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1、材料力学扭转第三章你现在浏览的是第一页，共64页本章的主要内容：本章的主要内容：1.1.扭转内力扭转内力2.2.薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3.3.扭转的应力与强度条件扭转的应力与强度条件4.4.扭转的变形与刚度条件扭转的变形与刚度条件5.5.扭转的超静定问题扭转的超静定问题6.6.扭转的应变能扭转的应变能你现在浏览的是第二页，共64页长江江阴大桥长江江阴大桥缆索缆索塔塔拉杆拉杆桥面桥面工程扭转实例工程扭转实例你现在浏览的是第三页，共64页你现在浏览的是第四页，共64页机器中的传动轴机器中的传动轴你现在浏览的是第五页，共64页直升机直升机你现在浏览的是第六页，共64页传动轴传动轴你现在浏览的是
2、第七页，共64页受力特点：受力特点：在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。反向的力偶。变形特点：变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。以扭转变形为主的杆件以扭转变形为主的杆件 称为称为轴轴。扭转角（扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。：直角的改变量。主要讨论主要讨论圆轴圆轴的强度和刚度问题。的强度和刚度问题。扭转内力扭转内力你现在浏览的是第八页，共64页直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩二、外力偶矩二
3、、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第九页，共64页由理论力学知，力偶在单位时间内所做的功等于该力偶的矩由理论力学知，力偶在单位时间内所做的功等于该力偶的矩与相应角速度的乘积，即与相应角速度的乘积，即若功率的单位用千瓦，转速用若功率的单位用千瓦，转速用n转转/分分:按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算你现在浏览的是第十页，共64页传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）其中：其中
4、：P 功率，马力（功率，马力（PS）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1kW=1.36PS你现在浏览的是第十一页，共64页2.2.横截面上的扭转内力横截面上的扭转内力扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：用矢量表示，采用右手螺旋法则：用矢量表示，采用右手螺旋法则：扭矩矢量指离截面为扭矩矢量指离截面为+，指向截面为，指向截面为-扭矩（扭矩（T）绕轴线旋转的内力偶矩绕轴线旋转的内力偶矩由截面法由截面法TmmIIMeTMeMe你现在浏览的是第十二页，共64页扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为
5、负。螺旋规则为正，反之为负。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。目目 的的 你现在浏览的是第十三页，共64页某传动轴受力如图所示，已知：某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，MeB=1000Nm，MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。解解:求扭矩求扭矩 对对AB段：段：对对BC段：段：作作扭矩图扭矩图BC段为危险截面段为危险截面你现在浏览的是第十四页，共64页例例5 已知：一传动轴，已知：一
6、传动轴，n=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩你现在浏览的是第十五页，共64页nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）你现在浏览的是第十六页，共64页绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面段为危险截面nA B C Dm2 m3 m1 m4xT （kN.m)4.789.566.37你现在浏览的是第十七页，共64页基本变形基本变形几何法几何法
7、组合变形组合变形叠加法叠加法能量法：能量法：解决材料力学问题的另外一种途径和方法。解决材料力学问题的另外一种途径和方法。应应 力力应应 变变变变 形形外外 力力物理关系物理关系（胡克定律）（胡克定律）静力学关系静力学关系（平衡方程）（平衡方程）几何关系几何关系（变形协调方程）（变形协调方程）内内 力力材料力学学习的基本思路材料力学学习的基本思路你现在浏览的是第十八页，共64页壁厚壁厚（r0：为平均半径）：为平均半径）一、实验：一、实验：1.1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m m。薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转你现在浏览的是第十九页，共64页2
8、.2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。你现在浏览的是第二十页，共64页 acddxbdy 无正应力无正应力横截面上各点处，只产生垂直横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截沿周向大小不变
9、，方向与该截面的扭矩方向一致。面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：你现在浏览的是第二十一页，共64页4.4.与与 的关系：的关系：二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。你现在浏览的是第二十二页，共64页三、切应力互等定理：三、切应力互等定理：上式称上式称为切应力互等定理为切应力互等定理。该定理表明：该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其
10、方向则共同指向或共同背离该交线。或共同背离该交线。单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。acddxbdy 你现在浏览的是第二十三页，共64页四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p），剪应力与剪应变成，剪应力与剪应变成正比关系。正比关系。式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，不同材料，不同材料的的G值可通过实验确定。值可通过实验确定。剪切弹性模量、弹性模量和泊松
11、比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：系：你现在浏览的是第二十四页，共64页等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：1.1.横截面变形后仍为平面横截面变形后仍为平面2.2.轴向无伸缩轴向无伸缩3.3.纵向线变形后仍为平行纵向线变形后仍为平行等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件你现在浏览的是第二十五页，共64页二、等
12、直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。你现在浏览的是第二十六页，共64页2.2.物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：你现在浏览的是第二十七页，共64页3.3.静力学关系：静力学关系：令令代入物理关系式代入物理关系式 得：得：OdA你现在浏览的是第二十八页，共64页横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点处任一点 剪应力计算公式。剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用
13、于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。你现在浏览的是第二十九页，共64页对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：你现在浏览的是第三十页，共64页 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约
14、材料，重量轻，结构轻便，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。应用广泛。你现在浏览的是第三十一页，共64页确定最大剪应力：确定最大剪应力：由由知：当知：当WP 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：你现在浏览的是第三十二页，共64页三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需
15、要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。你现在浏览的是第三十三页，共64页 你现在浏览的是第三十四页，共64页 xnt转角规定：转角规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：你现在浏览的是第三十五页，共64页 45你现在浏览的是第三十六页，共64页实心圆截面轴实心圆截面轴 和空心圆截面轴和空心圆截面轴 的材料、扭转力偶矩的材料、扭转力偶矩 Me 和长度和长度 l 均相同，最大切应力也相等。若空心圆截面内、均相同，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外径之比外径之比 =0.8，试求空心圆截面的外径与实心圆截面
16、直试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比及两轴的重量之比。径之比及两轴的重量之比。你现在浏览的是第三十七页，共64页验算薄壁圆筒横截面上切应力公式的精度。已知圆筒验算薄壁圆筒横截面上切应力公式的精度。已知圆筒的壁厚的壁厚 和平均直径和平均直径 d0。你现在浏览的是第三十八页，共64页已知：已知：P7.5kW,n=100r/min,最最大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,空心圆轴空心圆轴的内外直径之比的内外直径之比 =0.5。二轴长。二轴长度相同。求度相同。求:实心轴的直径实心轴的直径d1和空和空心轴的外直径心轴的外直径D2；确定二轴的重量；确定二轴的重量之比。之比。解：首先由轴所传递
17、的功率计算作用在轴上的扭矩解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴你现在浏览的是第三十九页，共64页空心轴空心轴长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比你现在浏览的是第四十页，共64页已知：已知：P114kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,D1=36,D3=12;d1=70mm,d 2=50mm,d3=35mm.求求:各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的最大切应力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kWn1=n2=120r/min解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转
18、速T1=1114 N.mT2=557 N.mT3=185.7 N.m2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩3你现在浏览的是第四十一页，共64页3 3、计算各轴的横截面上的最大切应力、计算各轴的横截面上的最大切应力你现在浏览的是第四十二页，共64页四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用剪应力。称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：你现在浏览的是第四十三页，共64页功率为功率为150kW，转速为，转速为15.4转转/秒的电动机转子轴如图，许
19、秒的电动机转子轴如图，许用剪应力用剪应力 =30M Pa,试校核其强度。试校核其强度。Tm解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmx你现在浏览的是第四十四页，共64页面面积积为为A1的的实实心心圆圆轴轴，两两端端受受扭扭转转力力偶偶矩矩作作用用，其其许许可可载载荷荷为为 T1。若将轴的面积增加为。若将轴的面积增加为A2=4A1，则其许可载荷，则其许可载荷 T2 为：为：（A）2 T1 （B）4 T1（C）6 T1 （D）8 T1 答：（答：（D）面积面积 A2=4A1，则直径，则直
20、径D2=2D1，许可载荷与轴直径的立方成正比。，许可载荷与轴直径的立方成正比。你现在浏览的是第四十五页，共64页一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式知：知：长为长为 l 的轴两截面间相对扭转角的轴两截面间相对扭转角 为为等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件你现在浏览的是第四十六页，共64页二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或或三、刚度条件三、刚度条件或或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。你现在浏览的是第四十七页，共64页刚度计算的三方面：刚度计算的三方
21、面：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。你现在浏览的是第四十八页，共64页长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8，G=80GPa，许用剪应力许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；，试设计杆的外径；若若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径m=20Nm/m2mD 0.0226m。你现在浏览的是第四十九页，共64页
22、由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度 右端面转角右端面转角为：为：你现在浏览的是第五十页，共64页某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率，输入功率N1=500 马力，输出功率分别马力，输出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：，试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 若全轴选同一直径，应为多少若全轴选同一直径，应为多少主动轮与从动轮如何安排合理主动轮与从动轮如何安排合理解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如图扭矩如图 500400N1N3N2ACB
23、Tx7.024 4.21(kNm)你现在浏览的是第五十一页，共64页由刚度条件得：由刚度条件得：由由强度强度条件得：条件得：综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时你现在浏览的是第五十二页，共64页 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮轮 应该应该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示，此时此时，轴的最大轴的最大 直径才为直径才为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814你现在浏览的是第五十三页，共64页ABC2m1m1mD有有一一外外径径D=100mm，内内径径d=80mm的的空空心心圆圆轴轴与与一一直直径
24、径d=80mm的的实实心心圆圆轴轴用用键键联联接接(如如图图所所示示)。在在A轮轮输输入入功功率率为为P1=300马马力力。在在B、C轮轮处处分分别别负负载载P2=150马马力力、P3=150马马力力。若若已已知知轴轴的的转转速速为为n=300转转/分分。材材料料的的剪剪切切弹弹性性模模量量为为G=80GPa，轴轴的的扭扭转转许许用用剪剪应应力力=40MPa，许许用用单单位位长长度扭转角度扭转角=1/m，要求：，要求：1.1.校核轴的强度和刚度校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响不考虑键的影响)2.2.三个轮的位置应如何设置三个轮的位置应如何设置 才较为合理才较为合理3.3.经合理布置各轮位置后
25、，经合理布置各轮位置后，求求C截面相对截面相对A截面转角截面转角你现在浏览的是第五十四页，共64页解：解：计算外力偶计算外力偶 绘制扭矩图绘制扭矩图m1m2m32m1m1m+T(kNm)你现在浏览的是第五十五页，共64页 刚度校核刚度校核“AD”轴轴“DC”轴轴故全轴刚度足够。故全轴刚度足够。你现在浏览的是第五十六页，共64页 强度校核强度校核CD轴：轴：CD轴强度足够。轴强度足够。AD轴：轴：故故AD轴强度不够。轴强度不够。你现在浏览的是第五十七页，共64页m2=3.5kNmm1=7kNmm3=3.5kNm2m1m1m+T(kNm)3.53.5 合理布置轮的位置，交换轮合理布置轮的位置，交换
26、轮1 1和轮和轮2 2的位置，的位置，则轴的受力图和扭矩图如下图所示：则轴的受力图和扭矩图如下图所示：m1m2m3你现在浏览的是第五十八页，共64页 Tmax比原来小，比原来小，这样布置显然更为合理，原来这样布置显然更为合理，原来AD轴强轴强度不够，现再对它进行强度校核度不够，现再对它进行强度校核 求变形求变形(扭转角扭转角)你现在浏览的是第五十九页，共64页解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成
27、的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题你现在浏览的是第六十页，共64页长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8，外径外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解：解：杆的受力图如图示，杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。平衡方程为：平衡方程为：m=20Nm/m2mmAmB你现在浏览的是第六十一页，共64页 几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得由平衡方程和补充方程得：另另:此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。你现在浏览的是第六十二页，共64页扭矩扭矩T是是x的函数时的函数时可否得到可否得到等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能你现在浏览的是第六十三页，共64页acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：你现在浏览的是第六十四页，共64页