手去接近“3”) f（2）=2f(1)-3 又令x=2,y=1得f(3)=f(2)+f(1)-3 代入得f(3)=3f(1)-6f(3)=6, f(1)=4不等式f( )4 f( )f(1)而由知f(x)在R上为增函数,故得 1 0 -2a3于是可知,存在实数a (-2,3),使得f( )4成立.点评: ()解决含有抽象函数符号的一类不等式f(p(x)a的问题,脱去函数符号“f”只有“反用”函数的单调性定义，为此，首先需要寻觅af（ ）中的 .()“以特殊”破解“一般”，是解决这一问题的基本策略.例4.定义在R上的函数f(x)满足()当
9、x1;()f(0)0;()对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x) f(y).(1)当x0时,求证:0f(x)0, 则-x1 由得 f(x)10故有 f(x)0 因此由得 0f(x)1(2)证明:由题设条件知,当x1;由(1)知,当x0时,有0f(x)0 此时,以-y代替()中的y得f(x-y)=f(x) f(-y) 注意到由得 f(-y) f(y)=1由得,f(x-y)= 设 且 ,则 由得 f( )= f( )1又f(x)0恒成立,由得 1 f(x)在R上为减函数.(3)由知,f(0)=1由()得,原不等式 f(x)在R上为减函数.由得 原不等式的解集为 .点评:(1)在这里,“特数”与
10、“替换”的运用酣畅淋漓，既有“特殊取值”:令x=y=0;又有“特殊关系”:令y=-x;既有“等量替换”得两式;又有“同位替换”得式.(2)若注意到条件()符合指数函数f(x)= (或f(x)= ,a0且a1),则第2题的证明可想到借鉴指数型函数单调性证明的常用方法-比值法.例5定义在（2，2）上的偶函数f（x）满足f（1a）f（a）,且f(x)在(-2,0上为增函数,求a的取值范围.分析:求解关于抽象函数的不等式,需要反用函数的单调性定义脱去函数符号f,为此,需要利用已知条件将f之下的自变量调整到f(x)的同一个单调区间上.解:由f(x)的定义域为(-2,2)得 注意到f(x)为偶函数 f(x
11、)=f( )f(1-a)0 (转化之一) 又令u=x+ , 则u= x+ 在1,+)上递增且u2 (证明从略) 由 m0 再注意到 u= x+ 为奇函数,故u在(-,-1上递增,在-1,0)下降 (转化之二)当x=-1时, u= x+ 在(-,0)上取得最大值-2 (同理: 当x=1时, u= x+ 在 (0,+)上取得最小值2)由知 当x=-1时f(x)取得最小值f(-1).即f(-1)=-1 (符合) 于是由得 p=-1,q=1,m=1.点评: 在这里,从特殊值切入,由奇偶性突破,利用单调性攻坚.其中,对f(x)性质的分析与转化,一步:化繁为简,化生为熟;而由f(x)与内层函数g(x)的相
12、互联系导出m0,由f(x)与内层函数g(x), u= x+ 的相互结合导出 ,乃是解题的关键.五.高考真题(一)选择题1.(2005重庆卷)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)2时,f(x)f(2)=0 当xf(-2)=0 由否定A,B,C,应选D.2.(2004.全国卷D)设函数f(x)(xR)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=( )A. 0 B.1 C. D.5分析:由f(x)为奇函数且f(1)= 得 f(-1)= .由已知f(x+2)=f(x)+f(2)得f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(
13、2)= +2f(2)又f(1)=f(-1+2) (与另一条件沟通联系)=f(-1)+f(2)f(2)=f(1)-f(-1)=1 代入得f(5)= +2= , 应选C.3.(2005.福建卷)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5分析:立足于考察函数f(x)的零值.由f(2)=0得f(-2)=0又由f(x)为奇函数且xR得f(0)=0.利用f(x)的周期性和奇偶性得f(1)=f(1-3)=f(-2)=0f(3)=f(0+3)=f(0)=0f(4)=f(1+3)=f(1)=0f(5
14、)=f(2+3)=f(2)=0方程f(x)=0在区间(0,6)内至少有5个解,故应选D.点评:若这里f(x)还满足f( )=0,则f(x)=0解的个数还会增加,故这里说满足所给条件的方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是5.(二)解答题1.(2005.湖北卷)已知向量 若函数f(x)= 在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析:这里是在f(x)在区间(-1,1)上递增的条件下,求函数f(x)的解析式中所含参数t的取值范围.为此,首先从化生为熟切入,先将f(x)的表达式化为我们所熟悉的形式.解:由题设条件得f(x)= f(x) （）3 注意到（）在（1，1）上为增函数 在
15、（1，1）上总有f（x）0 t3 在区间(-1,1)上恒成立 设g(x)= 3 ,则g(x)的图像是以x= 为对称轴,开口向上的抛物线,g(x)在( ,+)上递增.由得,tg(x)在区间(-1,1)上恒成立 tg(-1) t5于是可知,当f(x)在区间(-1,1)上是增函数时,t的取值范围为5,+).2.(2005.广东卷)设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.分析: (1)判
16、断f(x)的奇偶性,要立足于定义,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)在定义域内是否恒成立.当题目中的条件比较抽象,正面推断难以进行时,可以考虑取一些特殊值计算,判断,或从反面以“特殊”去否定“一般”,或从中受到某种启发.(2)探求方程f(x)=0在某区间上的根的个数,运用从局部到整体的策略,即先确定f(x)=0在某个子区间上的根的个数,而后利用f(x)的周期性向其它子区间漫延,最后“集零为整”获得问题的答案.解：(1)若f(x)为奇函数且0属于f(x)的定义域,则有f(0)=-f(0),即f(0)=0这与在闭区间0,7上只有f(1)=f(3)=0矛盾.f(x)不是奇函数. 又由f
17、(2-x)=f(2+x)得f(x)的图像关于直线x=2对称.f(-1)=f(5)0而f(1)=0f(-1)f(1),即f(x)不是偶函数 于是,由知,f(x)是非奇非偶函数.(2)注意到f(2-x)=f(2+x) f(x)=f(4-x)f(7-x)=f(7+x) f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10)f(x)是周期函数且10是f(x)的一个周期. 又 f(7-x)=f(7+x) f(x)的图像关于直线x=7对称而f(x)在0,7上仅有f(1)=f(3)=0 f(x)=0在(7,10上没有根.(不然,若存在c(7,10使得f(c)=0,则有f(c)=f(1
18、4-c)=0,但414-c0) 由知 与 同号 由得, | | |=( ) 1 又假设存在 ,使f( )=0成立,则由得 ( - ) ( - )f( )-f( )=( - )0=0即 ( - ) 0这与 0, ( - ) 0矛盾.不存在 ,使得f( )=0 于是由得,这里 1,并且不存在 使得f( )=0.(2)注意到b=a- f(a) (b- ) =a- - f(a) =(a- )- (f(a)-f( ) (这里f( )=0)=(a- ) -2 (a- ) f(a)-f( )+ f(a)-f( ) 又由得(a- ) f(a)-f( ) (a- ) 由得f(a)-f( ) (a- ) 由得(b- ) (a- ) -2 (a- ) + (a- ) =(a- ) (1- ).(3)注意到f(b) =f(b)-f(a)+f(a) =f(b)-f(a)+f(a)-f( ) =f(b)-f(a) +2f(b)-f(a)f(a)-f( )+f(a)-f( ) 又由得,f(a)-f( )=f(a)= ,再由f(b) (b-a) -2 f(b)-f(a)+f(a) = f(a) - 2 (b-a)+f(a) =( +1)f(a) -2(b-a) =( +1)f(a) -2 f(a) =(1- )f(a) f(b) (1- ) f(a)