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1、基向量法解决立体几何问题第1页，本讲稿共20页学习提纲学习提纲二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量第2页，本讲稿共20页二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.若ab,即a=b,则ab.若a b,即ab=0,则aba
2、bab第3页，本讲稿共20页例例1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1 BDA1B1C1D1CBAD第4页，本讲稿共20页证明：设 a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是 a b =c(a b)=ca cb =|c|a|cos|c|b|cos=0 C C1 BD 第5页，本讲稿共20页 2.P是ABC所在平面外的一点，PD、PE、PF分别是APB、APC,BPC 的平分线，且PD PE，求证：PE PF,PF PD。所以 PF PE；同理 PF PD。证明直线和直线垂直AB第6页，本讲稿共20页线线垂直第7页，本讲稿共20
3、页7在空间四边形ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点，求证：2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。证明共面问题第8页，本讲稿共20页(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L .若an,即a=n,则 L 若a n,即an=0,则a .nanaLL第9页，本讲稿共20页(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则若n1 n2,即n1 n2=0,则n2n1n1n2第10页，本讲稿共20页8在平行六面体AC中，E,F,G分别是AD,DD,DC的中点，求证：平面EFG/平面ABC。证明面面平行第11页，
4、本讲稿共20页13在平行六面体AC中，AB=AD,AAD=AAB=DAB=60.(1)求证：AA BD;(2)当的值为多少时，才能使AC平面ABD.请证明。证明线线线面垂直第12页，本讲稿共20页13(2)在平行六面体AC中，AB=AD,AAD=AAB=DAB=60.(2)当的值为多少时，才能使AC平面ABD.请证明。解：线线线面垂直2第13页，本讲稿共20页如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，B
5、DBD8 8，求，求CDCD的长的长.BACD第14页，本讲稿共20页2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.第15页，本讲稿共20页(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量,a是直线L的方向向量,设L与所成的角,n与与a所成的角 则 =-或=-于是,因此nnaa第16页，本讲稿共20页（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）
6、或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2n1n2第17页，本讲稿共20页3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的和公垂线方向向量的数
7、量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值比值.nabAB第18页，本讲稿共20页(2)点到平面的距离A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABH第19页，本讲稿共20页空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。第20页，本讲稿共20页