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1、第2章数字逻辑代数基础逻辑函数转换方法第1页，本讲稿共46页2.1三种最基本的逻辑函数三种最基本的逻辑函数 2.1.1 逻辑函数和逻辑变量逻辑函数和逻辑变量 2.1.2 2.1.2 三种基本逻辑关系及其表示方法三种基本逻辑关系及其表示方法三种基本逻辑关系及其表示方法三种基本逻辑关系及其表示方法 退退 出出第2页，本讲稿共46页 2.1.1 逻辑函数和逻辑变量逻辑函数和逻辑变量一一.逻辑命题和逻辑变量逻辑命题和逻辑变量1.逻辑命题：逻辑命题：反映事物因果关系规律的命题。2.逻辑变量：逻辑变量：决定事物原因和结果的变量。1）包括：逻辑自变量：逻辑自变量：决定事物原因的变量。（输入变量输入变量）逻辑
2、因变量：逻辑因变量：决定事物结果的变量。（输出变量输出变量）2）取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。二逻辑函数二逻辑函数 反映逻辑自变量和逻辑因变量之间的表达式称为逻辑函数逻辑函数。如如如如：Z=f(A、B、C)其中：A、B、C为输入变量；Z为输入变量。第3页，本讲稿共46页 2.1.2 三种基本逻辑关系及其表示方法三种基本逻辑关系及其表示方法一与逻辑（逻辑乘）一与逻辑（逻辑乘）1.定义：定义：仅当决定事件（Z）发生的所有条件（A、B、C）均满足时，事件（Z）才能发生。例如例如例如例如：开关A，B串联控制灯
3、泡Y的电路。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。功能表功能表第4页，本讲稿共46页2.表示方法表示方法:1)真值表真值表:把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格。Z2)逻辑表达式逻辑表达式:3)逻辑符号逻辑符号:3.逻辑规律逻辑规律:有有0出出0,全全1出出14.与门与门:实现与逻辑的电子电路。第5页，本讲稿共46页二或逻辑（逻辑加）二或逻辑（逻辑加）1.定义：定义：当决定事件（Z）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Z）就发生。例如例如例如例如：开关A，B并联控制灯泡Z的电路。功能表功能表第6页，本讲稿共46页2.表示方法表示方法:1
4、)真值表真值表:2)逻辑表达式逻辑表达式:Z=A+B3)逻辑符号逻辑符号:3.逻辑规律逻辑规律:有有1出出1,全全0出出04.或门或门:实现或逻辑的电子电路。第7页，本讲稿共46页三非逻辑（逻辑反）三非逻辑（逻辑反）1.定义：定义：非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Z）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。例如例如例如例如：开关A控制灯泡Z的电路。功能表功能表第8页，本讲稿共46页2.表示方法表示方法:1)真值表真值表:2)逻辑表达式逻辑表达式:Z=A3)逻辑符号逻辑符号:3.逻辑规律逻辑规律:有有1出出0,有有0出出14.非门（反相器）非门（反相器）:实现非逻辑的电
5、子电路。第9页，本讲稿共46页2.2 复合逻辑函数复合逻辑函数 一定义：一定义：由“与、或、非”组合后的逻辑函数。二二.常用的复合函数及其表示方法常用的复合函数及其表示方法1.与非逻辑：与非逻辑：逻辑表达式逻辑表达式为：ABZ=逻辑规律逻辑规律:有有0出出1,全全1出出0第10页，本讲稿共46页2.或非逻辑：或非逻辑：逻辑表达式逻辑表达式为：BAZ+=3.与或非逻辑：与或非逻辑：逻辑表达式逻辑表达式为：CDABZ+=逻辑规律逻辑规律:有有1出出0,全全0出出1逻辑规律逻辑规律:各组均有各组均有0出出1,某组全某组全1出出0第11页，本讲稿共46页4.异或逻辑：异或逻辑：逻辑表达式逻辑表达式为：
6、4.同或逻辑：同或逻辑：逻辑表达式逻辑表达式为：逻辑规律逻辑规律:相同出相同出0,相反出相反出1逻辑规律逻辑规律:相同出相同出1,相反出相反出0BABABAZ=+=ZAB+AB=AB=A+B第12页，本讲稿共46页 2.3 逻辑函数逻辑函数的几种表示方法及其相互转换的几种表示方法及其相互转换2.3.1已知真值表求逻辑表达式和逻辑图已知真值表求逻辑表达式和逻辑图2.3.2已知逻辑表达式求真值表和逻辑图已知逻辑表达式求真值表和逻辑图2.3.3已知逻辑图求逻辑表达式和真值表已知逻辑图求逻辑表达式和真值表退退 出出第13页，本讲稿共46页2.3.1已知真值表求逻辑表达式和逻辑图已知真值表求逻辑表达式和
7、逻辑图一、已知真值表求函数式一、已知真值表求函数式1.找出真值表中函数值为1的输入变量组合;2.将这些变量组合分别写成乘积项。乘积项中，凡变量值 为1的因子写成原变量、为0的因子写成反变量。3.将上述乘积项相加即可。例如例如例如例如：真真值值表表CABCBABCA、Z=1 2 3 步骤：步骤：第14页，本讲稿共46页二、已知函数式画逻辑图二、已知函数式画逻辑图方法：方法：由函数式中所对应的逻辑符号画出逻辑图。例如例如例如例如：按先按先“与与”后后“或或”的运算顺序画的运算顺序画：第15页，本讲稿共46页2.3.2已知逻辑表达式求真值表和逻辑图已知逻辑表达式求真值表和逻辑图方法：方法：将输入变量
8、取值的所有组合（2n种；n为输入变量个数）逐一代入函数式中，算出函数值，并一一对应地列成表。例如例如例如例如：真值表：真值表：逻辑图：逻辑图：第16页，本讲稿共46页2.3.3已知逻辑图求逻辑表达式和真值表已知逻辑图求逻辑表达式和真值表方法：方法：由逻辑图的输入端开始，逐级写出各逻辑符号输出端的 表达式；再由表达式得真值表（略）。例如例如例如例如：逻辑图：逻辑图：BBACBAZ+=第17页，本讲稿共46页2.4.1 基本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则退退 出出2.4 逻逻 辑辑 代代 数数 2.4.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法第18页，本讲稿共46页2.4.1 基
9、本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则一、基本公式、定律一、基本公式、定律1.常量之间的关系：常量之间的关系：与运算：111 001 010 000=.=.=.=.或运算：111 101 110 000=+=+=+=+非运算：10 01=2.基本定律：基本定律：互补律：0 1=.=+AAAA自等律：AAAAAA=.=+令令A=0、A=1代入代入这些公式，即可证明这些公式，即可证明等式成立等式成立0-1律：=.=+AAAA10=.=+0011AA还原律：AA=第19页，本讲稿共46页 上面各式可用真值表证明，即：等式两边所上面各式可用真值表证明，即：等式两边所对应的真值表相等，等式成立。
10、对应的真值表相等，等式成立。交换律：+=+.=.ABBAABBA结合律：+=+.=.)()()()(CBACBACBACBA分配律：+.+=.+.+.=+.)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定理）：.=+=.BABABABA第20页，本讲稿共46页吸收律:+=+=+=+=+CABACBCABABABAAABAAABAA )()(1BA+=BA+=证明1：)(BAAABAA+=+第21页，本讲稿共46页证明2：BCCAAB+BCAACAAB)(+=BCAABCCAAB+=)1()1(BCACAB+=CAAB+=第22页，本讲稿共46页二、常用规则二、常用规则1.代代入入规规则则
11、：将等式两边出现的同一变量都用一个相同逻辑函数代替，则等式仍然成立。例如例如例如例如：已知 ，用函数Z=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：2.反反演演规规则则：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换换换换 成成成成“”，“”换换换换 成成成成“”，“0”0”换换 成成“1”1”，“1”1”换换成成“0”0”，原原原原变变变变量量量量换换换换成成成成反反反反变变变变量量量量，反反反反变变变变量量量量换换换换成成成成原原原原变量变量变量变量，那么所得到的表达式就是函数Z的反函数 。这是摩根定理扩展为三变量的形式“先括号、然后乘、最后加先括号、然后乘、最后加”；不在
12、一个变量上的反号应保留不变；不在一个变量上的反号应保留不变。例如例如例如例如：第23页，本讲稿共46页3.对偶规则：对偶规则：对对偶偶式式Z/：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换换换换成成成成“”，“”换换换换成成成成“”，“0”0”换换成成“1”1”，“1”1”换换成成“0”0”，那么所得到的表达式就是函数Z的对偶式Z/。对偶规则对偶规则:凡原式成立，则其对偶式也成立。例如例如例如例如：原式:对偶式:例如例如例如例如：第24页，本讲稿共46页2.4.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 一个逻辑函数确定后，其真值表唯一，但其表达式却有多种形式，而对应不同的表达式就有
13、不同的逻辑图；最简表达式所代表的电路元件最少、成本最低、可靠性好、传输时间短，因此，逻辑函数必须化简。一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义1.基本形式：基本形式：如如如如：与或式与或式与非与非式与非与非式或与非式或与非式或非或式或非或式第25页，本讲稿共46页或与式或与式或非或非式或非或非式与或非式与或非式与非与式与非与式2.最简与或式的含义：最简与或式的含义：乘积项的个数最少；每个乘积项里的 变量个数也最少。二、代数化简法（公式法）二、代数化简法（公式法）1.定义：定义：利用逻辑代数的基本公式、定律对逻辑函数进行化简 的方法。一般逻辑函数都化简成最简与或式
14、最简与或式（最基本的），由最简与或式可变换为其他形式的最简式。第26页，本讲稿共46页2.常用的公式化简方法：常用的公式化简方法：第27页，本讲稿共46页例如例如例如例如：)()(CCABCCBA+=1.AABBA=+=并项法并项法ABCCBACABCBAZ+=2.BCEDCBBCAAZ+.+=)(BCEDCBBCAA+=)()()(EDCBBCABCA+=BCA+=吸收法吸收法第28页，本讲稿共46页4.3.CBCAABZ+=CBAAB)(+=.CABCABAB+=+=消去法消去法ABBABCCBZ+=)()(CCABBABCAACB+=CABABCBABCCBACBA+=)1()1()(A
15、BCCBABBCA+=BCBACA+=配项法配项法 代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。第29页，本讲稿共46页2.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.5.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式2.5.2 逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法2.5.3 用卡诺图法化简逻辑函数用卡诺图法化简逻辑函数2.5.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简退退 出出第30页，本讲稿
16、共46页2.5.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式 逻辑函数不仅可用真值表、表达式、逻辑图来表示，还可用卡诺图表示。利用卡诺图化简逻辑函数，简捷直观、灵活方便，容易判断函数是否为最简式。卡诺图化简法适用于四变量以内的逻辑函数的化简。下面先介绍卡诺图中涉及到的概念。一、定义一、定义 对于n个变量的函数，如果与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为函数的最小项最小项（共有2n个）。二、最小项编号二、最小项编号 是n变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。这样的与或表达式称为最小项表达式最小项表达式（标
17、准与或式）。第31页，本讲稿共46页例如例如例如例如：Z(A、B、C）的真值表如下：编号编号代号代号最小项最小项最小项表达式：最小项表达式：第32页，本讲稿共46页三、最小项性质三、最小项性质1.对输入变量任何一组取值在所有最小项（2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。2.在输入变量的任何一组取值下,任意两个最小项的乘积为0。3.全体最小项的和为1。4.若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性逻辑相邻性。具有逻辑相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并可消去一个因子。5.任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式，而且这种形式是唯一的。第33页，本讲稿共46页2.
18、5.2 逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法一、卡诺图的画法规则一、卡诺图的画法规则 1.卡诺图卡诺图:用图示的方法,将n个变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得的图形叫做n变量的卡诺图。2.画法规则：画法规则：n个变量，有2n个最小项，用2n个小方格构成方形或矩形图。要求：1）上下、左右、相对的边界、四角等相邻格(几何相邻几何相邻)只允许一个因子发生变化。2）左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。3）变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。第34页，本讲稿共46页二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表
19、示逻辑函数1.方法方法:将函数的最小项表达式中含有的最小项含有的最小项在卡诺图对应的小方格中填填1，没有的填没有的填0或不填或不填。例如例如例如例如：三三变量的卡诺图：BCA000111100m0m1m3m21m4m5m7m6四四变量的卡诺图：CDAB0001111000m0m1m201m4m5m611 m12m1310m8m9m3m7m15m11m14m10第35页，本讲稿共46页 BCA0001111001111 BCA0001111001例如例如例如例如：Z的卡诺图：2.卡诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换：卡诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换：1）由真值表画卡诺图：）由
20、真值表画卡诺图：例如例如例如例如：1111第36页，本讲稿共46页 CDA B00011110000111102）由逻辑函数与或式画卡诺图）由逻辑函数与或式画卡诺图：例如例如例如例如：111 1111111 11 111 13）由卡诺图写与或式）由卡诺图写与或式：例如例如例如例如：BCA000111100111111110CBABCAZ+=第37页，本讲稿共46页2.5.3 用卡诺图法化简逻辑函数用卡诺图法化简逻辑函数一、步骤一、步骤1.将函数变换为与或式；将函数变换为与或式；2.画出卡诺图；画出卡诺图；3.将将2n个有个有1的相邻小方格圈出（所圈小方格数是的相邻小方格圈出（所圈小方格数是2的
21、整次幂，的整次幂，即：即：1个、个、2个、个、4个、个、8个个小方格为一个圈），提出公因小方格为一个圈），提出公因子；子；4.将公因子相加。将公因子相加。因卡诺图中的最小项几何相邻必定逻辑相邻几何相邻必定逻辑相邻，故几何相邻的最小项可以提取公因子，而消去不同项，这样就可以用卡诺图来化简逻辑函数。第38页，本讲稿共46页二、画圈原则二、画圈原则1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。圈越大越好（圈大，消去的因子多）。2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。3.同一个同一个“1”小方格可以被圈多次。小方格可以被圈多次。4.每个圈中要有新的每个圈中要有新的“1”
22、。5.画圈时，可先圈大，后圈小。画圈时，可先圈大，后圈小。6.不要遗漏任何不要遗漏任何“1”的小方格；最后还要删除多余圈。的小方格；最后还要删除多余圈。第39页，本讲稿共46页例如例如例如例如：用卡诺图化简下列函数：1.BCA00011110011111112.CDA B0001111000011110111111111第40页，本讲稿共46页3.BCA0001111001111114.CDA B000111100001111011111111或或:多余圈多余圈(删删除除)第41页，本讲稿共46页2.5.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简一、无关项的含义及其表示方法一
23、、无关项的含义及其表示方法 1.含义含义:包括任意项和约束项。在2n个最小项中，那些对输出没有影响（称任意项任意项）或不会、不允许出现的输入变量（称约束项约束项）的组合所对应最小项，称无关项。它与函数值无关。例如例如例如例如：8421BCD码中，10101111六种组合不允许出现，为无关项。2.表示方法表示方法:（编号（编号)=0 或或 “函数式函数式”=0例如例如例如例如：也可写成:或或第42页，本讲稿共46页二、具有无关项的逻辑函数化简二、具有无关项的逻辑函数化简 1.无关项在卡诺图、真值表中的表示法无关项在卡诺图、真值表中的表示法:用“”填写无关项，既可既可 当当“”，也可当也可当“0”
24、0”。2.画圈原则：画圈原则：1）圈中不能全是无关项；2）无关项可以不圈。例如例如例如例如：用卡诺图化简下列函数：1.BCA0001111001111第43页，本讲稿共46页2.CDA B000111100001111011111第44页，本讲稿共46页本章小结1.1.三种最基本的逻辑函数有与、或、非；复合逻辑函数有与非、或非、与或非、异或、同或等。第45页，本讲稿共46页它们都可以用真值表、逻辑表达式、逻辑符号和卡诺图来表示，这几种表示方法之间可以相互转换。4.逻辑代数是分析和设计数字电路的基础，对于逻辑代数中的基本公式、定律和常用规则在于理解和熟记。5.逻辑函数的化简方法有两种；代数化筒法和卡诸图化简法。代数化简法需要一定技巧，并对公式和定律非常熟悉。卡诺图化简法直观、筒便，对四变量以下的逻辑函数可较快地得到最简表达式，要重点学握。具有无关项函数的化简在实际使用时经常遇到，应充分利用具特点将函数化的更简单。第46页，本讲稿共46页