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1、基本信息课题人教A版选修1-1 2.3.1双曲线及其标准方程作者及工作单位四川省万源市第三中学 罗远发 教材分析 1.本节课是在探究圆锥曲线的定义、标准方程及性质，是在已经学习了椭圆的定义、标准方程及性质基础之上用解析几何方法探究的另一种圆锥曲线，学生已经有了一定的认识基础和探究的方法指导和学法指导。 2.通过对双曲线这节课的学习，使学生更进一步掌握用代数方法研究几何问题，培养了学生数形结合思想和应用数学能力。 3.圆锥曲线的内容也是高考的重点为，不仅考查学生的定义概念、基本性质、几何特征，也考学生的综合分析和解决问题的能力，在整个高考试题中占的比例比较重。学情分析 1.本节课是学生已经学习了
2、圆、椭圆后学生再次用代数方法探究几何图形问题，学生已经掌握了一定的探究方法和相关知识基础，有一定的学习自主能力的基础之上来探究，学生在知识上有了储备。 2.学生的基础不相同，对双曲线的标准方程的推导过程中，学习基础较差的学生有一定困难，可以用小组讨论的形式，让学生相互学习、自主自主学习和教师帮扶和个别指导的方法可以解决这部分学生的学习困难。3.通过提前发给学生导学学案，让学生可以提前相互探讨和学习，在讲课之前学生已经有了一定的认识和理解，学生学习过程中应该难度不是好大了。 教学目标 1.理解和掌握双曲线的定义及标准方程；会应用定义求简单的双曲线的标准方程。2.通过双曲线定义及标准方程的学习，培
3、养学生的自学能力、自主探究能力、是合作探究精神、数形结合思想、用代数的方法解决几何问题和实际生活问题的能力。 教学重点和难点教学重点：双曲线的定义及其标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导过程 教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图情景导入、展示目标(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.(3)常数2a|F1F2|时,无轨迹.（4）椭圆的标准方程 思考：我们知道与两个定点的距离的和为非零
4、常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非夫零常数的点的轨迹是什么？合作探究、精讲点拨如图：2.2-1，取一拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点分别固定在F1、F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是满足下面条件的点的集合：P=M|MF1|-|MF2|=常数如果使点M到点F2的距离减去到F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线，这条曲线是满足下面条件的点的集合：P=M|MF2|-|MF1|=常数这两条曲线合起来就叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。思考：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？双曲
5、线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于|)的点的轨迹叫做双曲线。两定点F1、F2叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫双曲线的焦距。双曲线的标准方程推导过程探究 类比椭圆标准方程建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导：(1) 建系设点(2)取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2.2-2) 建立直角坐标系设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，
6、0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(a0)(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c2a 即ca，所以设(b0)，代入上式得：这就是双曲线的标准方程将x、y互换得到焦点在y轴上的形式：。例讲题型一。双曲线标准方程的判断例1。判断下列方程是否表示双曲线，若是并求出a,b,c。=1 =1 =-1 4x2-9y2=36题型二、求双曲线的标准方程例2（教科书例1）例3 已知双
7、曲线过两点，求双曲线的标准方程例4、方程1表示双曲线，则k( )教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2反思总结，当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件：2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。检测题：1
8、. P是双曲线x2y216的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_2焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(7，6)的双曲线方程是_3. 椭圆1与双曲线1有相同焦点，则a的值是_答案：1. 8 2. 1 3. a1 老师通过多媒体展示问题老师通过多媒体进行图形展示，引导学生探究几何特征，老师给出双曲线的概念，类比椭圆的探究过程，让学生给出比曲线的定义及集合表示形式。老师观察学生推导情况，请一位数学基础较好的学生上讲台板书并讲解推导过程。引导学生思考可不可以不要2c2a这个条件，若2c=2a则有没有图形，若有表示什么几何图形，若2c2a呢？教师用多媒体展示问题，
9、并让学生做学案中的例题。老师补充. 学生回答老师作点评 让学生用自己做的教具进行操作，观察分析，思考，同桌间相互讨论，相互交流结论。 让学生先自己推导，在小组间交流结论。让学生去探究和思考。由每个学习小组组长在黑板上板书并讲解思维过程。由数学科代表总结这节课的主要知识点的解题过程中的方法和技巧以及知识误区 复习椭圆相关知识，从而引入新的知识，实现知识的自然过渡。 设疑，提出新问题，引发学生学习兴趣。由熟悉的知识类比得到新的知识，学生易理解和接受。让学生成为课堂的主体，老师以点拨的引导为主，并通过学生讲解即时发现学生学习和理解问题，即时进行解决处理。学生类比椭圆标准方程的推导过程得到，培养学生的
10、数学类比思想。了解学生的知识的理解掌握和应用能力。培养学生的表达及表现能力。 培养学生的组织和综合 板书设计一、 双曲线定义 学生板书二、 双曲线标准方程 推导公式： 例题三、 例讲四、 本节知识小结 学生学习活动评价设计1. 通过检查学生所做学案了解学生自主学习情况 2.通过观察学生在推导公式的过程及学生的题例讲解和观察学生所做题解情况进行分析和反馈。 3.通过学生的课堂检测及课后作业的完成质量进行分析和总结。 4.学生小组总结学情，提出还存在的问题。教学反思好的方面：（1）、本节课构思理念是依据新课程教改的教学理念和要求，把课堂还给学生，老师起着组织者引导着的作用，让更多的学生参与到课堂中
11、去。我这节课的设计就是要让学生加入到教学中去。（2）、在教学中也注重了合作精神，如学习小组相互探讨、师生的共同探究，也通过教学平台，让一部分学生在众多人面前有展示自己的语言表达、逻辑分析推理、综合能力的机会，能够培养学生的能力。不足方面：（1）、老师要提前编写学案，先要让学生自己自学或小组讨论学习，学案设计的好坏对教学效果的影响比较大。（2） 、学生在提前预习中花的时间较多，学生的学习负担加重。（3） 、上台讲解的学生不具有一般性，一般是基础较好的，不能代表整个班上的实际情况，并且这些学生的讲解有可能造成课堂失去控制，达不到设计要求。（4） 、如这节课是在学生已经有自主学习经验和小学初中已经进行过这种上课模式来进行时效果应该是很明显的，否则刚刚用它有一定难度，效果不怎么好。若常期尝试也应该不错。