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1、差分方程课件你现在浏览的是第一页，共40页第一节第一节 差分方程基本知识差分方程基本知识1、差分方程：、差分方程：差分方程反映的是关于差分方程反映的是关于离散离散变量的取值与变化变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和量
2、所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。题的解。你现在浏览的是第二页，共40页引例引例1：Fibonacci（斐波那契）数列（斐波那契）数列问题问题问题问题 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书在他的著作算盘书中记载着这样一个
3、有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 你现在浏览的是第三页，共40页你现在浏览的是第四页，共40页 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过
4、观察可以发现，数列fn满满足下列递推关系：足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列.Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2.钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3.树的分枝树的分枝 4.杨辉三角形杨辉三角形你现在浏览的是第五页，共40页引例引例2：日常的经济问题中的差分方程模型：日常的经济问题中的差分方程模型1 1）.银行存款与利率银
5、行存款与利率银行存款与利率银行存款与利率 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%.用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,an,设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是：因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,你现在浏览的是第六页，共40页2 2）.家庭教育基金家庭教育基金家庭教育基金家庭教育基金 从从1994年开始，我国
6、逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为元作为家庭教育基金家庭教育基金.若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表年后教育基金总额的表达式达式.预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的费用为岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每
7、年向银行存入x元，依据复利率计元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,你现在浏览的是第七页，共40页3 3）.抵押贷款抵押贷款抵押贷款抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元.他们已经筹集他们已经筹集10万元，万元，另外另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款.若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为，还贷期限为20年，问年，问小李夫妇每月要还多少钱？小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为
8、x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠款额个月后的欠款额为为an，则，则 a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,你现在浏览的是第八页，共40页二二.差分的概念与性质差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量一般地，在连续变化的时间的范围内，变量关于时间关于时间的变化率是用的变化率是用来刻画的；来刻画的；对离散型的变量对离散型的变量我们常用在我们常用在规定时间区间上的差商规定时间区间上的差商来刻画变量来刻画变量的变化率的变化率.如果取如果取，则，则可以近似表示变量可以近似表示变量的变化率的变化率.由
9、此我们给出差分的定义由此我们给出差分的定义.你现在浏览的是第九页，共40页定义定义1设设函数函数，称改，称改变变量量为为函数函数的差分，也称的差分，也称为为函数函数的一的一阶阶差分，差分，记为记为，即，即 或或 一一阶阶差分的差分差分的差分称称为为二二阶阶差分，即差分，即类类似地可定似地可定义义三三阶阶差分，四差分，四阶阶差分，等等差分，等等.你现在浏览的是第十页，共40页一般地，函数一般地，函数的的阶阶差分的差分称差分的差分称为为阶阶差分，差分，记为记为，即，即 二二阶阶及二及二阶阶以上的差分以上的差分统统称称为为高高阶阶差分差分.你现在浏览的是第十一页，共40页例例1 设设，求求，解解 你
10、现在浏览的是第十二页，共40页例2 设求解解 设，则.你现在浏览的是第十三页，共40页差分满足以下性质：（2）（3）（4）（1）你现在浏览的是第十四页，共40页例例3 求求解解 由差分的运算性由差分的运算性质质，有，有.的差分的差分.你现在浏览的是第十五页，共40页1差分方程的概念差分方程的概念定定义义2 含有未知函数含有未知函数的差分的方程称的差分的方程称为为差分方程差分方程.或或 差分方程中所含未知函数差分的最高差分方程中所含未知函数差分的最高阶阶数称数称为该为该差分方程的差分方程的阶阶差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：你现在浏览的是第十六页，共40页定义定义3满足差分方程的函数称为
11、该差分方程的解满足差分方程的函数称为该差分方程的解.例如，例如，对对于差分方程于差分方程，将，将代入方程有代入方程有 故故是是该该方程的解，易方程的解，易见对见对任意的常数任意的常数都是差分方程都是差分方程的解的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解通解.你现在浏览的是第十七页，共40页定义定义4若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程为一次，则称该差分方程为线性
12、差分方程.其一般形式为其一般形式为 其特点是其特点是都是一都是一次次的的.你现在浏览的是第十八页，共40页三三.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一一阶阶常系数差分方程的一般方程形式常系数差分方程的一般方程形式为为 其中其中为为非零常数，非零常数，为为已知函数已知函数.如果如果则则方程方程变为变为 称称为为一一阶阶常系数常系数线线性性齐齐次次差分方程，相差分方程，相应应地，地，时时方程方程一阶常系数线性一阶常系数线性非齐次非齐次差分方程差分方程.你现在浏览的是第十九页，共40页1一一阶阶常系数常系数线线性性齐齐次差分方程的通解次差分方程的通解已知，将已知，将代入方程代入方程中，得中，
13、得 则则为为方程的解方程的解.容易容易验证验证，对对任意常数任意常数都是方程的解，故方程的通解都是方程的解，故方程的通解为为 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.设设你现在浏览的是第二十页，共40页例例4 求差分方程求差分方程的通解.解解利用公式得，题设方程的通解为利用公式得，题设方程的通解为你现在浏览的是第二十一页，共40页2一一阶阶常系数常系数线线性非性非齐齐次差分方程的通解次差分方程的通解为齐为齐次方程的通解，次方程的通解，为为非非齐齐次方程的一个次方程的一个为为非非齐齐次方程的通解次方程的通解.，及，及将将这这两式相加得两式相加
14、得，即，即为为非非齐齐次方程的通解次方程的通解.定理定理设设特解，则特解，则证明证明由题设，有由题设，有你现在浏览的是第二十二页，共40页（1）为非零常数，由，可按如下迭代法求得特解给定你现在浏览的是第二十三页，共40页齐齐次方程的通解次方程的通解为为于是方程通解于是方程通解为为 时，当其中，为任意常数，且当时，为任意常数为任意常数你现在浏览的是第二十四页，共40页例例5 求差分方程求差分方程的通解的通解.，故原方程的通解故原方程的通解为为 解解由于由于你现在浏览的是第二十五页，共40页（2）（为为非零常数且非零常数且）.时时，设设为为非非齐齐次方程的特解，其中次方程的特解，其中为为待定系数待
15、定系数.将其代入方程将其代入方程,得得解得解得，于是，所求特解，于是，所求特解为为所以所以时时，方程的通解，方程的通解为为 当当你现在浏览的是第二十六页，共40页当当时时，设设为为方程的特解，代入方程得方程的特解，代入方程得所以，当所以，当时时，方程的通解，方程的通解为为 你现在浏览的是第二十七页，共40页例例7 求差分方程求差分方程在初始条件在初始条件时时的特解的特解.利用公式，所求通解利用公式，所求通解为为将初始条件将初始条件代入上式，得代入上式，得故所求故所求题设题设方程的特解方程的特解为为 解解这里这里你现在浏览的是第二十八页，共40页则则被称被称为为n阶阶齐齐次次线线性差分方程性差分
16、方程。若所有的若所有的ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为常系数差分方常系数差分方程程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成（7.1）的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为（7.2）容易容易证证明，若序列明，若序列与与均均为为方程（方程（7.2）的解，）的解，则则也是方程（也是方程（7.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2为为任意常数，任意常数，这说这说明，明，齐齐次方程的解构成一个次方程的解构成一个 线线性空性空间间（解空（解空间间）。）。此规律对于（此规律对于（7.1）也成立。）也成立。你现在浏览的是第二十九页，共40页
17、方程（方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解）先求解对应对应的特征方程的特征方程 （7.3）（步二步二）根据特征根的不同情况，求）根据特征根的不同情况，求齐齐次方次方 程程(7.2）的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（7.3）有）有n个互不相同的个互不相同的实实根根,，则齐则齐次方程（次方程（7.2）的通解）的通解为为 (C1,Cn为为任意常数任意常数)，情况情况2 若若是特征方程（是特征方程（7.3）的）的k重根，通解中重根，通解中对应对应 于于的的项为项为为为任意常数，任意常数，i=1,k。情况情况3若特征方程（若特征方程（
18、7.3）有单重复根）有单重复根通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为为为的模，的模，为为的幅角。的幅角。你现在浏览的是第三十页，共40页情况情况4 若若 为为特征方程（特征方程（7.3）的）的k重复根，重复根，则则通通 解解对应对应于它于它们们的的项为项为为为任意常数，任意常数，i=1,2k。.若若yt为为方程方程(7.2)的的通解通解,则则非非齐齐次方程次方程(7.1)的通解的通解为为（步三步三）求非求非齐齐次方程次方程(7.1)的一个特解的一个特解 求非齐次方程（求非齐次方程（7.1）的特解一般）的特解一般要用到要用到常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式的的b
19、(t)也可使用也可使用待定待定系数法系数法。你现在浏览的是第三十一页，共40页你现在浏览的是第三十二页，共40页你现在浏览的是第三十三页，共40页6.6 按年龄分组的人口模型按年龄分组的人口模型不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.假设与建模假设与建模种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象.第第i 年龄组年
20、龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di你现在浏览的是第三十四页，共40页假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)你现在浏览的是第三十五页，共40页稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则P的
21、第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常数决定的常数且且解解释释L对角化对角化你现在浏览的是第三十六页，共40页稳态分析稳态分析k充分大充分大种种群按年龄组的分布群按年龄组的分布种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称称稳定分布稳定分布,与初始分布无关与初始分布无关.各年龄组种群数量按同一倍各年龄组种群数量按同一倍数增减，数增减，称称固有增长率固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变你现在浏览的是第三十七页，共40页1个个体在整个存活期个个体在整个存活期内的繁殖数量为内的繁殖数量为1稳态
22、分析稳态分析3）=1时时你现在浏览的是第三十八页，共40页人口模型人口模型连续型人口模型的离散形式连续型人口模型的离散形式xi(k)k年年i 岁的女性人数岁的女性人数(模型只考虑女性人口模型只考虑女性人口).bi(k)k年年i 岁女性生育率岁女性生育率(每人平均生育女儿数每人平均生育女儿数).dii 岁女性死亡率，岁女性死亡率，si=1-di存活率存活率i1,i2生育区间生育区间k年育龄女性平均生育女儿数年育龄女性平均生育女儿数总合生育率总合生育率(生育胎次生育胎次)年龄分布向量年龄分布向量hi生育模式生育模式你现在浏览的是第三十九页，共40页人口模型人口模型存活率矩阵存活率矩阵生育模式矩阵生育模式矩阵x(k)状态变量状态变量,(k)控制变量控制变量双线性方程双线性方程(对对x(k),(k)线性线性)原模型原模型你现在浏览的是第四十页，共40页