第2章数值分析精.ppt

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1、第2章数值分析1第1页，本讲稿共127页2.1 2.1 引引 言言（1.1）设函数 在区间 上有定义，且已知在点 上的值 ，若存在一简单函数 ，使成立，就称 为 的插值函数插值函数，点 称为插插值节点值节点，包含节点的区间 称为插值区间插值区间，求插值函数 的方法称为插值法插值法.2.1.1 2.1.1 插值问题的提出插值问题的提出2第2页，本讲稿共127页（1.2）若 是次数不超过 的代数多项式，其中 为实数，就称 为插值多项式插值多项式，相应的插值法称为多项式插值多项式插值.本章只讨论多项式插值与分段插值.若 为分段的多项式，就称为分段插值分段插值.若 为三角多项式，就称为三角插值三角插值

2、.即3第3页，本讲稿共127页 从几何上看，插值法就是确定曲线 ，使其通过给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 .图2-1见图2-1.4第4页，本讲稿共127页由此可以得到关于系数 的 元线性方程组上的函数值 ,求次数不超过 的多项式 ，使 2.1.2 2.1.2 多项式插值多项式插值 （1.3）设在区间 上给定 个点5第5页，本讲稿共127页（1.4）此方程组的系数矩阵为称为范德蒙德（范德蒙德（VandermondeVandermonde）矩阵）矩阵,由于 互异，故（1.5）6第6页，本讲稿共127页因此线性方程组（1.4）的解 存在且唯一.定理定理1 1 满足条件（1.3）的插值多项式 是存

3、在唯一的.7第7页，本讲稿共127页 2.2.1 2.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论 的简单情形.问题问题：给定区间 及端点函数值 ，要求线性插值多项式 ，2.2 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值使它满足（1.2）8第8页，本讲稿共127页 其几何意义就是通过两点 的直线.图2-2如图2-2.9第9页，本讲稿共127页由 的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数（2.2）的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即（2.3）10第10页，本讲稿共127页称 及 为线

4、性插值基函数线性插值基函数，显然，及 也是线性插值多项式，在节点 及上满足条件图形见图2-3.11第11页，本讲稿共127页图2-312第12页，本讲稿共127页下面讨论 的情形.假定插值节点为 ，要求二次插值多项式 几何上 是通过三点 的抛物线.可以用基函数的方法求 的表达式，此时基函数 是二次函数，且在节点上满足条件（2.4）使它满足13第13页，本讲稿共127页 接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求 为例，由插值条件，它应有两个零点 及 ，可由插值条件 定出其中 为待定系数，于是可表示为（2.4）14第14页，本讲稿共127页同理 二次插值基函数 ，在区间 上的图形见图2-4

5、.15第15页，本讲稿共127页图2-416第16页，本讲稿共127页 利用 ，（2.5）显然，将 ,，代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得17第17页，本讲稿共127页 2.2.2 2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 .（2.6）根据插值的定义 应满足先定义 次插值基函数.为构造 ，18第18页，本讲稿共127页 定义定义1 1 若 次多项式 在 个节点 上满足条件（2.7）就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数次插值基函数.19第19页，本讲稿共127页显然它满足条件（2.7）.于

6、是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为（2.9）（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为（2.7）（2.6）20第20页，本讲稿共127页由 的定义，知形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式，而(2.3)与(2.5)是 和 的特殊情形.容易求得（2.10）若引入记号（2.9）（2.3）（2.5）21第21页，本讲稿共127页于是公式（2.9）可改写成（2.11）注意注意:次插值多项式 通常是次数为 的多项式，特殊情况下次数可能小于 .（2.9）例如通过三点 的二次插值多项式 ，如果三点共线，则 就是一条直线，而不是抛物线，这时 是一次多项式.22第22页，

7、本讲稿共127页 定理定理2 2 设 在 上连续，在 内存在，节点 是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何 ，插值余项 2.2.3 2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计这里 且依赖于 ，是（2.10）所定义的.若在 上用 近似 ，则其截断误差为也称为插值多项式的余项余项.（2.10）（2.14）（2.6）23第23页，本讲稿共127页 证明证明 由给定条件知 在节点 上为零，即 ，于是其中 是与 有关的待定函数.（2.13）现把 看成 上的一个固定点，作函数 根据 的假设可知 在 上连续，在 内存在.24第24页，本讲稿共127页根据罗尔定理，在 的两个零点间至少有一个零点，故

8、 在 内至少有 个零点.对 再应用罗尔定理，可知 在 内至少有 个零点.依此类推，在 内至少有一个零点，记为 ，使根据插值条件及余项定义，可知 在点 及处均为零，故 在 上有 个零点，25第25页，本讲稿共127页于是 将它代入（2.13），余项表达式只有在 的高阶导数存在时才能应用.但 在 内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出 那么插值多项式 逼近 的截断误差限是（2.14）且依赖于（2.13）就得到余项表达式（2.12）.26第26页，本讲稿共127页当 时，线性插值余项为（2.15）当 时，抛物插值余项为（2.16）27第27页，本讲稿共127页 利用余项表达式（2.12），当 时，

9、由于 ,于是有由此得（2.17）特别当 时，有（2.18）28第28页，本讲稿共127页 利用余项表达式（2.12）还可知，若被插函数 由于 ，故 ，即它的插值多项式29第29页，本讲稿共127页 例例1 1 证明 ，其中 是关于点 的插值基函数.证明证明 利用公式（2.17）可得30第30页，本讲稿共127页 用线性插值计算，取 由公式（2.1）例例2 2已知的值并估计截断误差.用线性插值及抛物插值计算解解 由题意,取（点斜式），31第31页，本讲稿共127页32第32页，本讲稿共127页 由（2.15）,其截断误差其中 于是 33第33页，本讲稿共127页 用抛物插值计算，由公式（2.5）

10、得（2.5）34第34页，本讲稿共127页 由（2.14）,其中 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.截断误差限35第35页，本讲稿共127页36第36页，本讲稿共127页 例例2 2 设 ，试证其中 证明证明 通过两点 及 的线性插值为于是37第37页，本讲稿共127页2.3 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.3.1 2.3.1 插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生成 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 均要随之变化，整个公式也将发生变化，甚为不

11、便.为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法.38第38页，本讲稿共127页当 时，记线性插值多项式为 ，插值条件为由点斜式将 看成是零次插值 的修正，即其中 是函数 的差商.对于三个节点的二次插值 ，插值条件为39第39页，本讲稿共127页插值多项式显然由 得 系数 是函数 的“差商的差商”.40第40页，本讲稿共127页 一般情况，已知 在插值点 上的值为 ，要求 次插值多项式 满足条件则 可表示为其中 为待定系数，可由插值条件确定.这里的 是由基函数 逐次递推得到的，这一点与拉格朗日插值不同.（3.1）（3.2）41第41页，本讲稿共127页 称 为函数 关于点 的一阶均差一阶

12、均差.定义定义2 2 2.3.2 2.3.2 均差及其性质均差及其性质称为 的二阶均差二阶均差.42第42页，本讲稿共127页（3.3）一般地，称为 的 阶均差阶均差（均差也称为差商）.43第43页，本讲稿共127页 均差有如下的基本性质：（3.4）这个性质可用归纳法证明.（1）阶均差可表为函数值 的线性组合，这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.即44第44页，本讲稿共127页 （3）若 在 上存在 阶导数，且节点（3.5）这公式可直接用罗尔定理证明.（2）由性质（1）及（3.3）可得 即则 阶均差与导数关系如下：（3.3）（3.3）45第45页，本讲稿共127页 均差计算

13、可列均差表如下（表2-1）.46第46页，本讲稿共127页 2.3.3 2.3.3 牛顿插值公式牛顿插值公式 根据均差定义，一次插值多项式为二次插值多项式为47第47页，本讲稿共127页 根据均差定义，把 看成 上一点，可得48第48页，本讲稿共127页只要把后一式依次代入前一式，就得到 其中（3.6）49第49页，本讲稿共127页（3.7）是由（2.10）定义的.显然，由（3.6）确定的多项式 满足插值条件，且次数不超过 ，称 为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插值多项式）均差插值多项式.系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.其系数为

14、它就是形如（3.1）的多项式，（2.10）（3.6）（3.1）50第50页，本讲稿共127页 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点给出的情形或 导数不存在时也是适用的.（3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点.牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.（3.7）51第51页，本讲稿共127页 首先根据给定函数表造出均差表.给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.例例4 452第52页，本讲稿共127页 从均差表看

15、到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.故取4次插值多项式 做近似即可.于是 按牛顿插值公式，将数据代入53第53页，本讲稿共127页截断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计.54第54页，本讲稿共127页 2.3.4 2.3.4 差分形式的牛顿插值公式差分形式的牛顿插值公式 实际应用时经常遇到等距节点，即 的情形，这里 为常数，称为步长步长，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.设 点的函数值为 ，称 为 处以 为步长的一阶一阶（向前）差分差分.类似地称 为 处的二阶差分阶差分.一般地称为 处的 阶差分阶差分.（3.8）55第55页，本讲稿共127页 为了表示方便，再引入两个常用算子符号

16、 称为不变算子不变算子，称为步长为 的移位算子移位算子，由此（3.9）其中 为二项式展开系数，（3.9）说明各阶差分均可由函数值给出.56第56页，本讲稿共127页反之，由可得（3.10）从而有均差与差分的关系：57第57页，本讲稿共127页（3.11）一般地有 由（3.11）和（3.5）又可得到差分与导数的关系：（3.12）其中 .58第58页，本讲稿共127页由给定函数表计算差分可由以下形式差分表给出.59第59页，本讲稿共127页 在牛顿插值公式（3.6）中，用（3.11）的差分代替均差，并令 ，则得（3.13）（3.14）（3.13）称为牛顿前插公式牛顿前插公式，由（3.7）式得其余项

17、为60第60页，本讲稿共127页 给出 在 处的函数值，试用4次牛顿前插公式计算 的近似值并估计误差.例例5 5解解 为使用牛顿插值公式，先构造差分表.61第61页，本讲稿共127页取则得 62第62页，本讲稿共127页由（3.14）可得误差估计其中（3.14）63第63页，本讲稿共127页2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式.而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.64第64页，本讲稿共127页 关于均差，有 2.4.1 2.4.1 重节点均差与泰勒插值重节点均差与泰勒插

18、值 定理定理3 3 设 为 上的相异节点，则 是其变量的连续函数.如果 上的节点互异，根据差商定义，若 则有由此定义重节点均差65第65页，本讲稿共127页类似地可定义重节点的二阶均差，当 时，有当 时，有一般地，可定义 阶重节点的均差，由（3.5）得（4.1）66第66页，本讲稿共127页 在牛顿均差插值多项式中若令 则由（4.1）可得泰勒多项式（4.2）这实际上是在点 附近逼近 的一个带导数的插值多项式，它满足条件（4.3）（4.2）称为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，余项为67第67页，本讲稿共127页（4.4）它与插值余项（2.12）中令 的结果是一致的.泰勒插值是牛顿插

19、值的极限形式，是只在一点 给出 个插值条件所得到的 次埃尔米特插值多项式.一般地只要给出 个插值条件（包括函数和导数值）就可以构造出次数不超过 次的埃尔米特多项式.68第68页，本讲稿共127页 由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点 考虑满足条件 及 的插值多项式及其余项表达式.故其形式为 2.4.2 2.4.2 两个典型的埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值69第69页，本讲稿共127页待定常数 ，可由条件 确定，其中 为待定函数.为了求出余项 的表达式，通过计算可得 可设70第70页，本讲稿共127页显然故 在 内有5个零点（二重根算两个）.反复应用罗尔定理，

20、得 在 内至少有一个零点，构造且故有71第71页，本讲稿共127页(4.5)式中 位于 和 所界定的范围内.余项表达式为 于是 72第72页，本讲稿共127页 例例6 6 给定 试求 在 上的三次埃尔米特插值多项式 ，使它满足 并写出余项表达式.解解 由所给节点可求出为了构造牛顿均差插值，先构造均差表73第73页，本讲稿共127页 于是有令再由条件 ，可得74第74页，本讲稿共127页解出于是所求的三次埃尔米特多项式为75第75页，本讲稿共127页余项76第76页，本讲稿共127页其中 是关于节点 及 的三次埃尔米特插值基函数，分别满足 另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值，插值节点取为 及

21、，插值多项式为 ，插值条件为(4.7)采用基函数的方法，令(4.6)77第77页，本讲稿共127页78第78页，本讲稿共127页根据给定条件可令显然再利用及79第79页，本讲稿共127页解得于是求得同理可得(4.8)(4.9)80第80页，本讲稿共127页 为求 ，由给定条件可令直接由 ，得到(4.10)同理(4.11)81第81页，本讲稿共127页最后代入，得(4.12)82第82页，本讲稿共127页余项 ，类似（4.5）可得(4.13)83第83页，本讲稿共127页2.5 分段低次插值分段低次插值 2.5.1 高次插值的病态性质高次插值的病态性质 这是因为对任意的插值节点，当 时，不一定收

22、敛到 .在次数 增加时逼近 的精度不一定也增加.根据区间 上给出的节点做出的插值多项式84第84页，本讲稿共127页所构造的拉格朗日插值多项式为 以 上的 个等距节点 考虑函数 ，它在 上的各阶导数均存在.令则85第85页，本讲稿共127页 表2-5列出了 时的 的计算结果及 在 上的误差86第86页，本讲稿共127页 可见，随 的增加，的绝对值几乎成倍增加.这说明当 时 在 上是不收敛的.Runge证明了，存在一个常数 ，使得当 时，而当 时 发散.87第87页，本讲稿共127页 取 根据计算画出 及 在 上的图形，见图2-5.图2-588第88页，本讲稿共127页 从图上看到，在 附近,与

23、 偏离很远，这说明用高次插值多项式 近似 效果并不好.通常不用高次插值，而用分段低次插值.89第89页，本讲稿共127页下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：90第90页，本讲稿共127页附：Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,r)gtext(Lagr.),gtext(y=1/(1+x2)title(Lagrange)91第91页，本讲稿共127页附：L

24、agrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0;for k=1:n p=1.0;for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);end end s=p*y0(k)+s;end y(i)=s;end92第92页，本讲稿共127页 2.5.2 分段线性插值分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是

25、将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.93第93页，本讲稿共127页 设已知节点 上的函数值 记求一折线函数 ,满足：在每个小区间 上是线性函数.则称 为分段线性插值函数分段线性插值函数.94第94页，本讲稿共127页 由定义可知 在每个小区间 上可表示为(5.1)分段线性插值的误差可利用插值余项（2.15）得到或写成(5.2)其中95第95页，本讲稿共127页由此还可以得到故 在 上一致收敛到 .在 上一致成立，96第96页，本讲稿共127页下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：97第97页，本讲稿共127页附：分段线性插值程序n=11;m=6

26、1;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,r)gtext(Piece.linear.),gtext(y=1/(1+x2)title(Piecewise Linear)注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.98第98页，本讲稿共127页2.5.3 分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点 上除已知函数值 外还给出导数值 就可以构造出一个

27、导数连续的分段插值函数 ，满足条件 在每个小区间 上是三次多项式.99第99页，本讲稿共127页上式对于 成立.根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（4.12），在区间 上的表达式为(5.3)100第100页，本讲稿共127页 定理定理3 3 设 为 在节点上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有 利用三次埃尔米特插值的余项（4.13），可得误差估计于是有其中101第101页，本讲稿共127页2.6 三次样条插值三次样条插值102第102页，本讲稿共127页 定义定义3 3 若函数 且在每个小区间上是三次多项式，其中 是给定节点，则称 是节点 上的三次样条函数三次样条函数.2.6.1 三次样条函数三

28、次样条函数 若在节点 上给定函数值 并成立（6.1）则称 为三次样条插值函数三次样条插值函数.103第103页，本讲稿共127页 由于 在每个小区间 上有4个待定系数，共有 个小区间，所以共有 个待定参数.因为 在 上二阶导数连续，所以在节点 处应满足连续性条件这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个才能确定 .（6.2）104第104页，本讲稿共127页 通常可在区间 端点 上各加一个条件 1.已知两端的一阶导数值，即（6.3）（6.4）称为自然边界条件自然边界条件.2.已知两端的二阶导数，即其特殊情况为（6.4）（6.4）常见的边界条件有以下3种：（称

29、为边界条件边界条件），105第105页，本讲稿共127页此时插值条件（6.1）中 .这样确定的样条函数 称为周期样条函数周期样条函数.这时边界条件应满足（6.5）3.当 是以 为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.（6.1）106第106页，本讲稿共127页 2.6.2 样条插值函数的建立样条插值函数的建立 下面利用 的二阶导数值 表示 .由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数，（6.7）对 积分两次并利用 及 ，可表示为可定出积分常数，于是得三次样条表达式107第107页，本讲稿共127页这里 ，是未知的.（6.8）108第108页，本讲稿共127页 为了确定 ,对 求导得（6

30、.9）由此可求得 109第109页，本讲稿共127页类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得 利用 可得（6.10）其中 110第110页，本讲稿共127页（6.11）对第一种边界条件（6.3），可导出两个方程（6.12）（6.3）111第111页，本讲稿共127页如果令 那么（6.10）及（6.12）可写成矩阵形式（6.13）（6.10）（6.12）112第112页，本讲稿共127页 对第二种边界条件（6.4），直接得端点方程（6.14）如果令 ,也可以写成（6.13）的矩阵形式.则（6.10）和（6.14）（6.4）113第113页，本讲稿共127页 对于第三种边界条件（6.5），可得 其

31、中（6.15）（6.10）和（6.15）可以写成矩阵形式（6.5）114第114页，本讲稿共127页（6.16）（6.13）和（6.16）是关于 的三对角方程组，在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，称为 的矩，（6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解,求解方法可见第5章第4节追赶法，将解得结果代入（6.8）的表达式即可.方程组（6.13）和（6.16）称为三弯矩方程三弯矩方程.（6.13）（6.8）115第115页，本讲稿共127页试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 设 为定义在 上的函数，在节点 上的值如下：例例7 7116第116页，本讲稿共127页由此得矩阵形式的

32、方程组（6.13）为 解解由（6.11）及（6.12）（6.11）（6.12）117第117页，本讲稿共127页求解得 118第118页，本讲稿共127页代入（6.8）得（曲线见图2-6）（6.8）119第119页，本讲稿共127页图2-6120第120页，本讲稿共127页 给定函数 节点 用三次样条插值求 取直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值.例例8 8121第121页，本讲稿共127页122第122页，本讲稿共127页下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：123第123页，本讲稿共127页附：样条插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x

33、.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0,y0,x,spline);plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,r)gtext(Spline),gtext(y=1/(1+x2)title(Spline)注：interp1(x0,y0,x,spline)为Matlab中现成的样条插值程序.124第124页，本讲稿共127页也可以将三种插值结果画在一起：125第125页，本讲稿共127页 2.6.3 误差界与收敛性误差界与收敛性 定理定理4 4则有估计式（6.17）其中设 为满足第一种或第二种边界条件（6.3）或（6.4）的三次样条函数，令（6.3）（6.4）126第126页，本讲稿共127页 这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差估计.还说明了当 时，及其一阶导数 和二阶导数 均分别一致收敛于 ，及 127第127页，本讲稿共127页