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1、第1章误差理论与数据处理1第1页，本讲稿共29页1.2.1 基本理论基本理论一一、测量误差的定义测量误差的定义x 测量误差测量误差x 测量结果测量结果x0 真值真值真值：真值：被测量的客观真实值被测量的客观真实值理论真值：理论真值：理论上存在、计算推导出来理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和如：三角形内角和180约定真值：约定真值：国际上公认的最高基准值国际上公认的最高基准值如：基准米如：基准米(氪氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：相对真值：利用利用高一等级精度高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值的仪器或装置的测量结果作为近似真值1m=1
2、 650 763.73 标准仪器的测量标准差标准仪器的测量标准差 1/3 测量系统标准差测量系统标准差 检定检定定义：定义：测量结果与其真值的差异测量结果与其真值的差异定性概念，定量表示定性概念，定量表示1）绝对误差）绝对误差2第2页，本讲稿共29页2）相对误差）相对误差定义：定义：指被测量的绝对误差与约定值的百分比，通常有三种表示方指被测量的绝对误差与约定值的百分比，通常有三种表示方式：式：实际相对误差实际相对误差 绝对误差绝对误差(测量误差测量误差)除以被测量的真值。除以被测量的真值。给出值相对误差给出值相对误差 绝对误差绝对误差(测量误差测量误差)除以被测量的给出值。除以被测量的给出值。
3、式中给出值式中给出值-“测量结果测量结果”、“标称值标称值”、“实验值实验值”、“示示值值”、“刻度值刻度值”等。等。引用误差引用误差 用示值误差与仪表量程之比的百分比来表示用示值误差与仪表量程之比的百分比来表示 3第3页，本讲稿共29页 1.2.1基本理论基本理论二、测量误差的来源二、测量误差的来源(1)原理误差原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差测量原理和方法本身存在缺陷和偏差近似：近似：如：非线性比较小时可以近似为线性如：非线性比较小时可以近似为线性假设：假设：理论上成立、实际中不成立理论上成立、实际中不成立如：误差因素互不相关如：误差因素互不相关(2)装置误差装置误差：测量仪器、
4、设备、装置导致的测量误差测量仪器、设备、装置导致的测量误差机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声(3)环境误差环境误差：测量环境、条件引起的测量误差测量环境、条件引起的测量误差空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，(4)使用误差使用误差：理论分析与实际情况差异理论分析与实际情况差异方法：方法：测量方法存在错误或不足测量方法存在错误或不足如：采样频率低、测量基准错误如
5、：采样频率低、测量基准错误读数误差、违规操作读数误差、违规操作4第4页，本讲稿共29页 1.2.1基本理论基本理论三、测量误差的性质与分类三、测量误差的性质与分类(1)随机误差随机误差(random error)正态分布正态分布性质性质：原因原因：装置误差、环境误差、使用误差：装置误差、环境误差、使用误差处理：处理：统计分析、计算处理统计分析、计算处理 减小减小对称性对称性有界性有界性抵偿性抵偿性单峰性单峰性绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度偶然误
6、差绝对值不会超过一定程度当当测测量量次次数数足足够够多多时时，偶偶然然误误差差算算术术平平均均值值趋趋于于05第5页，本讲稿共29页 1.2.1基本理论基本理论三、三、测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(2)系统误差系统误差(system error)：性质性质：有规律，可再现，可以预测：有规律，可再现，可以预测原因原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理处理：理论分析、实验验证：理论分析、实验验证 修正修正(3)粗大误差粗大误差(abnormal error)：性质性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起：偶然出现，误差很大
7、，异常数据，与有用数据混在一起原因原因：装置误差、使用误差：装置误差、使用误差处理处理：判断、剔除：判断、剔除6第6页，本讲稿共29页在实际应用中在实际应用中系统误差、随机误差、粗大误差三种误差的划分系统误差、随机误差、粗大误差三种误差的划分并非一成不变；并非一成不变；粗大粗大误差误差系统系统误差误差随机随机误差误差较为随机时较为随机时有规律时有规律时较大时较大时较多时较多时较大时较大时较多时较多时7第7页，本讲稿共29页基本误差基本误差 仪表在规定的正常工作的条件下（例如电源电压和频仪表在规定的正常工作的条件下（例如电源电压和频率、环境温度和湿度等）所具有的误差。率、环境温度和湿度等）所具有
8、的误差。通常在正常工作条件下的示值误差就是指基本误差。通常在正常工作条件下的示值误差就是指基本误差。仪表的精确度等级通常是由基本误差所决定。仪表的精确度等级通常是由基本误差所决定。按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差按掌握程度：已知误差、未知误差按掌握程度：已知误差、未知误差按变化速度：静态误差、动态误差按变化速度：静态误差、动态误差按仪表工作条件分按仪表工作条件分附加误差附加误差：仪表偏离规定的正常工作条件时所产生仪表偏离规定的正常工作条件时所产生的与偏离量的与偏离量 有关的误差。有关的误差。8第8页，本讲稿共29页 1.2.1
9、基本理论基本理论精密度精密度：(precision)表述表述：概念概念：重复测量时，测量结果的分散性重复测量时，测量结果的分散性准确度准确度：表述表述：精确度精确度：(正确度正确度)测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度性质性质：随机误差的标准差随机误差的标准差(standard deviation)性质性质：系统误差和随机误差综合影响程度系统误差和随机误差综合影响程度平均值与真值的偏差平均值与真值的偏差(deviation)表述表述：不确定度不确定度(uncertainty)工程表示工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数引
10、用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数9第9页，本讲稿共29页 1.2.1基本理论基本理论四、四、测量精度测量精度精度精度：测量结果与真值吻合程度测量结果与真值吻合程度定性概念定性概念测测量量精精度度举举例例不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）准确（系统误差小）准确（系统误差小）精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小）10第10页，本讲稿共29页根据统计理论，我们将多次测量的算术平均值根据统计理论，
11、我们将多次测量的算术平均值 作为真值的最佳近似作为真值的最佳近似在对测量结果进行评定时，我们约定系统误差和在对测量结果进行评定时，我们约定系统误差和粗大误差已经消除、修正或可以忽略，只考虑随粗大误差已经消除、修正或可以忽略，只考虑随机误差，其服从正态分布。机误差，其服从正态分布。1.2.2 测量结果的数据统计处理11第11页，本讲稿共29页1.2.2测量结果的数据统计处理一、一、算术平均值法算术平均值法表述：表述：x1,x2,xn-测量数据测量数据原理：原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值为测多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值为测量结果量结果剩余误差剩余误差偶然误差偶然误差
12、性质：性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即）剩余误差的代数和等于零，即 算术平均值法可以滤除或减小偶然误差算术平均值法可以滤除或减小偶然误差（2）剩余误差的平方和为最小）剩余误差的平方和为最小 最小二乘法基础最小二乘法基础12第12页，本讲稿共29页二、标准偏差（均方根差）二、标准偏差（均方根差）标准偏差是一个描述测量结果离散程度的标准偏差是一个描述测量结果离散程度的参量。用它来评定参量。用它来评定随机误差随机误差有以下优点：有以下优点：1）稳定性，）稳定性，值随值随n变化较小。变化较小。2）它以平方计值，与个别误差的符号无）它以平方计值，与个别误差的符号无 关，能反映数据的离散程度。关，能
13、反映数据的离散程度。3）与最小二乘法吻合。）与最小二乘法吻合。13第13页，本讲稿共29页(1)均方根误差均方根误差/标准误差标准误差(2)总体标准偏差总体标准偏差(3)测量值的标准偏差测量值的标准偏差有限次测量有限次测量，利用算术平均值利用算术平均值 代替真值代替真值 vi代替绝对误差代替绝对误差i 标准误差的估计值标准误差的估计值用样本用样本(实验实验)标准偏差表示标准偏差表示14第14页，本讲稿共29页贝塞尔公式只有贝塞尔公式只有n 才成立才成立算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差(4)算术平均值的标准差算术平均值的标准差样本平均样本平均 的标准偏差的标准偏差-单次测量标准偏差的单次
14、测量标准偏差的样本平均样本平均-随机变量随机变量-数学期望、标准偏差数学期望、标准偏差真值真值x-可靠可靠-多次测量提高精密度多次测量提高精密度15第15页，本讲稿共29页置信区间：随机变量取值的范围，置信区间：随机变量取值的范围，三、三、置信区间和置信概率置信区间和置信概率a，a研究随机误差的统计规律：研究随机误差的统计规律：取值范围，取值范围，取值的概率。取值的概率。它常用正它常用正态分布的分布的标准偏差准偏差的倍数来表示，即的倍数来表示，即，z为置信系数，置信系数，置信概率：随机置信概率：随机变量在置信区量在置信区间的范的范围内取内取值的概率，的概率，16第16页，本讲稿共29页介于（介
15、于（，+）的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为：介于（介于（2，+2）的概率为的概率为：介于（介于（3，+3）的概率为：的概率为：（在这以外的情况很难发生）（在这以外的情况很难发生）68.3%95.4%99.7%通常将通常将 称为随机误差的极限误差。称为随机误差的极限误差。四、四、测量结果的表示方法测量结果的表示方法在一定的置信概率在一定的置信概率P下，真值可以用下式表示：下，真值可以用下式表示：=z （z一般为1，2，3）17第17页，本讲稿共29页五、五、测量结果数据处理的步骤测量结果数据处理的步骤在测量前尽可能消除系统误差，将数据列表；在测量前尽可能消除系统误差，将数据列表；判断
16、是否有粗大误差，如有要抛弃，从判断是否有粗大误差，如有要抛弃，从开始重新计算；开始重新计算；判断是否有不可忽略的系统误差，如有要减弱，重新计算；判断是否有不可忽略的系统误差，如有要减弱，重新计算；计算算术平均值的均方根误差计算算术平均值的均方根误差计算计算 列于列于 旁边，用贝塞尔公式计算均方根误差；旁边，用贝塞尔公式计算均方根误差；写出测量结果的表达式写出测量结果的表达式计算测量结果的算术平均值，确定有效位数；计算测量结果的算术平均值，确定有效位数；计算残余误差，列于表中；计算残余误差，列于表中；检查检查 的条件是否满足；的条件是否满足；18第18页，本讲稿共29页例例 对某物体温度进行对某
17、物体温度进行15次等精度测量，测量结果列于下表，求取这次等精度测量，测量结果列于下表，求取这一物体温度的测量结果。一物体温度的测量结果。解：解：列出测量数据列表；列出测量数据列表；判断是否有粗大误差：判断是否有粗大误差：计算计算 列于表中，用贝塞尔公式计算均方根误差；列于表中，用贝塞尔公式计算均方根误差；计算残余误差计算残余误差 列于表中；列于表中；检查检查 ；计算测量结果的算术平均值；计算测量结果的算术平均值；19第19页，本讲稿共29页序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差viv21154.2+0.14(+0.04)0.0196(0.0016)2154.3+0.24(+0.14)0.05
18、76(0.0196)3154.0-0.06(-0.16)0.036(0.0256)4154.3+0.24(+0.14)0.0576(0.0196)5154.2+0.14(+0.04)0.0196(0.0016)6154.3+0.24(+0.14)0.0576(0.0196)7153.9-0.16(-0.26)0.0256(0.0676)8153.0-1.06()1.12369154.0-0.06(-0.16)0.036(0.0256)10154.3+0.24(+0.14)0.0576(0.0196)11154.2+0.14(+0.04)0.0196(0.0016)12154.1+0.04(-0
19、.06)0.0016(0.0036)13153.9-0.16(-0.26)0.0256(0.0676)14153.9-0.16(-0.26)0.0256(0.0676)15154.0-0.06(-0.16)0.036(0.0256)X=154.06(X=154.06)(0.3664)例题测量数据表例题测量数据表 20第20页，本讲稿共29页检查测量数据中是否含有系统误差，方法很多，先用贝塞尔公式，检查测量数据中是否含有系统误差，方法很多，先用贝塞尔公式，再用佩捷斯公式再用佩捷斯公式用莱依特准则判断：用莱依特准则判断：内含有粗大误差，内含有粗大误差，应剔除应剔除x8内含有粗大误差，内含有粗大误差
20、，剔除后再计算得到：剔除后再计算得到：剔除剔除x8后的后的14个数据个数据中不含有粗大误差，中不含有粗大误差，21第21页，本讲稿共29页计算算术平均值的均方根误差计算算术平均值的均方根误差用贝塞尔公式计算得：用贝塞尔公式计算得：用佩捷斯公式计算用佩捷斯公式计算2：根据：根据：系统误差可忽略系统误差可忽略22第22页，本讲稿共29页测量结果的表达式测量结果的表达式取置信区间为取置信区间为3时，置信概率为时，置信概率为99.73%则则取置信区间为取置信区间为2时，置信概率为时，置信概率为95.45%则则取置信区间为取置信区间为1时，置信概率为时，置信概率为68.3%则则23第23页，本讲稿共29
21、页六、六、误差的传递与分配误差的传递与分配(1)函数误差传递公式：函数误差传递公式：函数关系函数关系y=f(x1，x2，xm)xi 的误差为的误差为xiy 的误差为的误差为y，则则误差传递公式误差传递公式称为各各直接测量值误差的传递函数称为各各直接测量值误差的传递函数随机误差的随机误差的传递函数传递函数24第24页，本讲稿共29页(2)函数误差的分配函数误差的分配按等精度分配按等精度分配抓住主要误差项进行分配抓住主要误差项进行分配(3)最佳测量方案的选择：指总误差最小最佳测量方案的选择：指总误差最小例：某电功率的测量，按功率例：某电功率的测量，按功率 公式，测得电压公式，测得电压U=110V，
22、电，电阻阻R=10，直接测量误差，直接测量误差U=1.1V，R=0.1，求功率，求功率P的测量的测量准确度。准确度。解：按间接测量的系统误差的传递公式：解：按间接测量的系统误差的传递公式：按间接测量相对系统误差的传递公式：按间接测量相对系统误差的传递公式：25第25页，本讲稿共29页例：设计测量电阻功率消耗方案。设电阻、电压、电流测量的相例：设计测量电阻功率消耗方案。设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为对误差分别为rR=1.0%，rU=2.0%，rI=2.5%，问哪种测量方案好，问哪种测量方案好？26第26页，本讲稿共29页七、七、误差综合误差综合1 1）系统误差的合成）系统误差的合成2 2
23、）随机误差的合成）随机误差的合成方和根法方和根法2 2）随机误差与系统误差的合成）随机误差与系统误差的合成方和根法方和根法27第27页，本讲稿共29页例：有一测温点，采用例：有一测温点，采用K型热电偶，基本误差型热电偶，基本误差1=4；补偿导线，基本误；补偿导线，基本误差差2=4；采用电子电位差计，基本误差；采用电子电位差计，基本误差3=6；附加误差；附加误差4=6，计算测温系统的误差是多少？计算测温系统的误差是多少？例：某测量系统由测量元件、变送器和指示仪表组成，要求系统的例：某测量系统由测量元件、变送器和指示仪表组成，要求系统的允许为允许为 1%，选用精度分别为，选用精度分别为0.1级、级、0.5级、级、1级的测量元件、变送器和级的测量元件、变送器和指示仪表能否满足要求？请说明？指示仪表能否满足要求？请说明？指示仪表精度改为：指示仪表精度改为：0.5级级28第28页，本讲稿共29页作业作业P14：第第1、5、6 题题29第29页，本讲稿共29页