热力学统计物理精.ppt

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1、热力学统计物理第1页，本讲稿共124页8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚8.4 光子气体光子气体8.5 金属中的自由电子气金属中的自由电子气8.6 白矮星白矮星第2页，本讲稿共124页 第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统（固体）和第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统（固体）和满足经典极限条件的玻色和费米系统（气体）。满足经典极限条件的玻色和费米系统（气体）。经典极限条件也称经典极限条件也称非简并条件非简并条件，可表达为：，可表达为：满足上述条件的气体称为满足上述条件的气体称为

2、非简并气体非简并气体，无论由玻色子构成，无论由玻色子构成（玻色系统）还是费米子构成（费米系统），都可以用玻尔（玻色系统）还是费米子构成（费米系统），都可以用玻尔兹曼分布来处理；不满足上述条件的气体称为兹曼分布来处理；不满足上述条件的气体称为简并气体简并气体，需要，需要分别用玻色分布和费米分布来处理。分别用玻色分布和费米分布来处理。弱简并气体弱简并气体强简并气体强简并气体若若第3页，本讲稿共124页玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布定域系统和非简并定域系统和非简并气体气体由玻色子构成的简由玻色子构成的简并气体并气体由费米子构成的由费米子构成的简并气体简并气体适用范围适用范围

3、第4页，本讲稿共124页一、玻色系一、玻色系统统8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式引入巨配分函数引入巨配分函数则系统平均总粒子数则系统平均总粒子数第5页，本讲稿共124页内能内能广义力（物态方程）广义力（物态方程）对简单系统对简单系统第6页，本讲稿共124页注意到注意到 是是 的函数，有的函数，有 熵和熵和、的确定：的确定：根据开系的根据开系的热热力学基本方程力学基本方程表明表明 是是 的积分因子。的积分因子。第7页，本讲稿共124页所以所以 表明表明 是是 的积分因子。的积分因子。第8页，本讲稿共124页 比较上两式，可得比较上两式，可得前面得到：前面得到：积积分得分得第9页，

4、本讲稿共124页由玻色分布由玻色分布第10页，本讲稿共124页与（与（6.7.4）比较，可得）比较，可得玻耳兹曼关系：玻耳兹曼关系：第11页，本讲稿共124页 因为因为 是是 （简单系统即简单系统即 ）的函数，）的函数，以以 为自然变量的特性函数是巨热力学势：为自然变量的特性函数是巨热力学势：巨热力学势巨热力学势第12页，本讲稿共124页 则费则费米系米系统热统热力学量的力学量的统计统计表达式与玻色系表达式与玻色系统热统热力学量力学量的的统计统计表达式完全相同。表达式完全相同。二、二、费米系统费米系统引入费米系统的巨配分函数引入费米系统的巨配分函数第13页，本讲稿共124页平均平均总总分子数分

5、子数 总总内能内能 广广义义力力 熵熵玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系巨热力学势巨热力学势第14页，本讲稿共124页 首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和能级简并度，由此计算配分函数，最后用热力学量能级简并度，由此计算配分函数，最后用热力学量的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确 定系统的全部平衡性质。定系统的全部平衡性质。三、量子统计物理学处理热力学系统的一般方法三、量子统计物理学处理热力学系统的一般方法第15页，本讲稿

6、共124页8.2弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并气体：弱简并气体：或或虽小但不可忽略的玻色和费米气体。虽小但不可忽略的玻色和费米气体。以下推导过程的公式中，上面的符号适用于以下推导过程的公式中，上面的符号适用于费米气体，下面费米气体，下面的符号适用于的符号适用于玻色气体。并且不考虑分子的内部结构，即分子只玻色气体。并且不考虑分子的内部结构，即分子只有平动自由度，其能量表达为有平动自由度，其能量表达为非简并条件非简并条件 或或第16页，本讲稿共124页 其中其中g 是由于粒子可能具有自旋而引进的简并度。是由于粒子可能具有自旋而引进的简并度。系统的系统的内能内能为为

7、考虑到平动自由度的能级是连续的，求和可以用积分来近似，考虑到平动自由度的能级是连续的，求和可以用积分来近似，于是系统的于是系统的总分子数总分子数为为习题习题61第17页，本讲稿共124页 在弱简并的情形下，在弱简并的情形下，较小，较小，较小，可取级数的一较小，可取级数的一级近似（零级近似相当于玻尔兹曼分布）：级近似（零级近似相当于玻尔兹曼分布）：引入引入变变量量 ，将上两式改写为：，将上两式改写为：其中其中第18页，本讲稿共124页求积分求积分由分部积分由分部积分因为因为所以所以第19页，本讲稿共124页 可得可得第20页，本讲稿共124页第21页，本讲稿共124页 两式相除，再取近似两式相除

8、，再取近似其中其中 由于由于 较小，用零级近似，即玻尔兹曼分布的结果较小，用零级近似，即玻尔兹曼分布的结果带入：带入：第22页，本讲稿共124页 可得可得由由非相对论粒子非相对论粒子的性质（习题的性质（习题7.1）得物态方程得物态方程第23页，本讲稿共124页 第一第一项项是根据玻耳是根据玻耳兹兹曼分布得到的内能和曼分布得到的内能和压压强强，第二，第二项项是由微是由微观观粒子全同性原理引起的量子粒子全同性原理引起的量子统计统计关关联联所所导导致的附加致的附加内能和附加内能和附加压压强强。费费米气体的附加内能（米气体的附加内能（压压强强）为为正而玻色正而玻色气体的附加内能气体的附加内能为负为负。

9、可以。可以认为认为，量子量子统计统计关关联联使使费费米子米子间间出出现现等效的排斥作用，玻色粒子等效的排斥作用，玻色粒子间则间则出出现现等效的吸引作用。等效的吸引作用。总结：总结：第24页，本讲稿共124页上上节讨论节讨论了弱了弱简简并理想玻色（并理想玻色（费费米）气体的性米）气体的性质质，初步看到，初步看到由微由微观观粒子全同性粒子全同性带带来的量子来的量子统计统计关关联对联对系系统统宏宏观观性性质质的影响，的影响，在弱在弱简简并的情形下并的情形下 8.3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚(BEC)小，影响是微弱的。小，影响是微弱的。上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体上面的符

10、号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体第25页，本讲稿共124页 由于玻色子的特性，当理想玻色气体由于玻色子的特性，当理想玻色气体满满足足时时，玻色子将向基，玻色子将向基态态能能级转级转移，出移，出现现独特的独特的玻色玻色爱爱因斯坦因斯坦凝聚凝聚现现象。象。1924年印度物理学家玻色提出黑体辐射是光子理想气体的观点，年印度物理学家玻色提出黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了他研究了“光子在各能级上的分布光子在各能级上的分布”问题，以不同于普朗克的方式推导问题，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式。他将这一结果寄给爱因斯坦。爱因斯坦意识到出普朗克黑体辐射公式。他将这一结果寄给爱因斯

11、坦。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手这一问题的研究。他于玻色工作的重要性，立即着手这一问题的研究。他于1924和和1925年发年发表两篇文章，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类表两篇文章，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。在很长一段时间里，没状态，这就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。在很长一段时间里，没有任何物理系统被认为与玻色爱因斯坦凝聚现象有关。有任何物理系统被认为与玻色爱因斯坦凝聚现象有关

12、。1938年，伦敦年，伦敦提出低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色爱因提出低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色爱因斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。第26页，本讲稿共124页以以 表示粒子的表示粒子的最低能级最低能级，则要求：，则要求：由于由于 ，这就要求，这就要求所有能级所有能级 均有均有一、一、临临界温度界温度考考虑虑由由N个全同近独立玻色子个全同近独立玻色子组组成的系成的系统统，假，假设设粒子的粒子的自旋自旋为为0（g=1），温度），温度为为T，体，体积为积为V。据玻色分布，。据玻色分布，处处在在能能级级 的粒子数为：的粒

13、子数为：第27页，本讲稿共124页 即理想玻色气体的即理想玻色气体的化学势化学势必须低于粒子最低能级的能量。必须低于粒子最低能级的能量。若取最低能若取最低能级为级为能量的零点，即能量的零点，即 ，则则 化学势化学势由粒子数守恒公式确定：由粒子数守恒公式确定：可知化学势可知化学势为为温度温度T T及粒子数密度及粒子数密度n n的函数。由于的函数。由于 和和 都与温度无关，因此若都与温度无关，因此若给给定定n n，则则温度温度T T愈低，愈低，因为因为 ，要，要求求 越大。越大。将上式的求和用积分代替，利用将上式的求和用积分代替，利用第28页，本讲稿共124页 化学势随温度的降低而升高，当温度降至

14、某一临界温度化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温度 时，时，将趋于将趋于0。这时。这时 趋于趋于1。则则临临界温度界温度 由下式给出：由下式给出：令令第29页，本讲稿共124页求积分求积分因为因为第30页，本讲稿共124页即即 时，时，。因此，对于给定的粒子数密度因此，对于给定的粒子数密度n n，临界温度，临界温度 为：为：利用利用第31页，本讲稿共124页对对，例：例：第32页，本讲稿共124页 温度低于温度低于 时有何现象出现？前面的讨论指出，温度时有何现象出现？前面的讨论指出，温度愈低时愈低时值愈高，但在任何温度下值愈高，但在任何温度下必取负值。由此可知，必取负值。由此可知，时

15、，时，仍趋于仍趋于0，所以有，所以有 的粒子到哪去了呢？因的粒子到哪去了呢？因为为 中含有中含有 项项，所以，所以上式的上式的积分中没有积分中没有 的粒子的贡献。高温时粒子都处在激发态，可的粒子的贡献。高温时粒子都处在激发态，可以不用考虑以不用考虑 的粒子数密度的粒子数密度 但但 时，必须考虑时，必须考虑 的贡献。的贡献。二、玻色爱因斯坦凝聚现象二、玻色爱因斯坦凝聚现象第33页，本讲稿共124页 第一项是处在能级第一项是处在能级=0=0的粒子数密度的粒子数密度 在在 ，趋于趋于0 0时，有时，有 第二项是处在激发态能级第二项是处在激发态能级00的粒子数密度的粒子数密度 其中其中第34页，本讲稿

16、共124页利用利用 可得若可得若 ，温度为，温度为T T时处在最低能级时处在最低能级0 0的粒子数的粒子数密度为：密度为：第35页，本讲稿共124页 可见在可见在TC以下以下n0与与n具有相同的量级。以下是具有相同的量级。以下是n0随温度的变随温度的变化：化：第36页，本讲稿共124页 在绝对零度以下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻在绝对零度以下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在零度下玻色粒子将全部处在0 0的最低能级。的最低能级。但上式表明，在但上式表

17、明，在 时就有宏观量级的粒子在能级时就有宏观量级的粒子在能级0 0凝聚。凝聚。这一现象称为这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚，简称，简称玻色凝聚玻色凝聚。为凝为凝聚温度。凝聚在聚温度。凝聚在 的粒子集合称为的粒子集合称为玻色凝聚体玻色凝聚体。凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚体中粒子的动量既然为零，对压强没有贡献。为零。凝聚体中粒子的动量既然为零，对压强没有贡献。第37页，本讲稿共124页在在 时时，理想玻色气体的内能是，理想玻色气体的内能是处处在能在能级级0的粒子的粒子能量的能量的统计

18、统计平均平均值值：三、三、BEC系系统统的内能和的内能和热热容量容量 定容热容定容热容第38页，本讲稿共124页 上式指出，在上式指出，在 时时，理想玻色气体的，理想玻色气体的 与与 成正成正比，到比，到 时时，达到极达到极值值：高温高温时应趋时应趋于于经经典典值值：随温度的变化如图：随温度的变化如图：第39页，本讲稿共124页发生相变，称为发生相变，称为 相变。相变。四、四、相变相变原子是玻色子，原子是玻色子，大气压下的沸点是大气压下的沸点是4.2K。正常液态，称为正常液态，称为He。超流动性，称为超流动性，称为He.比较比较第40页，本讲稿共124页 满足上式时原子的热波长与原子平均间距具

19、有相同的满足上式时原子的热波长与原子平均间距具有相同的量级，量子统计关联起决定作用。量级，量子统计关联起决定作用。理想玻色气体出现凝聚体的理想玻色气体出现凝聚体的条件条件为：为：由此可由此可见见，可通，可通过过降低温度降低温度和和增加气体粒子数密度增加气体粒子数密度的方的方法来法来实现实现玻色凝聚。玻色凝聚。80年代以来，激光冷却、激光陷阱和年代以来，激光冷却、激光陷阱和蒸蒸发发冷却技冷却技术术有了突破性的有了突破性的进进展，展，终终于在于在1995年年实现实现了碱了碱金属金属 ，蒸气的玻色爱因斯坦凝聚。蒸气的玻色爱因斯坦凝聚。第41页，本讲稿共124页 物质临界温度凝聚体原子数目（个）凝聚体

20、原子密度碱金属蒸汽的玻色凝聚碱金属蒸汽的玻色凝聚第42页，本讲稿共124页 玻色爱因斯坦凝聚的实现有着十分重要的科学意义和玻色爱因斯坦凝聚的实现有着十分重要的科学意义和潜在的应用价值潜在的应用价值。玻色爱因斯坦凝聚体所具有的奇特玻色爱因斯坦凝聚体所具有的奇特性质，使它不仅对基础研究有重要意义，而且在芯片技性质，使它不仅对基础研究有重要意义，而且在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都让人看到了非常美好术、精密测量和纳米技术等领域都让人看到了非常美好的应用前景。凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计的应用前景。凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确定位等。精确

21、度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确定位等。凝聚体具有很好相干性，可以用于研制高精度的原子干凝聚体具有很好相干性，可以用于研制高精度的原子干涉仪，测量各种势场，测量重力场加速度和加速度的变涉仪，测量各种势场，测量重力场加速度和加速度的变化等。原子激光也可能用于集成电路的制造，大大提高化等。原子激光也可能用于集成电路的制造，大大提高集成电路的密度，因此将大大提高电脑芯片的运算速度。集成电路的密度，因此将大大提高电脑芯片的运算速度。凝聚体还被建议用于量子信息的处理，为量子计算机的凝聚体还被建议用于量子信息的处理，为量子计算机的研究提供另外一种选择。研究提供另外一种选择。第43页，本讲稿共124页

22、1995年年6月，维曼和康奈尔的研究组在铷月，维曼和康奈尔的研究组在铷（87Rb）原子蒸气中第一次直接观测到玻色爱因）原子蒸气中第一次直接观测到玻色爱因斯坦凝聚。几个月后，麻省理工学院的沃尔夫冈斯坦凝聚。几个月后，麻省理工学院的沃尔夫冈克特勒研究组在钠（克特勒研究组在钠（23Na）原子蒸气中实现了玻色）原子蒸气中实现了玻色爱因斯坦凝聚。此后，这个领域经历了爆发性的爱因斯坦凝聚。此后，这个领域经历了爆发性的发展。目前世界上已有近发展。目前世界上已有近30个研究组在稀薄原子气个研究组在稀薄原子气中实现了玻色爱因斯坦凝聚。中实现了玻色爱因斯坦凝聚。瑞典皇家科学院瑞典皇家科学院2001年年10月月9日

23、宣布，将日宣布，将2001年诺贝年诺贝尔物理学奖联合授予美国科学家埃里克尔物理学奖联合授予美国科学家埃里克康奈尔、卡尔康奈尔、卡尔维曼和德国科学家沃尔夫冈维曼和德国科学家沃尔夫冈克特勒。克特勒。第44页，本讲稿共124页1、受热物体或空窖可以辐射电磁波。辐射能量密度、受热物体或空窖可以辐射电磁波。辐射能量密度 和能量和能量密度随频率的依赖关系密度随频率的依赖关系 与温度及辐射体的性质有关。与温度及辐射体的性质有关。8.4 光子气体光子气体一、辐射场的一般热力学性质一、辐射场的一般热力学性质2、如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，则辐射能、如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，则辐射能量密

24、度和能量密度随频率的依赖关系将只取决于温度，量密度和能量密度随频率的依赖关系将只取决于温度，与辐射体的其它性质无关，称为与辐射体的其它性质无关，称为平衡辐射平衡辐射。空窖内的辐空窖内的辐射就是平衡辐射射就是平衡辐射。平衡辐射能量密度是各向同性的、非偏振。平衡辐射能量密度是各向同性的、非偏振的和均匀的。的和均匀的。黑体辐射黑体辐射=空窖辐射空窖辐射=平衡辐射平衡辐射第45页，本讲稿共124页辐射能量密度辐射能量密度 辐辐射射压压强强 辐辐射射场场的的熵熵 辐射通量密度辐射通量密度（斯特藩（斯特藩玻耳兹曼定律）玻耳兹曼定律）3、平衡辐射场（空窖辐射）的热力学结果、平衡辐射场（空窖辐射）的热力学结果

25、辐射场的吉布斯函数辐射场的吉布斯函数第46页，本讲稿共124页 辐辐射射场场可以分解可以分解为为无无穷穷多个多个单单色平面波的叠加。具有色平面波的叠加。具有一定一定圆频圆频率率 、波矢量、波矢量 和偏振的单色平面波可以看作和偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个振动自由度，根据能均分定理，一个振动自由辐射场的一个振动自由度，根据能均分定理，一个振动自由度具有平均能量度具有平均能量 。在体在体积积 内，在内，在 的的圆频圆频率范率范围围内，内，辐射场辐射场的的振振动动自由度自由度数数为为（由（由驻驻波条件）：波条件）：二、用统计物理方法处理辐射场二、用统计物理方法处理辐射场1、用经典统计从波动观点

26、处理辐射场、用经典统计从波动观点处理辐射场 所以在体积所以在体积所以在体积所以在体积V V内，在内，在内，在内，在 范围内平衡辐射范围内平衡辐射范围内平衡辐射范围内平衡辐射的内能为的内能为第47页，本讲稿共124页瑞利金斯公式瑞利金斯公式 结论结论：在低在低频频范范围围与与实验实验结结果符合，但在高果符合，但在高频频范范围围与与实验结实验结果不符；在果不符；在有限温度下平衡有限温度下平衡辐辐射射场场的内能和定容的内能和定容热热容量均容量均发发散。散。或或第48页，本讲稿共124页 具有一定波矢量具有一定波矢量 和圆频率和圆频率 的单色平面波与具有一定动的单色平面波与具有一定动量量 和一定能量和

27、一定能量 的光子相对应。它们之间服从的光子相对应。它们之间服从德布罗意德布罗意关系关系2、用量子、用量子统计统计理理论论从粒子从粒子观观点点处处理理辐辐射射场场可得光子的能量动量关系可得光子的能量动量关系（1）光子气体模型：）光子气体模型：或或第49页，本讲稿共124页 将空窖内的电磁辐射看成一个光子气体系统。由于不同将空窖内的电磁辐射看成一个光子气体系统。由于不同频率的电磁波之间是线性无关，相互独立的，所以光子与频率的电磁波之间是线性无关，相互独立的，所以光子与光子之间不存在相互作用（近独立）；又光子的自旋量子光子之间不存在相互作用（近独立）；又光子的自旋量子数为数为1，所以光子气体可以看成

28、理想玻色气体。光子气体的，所以光子气体可以看成理想玻色气体。光子气体的平衡是通过窖壁不断发射和吸收光子达到的，所以光子气平衡是通过窖壁不断发射和吸收光子达到的，所以光子气体系统的体系统的光子数不守恒光子数不守恒。在导出玻色分布时，只有能量守恒的条。在导出玻色分布时，只有能量守恒的条件，只引入一个拉氏乘子，所以光子气体的件，只引入一个拉氏乘子，所以光子气体的统计分布统计分布为：为：因因为为意味着平衡状意味着平衡状态态下光子气体的化学下光子气体的化学势为势为零。零。第50页，本讲稿共124页 在体在体积为积为 的辐射场内，在的辐射场内，在 到到 的频率范围内，的频率范围内，光子可能的光子可能的量子

29、状态数量子状态数，因因为为光子自旋量子数光子自旋量子数为为1，自旋在，自旋在动动量方向的投影可量方向的投影可取取 两个可能两个可能值值，相当于左右，相当于左右圆圆偏振。所以在体偏振。所以在体积为积为 的辐射场内，在的辐射场内，在 到到 的动量范围内，光子可能的的动量范围内，光子可能的量子量子状态数：状态数：（2）普朗克公式）普朗克公式由由第51页，本讲稿共124页因此在上述范围内辐射场的因此在上述范围内辐射场的内能内能为为 则则在体在体积为积为 的辐射场内，在的辐射场内，在 到到 的频率范围的频率范围内的内的光子数光子数为为 即即辐辐射射场场内能按内能按频频率的分布率的分布，与，与实验结实验结

30、果完全相符，如果完全相符，如图图。普朗克公式普朗克公式第52页，本讲稿共124页普朗克公式（辐射场内能按频率的分布）：普朗克公式（辐射场内能按频率的分布）：第53页，本讲稿共124页当当 时，时，考虑，考虑低低频频近似：近似：瑞利金斯公式瑞利金斯公式的一级近似。的一级近似。第54页，本讲稿共124页当当 时，时，考虑近似，考虑近似高频近似：高频近似：维恩公式维恩公式第55页，本讲稿共124页辐射场的内能辐射场的内能其中用到积分其中用到积分第56页，本讲稿共124页即即斯特藩斯特藩玻耳玻耳兹兹曼定律曼定律，其中斯特藩常量：，其中斯特藩常量：由由第57页，本讲稿共124页 根据普朗克公式，内能随频

31、率的分布有一个极大值，与根据普朗克公式，内能随频率的分布有一个极大值，与该极大值对应的频率用该极大值对应的频率用 来表示，来表示，（3）维恩位移定律）维恩位移定律解最后的超越方程，得解最后的超越方程，得令令 取极大的取极大的x满足：满足：第58页，本讲稿共124页求求 的解：的解：第59页，本讲稿共124页 因因为为使使辐辐射射场场的内能密度取极大的的内能密度取极大的 是一定的，即是一定的，即 与温与温度成正比，称为度成正比，称为维恩位移定律维恩位移定律。第60页，本讲稿共124页用波长表示的普朗克公式：用波长表示的普朗克公式：利用利用习题习题88第61页，本讲稿共124页第62页，本讲稿共1

32、24页使使 取极大的波取极大的波长长 由下式确定：由下式确定：令令第63页，本讲稿共124页解最后的超越方程，两条曲解最后的超越方程，两条曲线线相交点在相交点在习题习题89第64页，本讲稿共124页第65页，本讲稿共124页太阳太阳太阳太阳人体人体人体人体宇宙微波背景辐射宇宙微波背景辐射宇宙微波背景辐射宇宙微波背景辐射第66页，本讲稿共124页光子气体的巨配分函数光子气体的巨配分函数 引入引入变变量量（4）通过配分函数求光子气体的热力学函数）通过配分函数求光子气体的热力学函数上式可以表示为上式可以表示为其中其中第67页，本讲稿共124页应应用分步用分步积积分：分：于是配分函数于是配分函数为为

33、因因为积为积分分第68页，本讲稿共124页光子气体的内能光子气体的内能 光子气体的光子气体的压压强强 比比较这较这两个式子可以得两个式子可以得 斯特藩斯特藩玻耳兹曼定律玻耳兹曼定律第69页，本讲稿共124页光子气体的光子气体的熵熵 光子气体的热容量光子气体的热容量 由此可知，光子气体的由此可知，光子气体的熵熵随温度而随温度而趋趋于零，符合于零，符合热热力学第力学第三定律的要求，同三定律的要求，同时熵时熵也也满满足广延量的要求。足广延量的要求。第70页，本讲稿共124页由于具有一定由于具有一定圆频圆频率、波矢和偏振的平面波与具有一定能率、波矢和偏振的平面波与具有一定能量、量、动动量和自旋投影的光

34、子状量和自旋投影的光子状态态相相应应，当，当辐辐射射场场某一平面某一平面波波处处在量子数在量子数为为n的状的状态时态时，相当于存在相，相当于存在相应应的的圆频率、波矢圆频率、波矢和偏振相同的和偏振相同的n个光子个光子 。玻色分布。玻色分布给给出在温度出在温度为为T的平的平衡状衡状态态下下n的平均的平均值值 3、关于用经典统计处理辐射场所得结论的解释、关于用经典统计处理辐射场所得结论的解释 首先从波动观点来理解普朗克公式的物理图像。根据量子理首先从波动观点来理解普朗克公式的物理图像。根据量子理论，一个振动自由度论，一个振动自由度(一个平面波一个平面波)的能量可能值为：的能量可能值为：第71页，本

35、讲稿共124页 从粒子从粒子观观点看，点看，是是平均光子数平均光子数。从波。从波动观动观点看，点看，是是量子量子数数n的平均值的平均值。这样波动和粒子的图像便统一起来了。对于。这样波动和粒子的图像便统一起来了。对于 的低频自由度，其能量可看作是准连续的，经典统计关于一的低频自由度，其能量可看作是准连续的，经典统计关于一个振动自由度具有平均能量个振动自由度具有平均能量kT 的结论是适用的。反之的结论是适用的。反之 满足的高频自由度则被冻结在满足的高频自由度则被冻结在n0的基态（无法从热运动的基态（无法从热运动中吸收能量）。这样经典统计研究平衡辐射问题出现的困中吸收能量）。这样经典统计研究平衡辐射

36、问题出现的困难便得到解决。难便得到解决。第72页，本讲稿共124页1、通、通过维过维恩位移定律恩位移定律由由辐辐射体的射体的颜颜色定性判断色定性判断辐辐射体的温度相射体的温度相对对高低。高低。三、应用三、应用 人眼观测辐射体时，只能感受辐射能量密度较强的频人眼观测辐射体时，只能感受辐射能量密度较强的频段。根据维恩位移定律，辐射体温度与峰值频率成正比，段。根据维恩位移定律，辐射体温度与峰值频率成正比，因此，辐射体温度越高，峰值频率值越大，表观上呈蓝因此，辐射体温度越高，峰值频率值越大，表观上呈蓝或紫色。反之，辐射体温度越低，峰值频率越小，表观或紫色。反之，辐射体温度越低，峰值频率越小，表观上呈红

37、色。上呈红色。第73页，本讲稿共124页第74页，本讲稿共124页第75页，本讲稿共124页光谱型恒星表面温度恒星颜色O 4000025000K 蓝色星B 2500012000K 蓝白色星A 115007700K白色星F 76006100K黄白色星G 60005000K黄色星K 49003700K红橙色星M 36002600K红色星恒星光谱分类恒星光谱分类第76页，本讲稿共124页大爆炸宇宙学：大爆炸宇宙学：宇宙诞生于一次大爆炸，从高温、高密度状态开始膨胀，温宇宙诞生于一次大爆炸，从高温、高密度状态开始膨胀，温度和密度不断下降，最终演化为今天的宇宙。度和密度不断下降，最终演化为今天的宇宙。2、

38、宇宙微波背景辐射、宇宙微波背景辐射大爆炸宇宙学的大爆炸宇宙学的三个观测证据三个观测证据：（1）一切化学元素的年龄都是有限的，都不大于）一切化学元素的年龄都是有限的，都不大于150亿亿 年；年；（2）氦平均丰度：观测发现在不同天体上，氢含量和氦）氦平均丰度：观测发现在不同天体上，氢含量和氦含量之比近似相同，质量之比为含量之比近似相同，质量之比为3 ：1。根据宇宙膨胀速。根据宇宙膨胀速度和热辐射温度的测量，计算出宇宙早期产生的氦丰度度和热辐射温度的测量，计算出宇宙早期产生的氦丰度恰好是恰好是30%。第77页，本讲稿共124页 早期宇宙是由高温辐射（高能光子）、夸克与基本粒早期宇宙是由高温辐射（高能

39、光子）、夸克与基本粒子（质子、中子、电子、中微子）组成的子（质子、中子、电子、中微子）组成的“羹汤羹汤”。（3）宇宙微波背景辐射；）宇宙微波背景辐射；大爆炸后的宇宙逐渐冷却，现在温度为绝对温度大爆炸后的宇宙逐渐冷却，现在温度为绝对温度2.7K，宇，宇宙微波背景辐射就是大爆炸的宙微波背景辐射就是大爆炸的“余温余温”，它均匀分布在整个，它均匀分布在整个宇宙空间中。宇宙空间中。第78页，本讲稿共124页本本节节以金属中的自由以金属中的自由电电子气体子气体为为例，例，讨论讨论强强简简并情形下（并情形下（）费米气体的特点。）费米气体的特点。8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 在金属中，一些

40、活泼元素最外层价电子摆脱了原子核的束缚在在金属中，一些活泼元素最外层价电子摆脱了原子核的束缚在金属中运动，称为金属中运动，称为公有电子公有电子。这些公有电子受到离子和其它电。这些公有电子受到离子和其它电子的库仑作用，在初步近似下可以认为这些相互作用子的库仑作用，在初步近似下可以认为这些相互作用相互抵相互抵消消，只有在金属表面由于没有外界离子的引力来抵消内部离，只有在金属表面由于没有外界离子的引力来抵消内部离子的作用，所以电子在金属内部离子的吸引下而被束缚在里子的作用，所以电子在金属内部离子的吸引下而被束缚在里面。因此可以把这些公有电子看作是封闭在金属内部的自由面。因此可以把这些公有电子看作是封

41、闭在金属内部的自由粒子，称之为粒子，称之为自由电子气体自由电子气体。自由电子气体模型自由电子气体模型第79页，本讲稿共124页 金属的高金属的高导电导电率和高率和高热导热导率率说说明金属中自由明金属中自由电电子的存在。但子的存在。但如果将如果将经经典典统计统计的能均分定理的能均分定理应应用于自由用于自由电电子，一个自由子，一个自由电电子子对对金属金属热热容量将有容量将有 的贡献，这是与实际不符的。实验发现，的贡献，这是与实际不符的。实验发现，除在极低温度情况外，金属中自由电子的热容量与离子振动的热除在极低温度情况外，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较可以忽略。容量相比较可以忽略。1

42、928年索末菲根据费米分布成功地解决了这个问题。年索末菲根据费米分布成功地解决了这个问题。经典统计理论在处理金属中自由电子的热容量时碰到的经典统计理论在处理金属中自由电子的热容量时碰到的困难：困难：第80页，本讲稿共124页 将将电电子子质质量量 和其它物理常数带入和其它物理常数带入 计算计算出：出：一、金属中自由电子气体是强简并的一、金属中自由电子气体是强简并的 以以铜为铜为例，在常温下例，在常温下 ，其密度，其密度为为 ，铜铜的的原子量原子量为为63，假，假设设一个一个铜铜原子原子贡贡献一个自由献一个自由电电子，子，则则有有 说明在常温下金属中的自由电子形成说明在常温下金属中的自由电子形成

43、强简并强简并的费米气体，的费米气体，其它金属情况也相似。其它金属情况也相似。第81页，本讲稿共124页二、温度二、温度T=0情况下费米系统的性质情况下费米系统的性质 考考虑虑到到电电子自旋在子自旋在动动量方向有两个可能量方向有两个可能值值，故在体，故在体积积V内，内，能量范能量范围围内，内，电电子可能的微子可能的微观观状状态态数（数（习题习题6.1（非相对论情（非相对论情形）形），即），即简简并度并度为为：1、T=0情况下的费米分布及费米能级情况下的费米分布及费米能级 根据根据费费米分布，温度米分布，温度为为T时处时处在能量在能量为为 的一个量子的一个量子态态上上的平均的平均电电子数子数为为：

44、第82页，本讲稿共124页 于是在体积于是在体积V内，内，能量范围内，平均电子数为：能量范围内，平均电子数为：在在给给定定电电子数子数N、温度和体积、温度和体积V时，化学势时，化学势 由下面的由下面的守恒条件确定：守恒条件确定：所以化学所以化学势势是是温度温度T和和电子数密度电子数密度n的函数。的函数。第83页，本讲稿共124页若以若以 表示温度表示温度T=0K时的化学势，由时的化学势，由可知可知T0K时费米气体的分布为：时费米气体的分布为：在在 时，在时，在 的每一个量子态上平均电子数的每一个量子态上平均电子数为为1，在，在 的每一个量子态上平均电子数为零。这是的每一个量子态上平均电子数为零

45、。这是由于在由于在0k时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子，因此相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从电子从 状态起依次填充到状态起依次填充到 止。止。第84页，本讲稿共124页是是0K时电时电子的最大能量，称作子的最大能量，称作费费米能米能级级。解出解出费费米能米能级级定定义义费费米米动动量量定定义义费费米速度米速度由由T0K时的守恒条件时的守恒条件定定义义费费米温度米温度第85页，本讲稿共124页 利用前面铜的数据，计算铜的费米能级、费米动量、利用前面铜的数据，计算铜的费米能级、费

46、米动量、费米速度及费米温度：费米速度及费米温度：在通常所考虑的温度下在通常所考虑的温度下第86页，本讲稿共124页T0K时电子气体的时电子气体的内能内能：所以所以0K时电子气体的时电子气体的平均内能平均内能为为0K时电子气体的时电子气体的压强压强为为 电子气体的压强常称为电子气体的压强常称为简并压强简并压强，这是一种与热运动无关，这是一种与热运动无关的压强，为费米系统所特有。的压强，为费米系统所特有。第87页，本讲稿共124页 这是一个极大的数值。它是泡利不相容原理和电子气这是一个极大的数值。它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。这巨大的简并压在金属中被电子与体具有高密度的结果。这巨大

47、的简并压在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿，在白矮星中则被强大的引力所补离子的静电吸力所补偿，在白矮星中则被强大的引力所补偿。偿。利用前面铜的数据，计算铜的电子气体压强：利用前面铜的数据，计算铜的电子气体压强：第88页，本讲稿共124页元素电子密度简并条件费米能量费米温度费米压强LiNaKRbCsCu6800AgAu第89页，本讲稿共124页 理想玻色气体理想玻色气体在绝对零度下的能量、动量、速度、压强和在绝对零度下的能量、动量、速度、压强和熵为零。熵为零。理想费米气体理想费米气体在绝对零度下的费米能量、费米动量、在绝对零度下的费米能量、费米动量、费米速度和费米压强均不为零，只有熵为零。费米

48、速度和费米压强均不为零，只有熵为零。2、绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质的比较绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质的比较第90页，本讲稿共124页三、温度三、温度T0情况下费米系统的性质情况下费米系统的性质1、T0情况下费米分布及热容量情况下费米分布及热容量由由 注意到函数注意到函数 按指数规按指数规律随律随 变化，实际上只在变化，实际上只在 附近数量级为附近数量级为 的范围内，的范围内，电子的分布与电子的分布与0K时分布有差时分布有差异。异。第91页，本讲稿共124页 在在绝对绝对零度零度时电时电子占据了从到子占据了从到 的每一个量子态，温的每一个量子态，温度升高时由于热激发，电子可能跃

49、迁到能量较高的未被占度升高时由于热激发，电子可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去。但是处在低能态的电子要跃迁到没有被占据据的状态去。但是处在低能态的电子要跃迁到没有被占据的状态，必须吸收很大的热运动能量，这是极小可能的。的状态，必须吸收很大的热运动能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变，只是在所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变，只是在 附近数量级为附近数量级为 的能量范围内占据情况发生改变。的能量范围内占据情况发生改变。这种分布的性质可以解释为：这种分布的性质可以解释为：在在 的情况下，的情况下，电电子气体的分布与子气体的分布与绝对绝对零度零度时时的的分布差异不大

50、，分布差异不大，与与 非常接近，有非常接近，有 第92页，本讲稿共124页可见温度可见温度T越高，化学势越小。越高，化学势越小。第93页，本讲稿共124页 在在 ，即，即 的情形下恒有的情形下恒有 因此费米气体的因此费米气体的强简并条件强简并条件等价于等价于 。由。由此可见，只有能量在此可见，只有能量在 附近，数量级为附近，数量级为 范围内的电子对热容量有贡献。由此可以范围内的电子对热容量有贡献。由此可以粗略估粗略估计电子气体的热容量计电子气体的热容量。以。以 表示能量在表示能量在 附近附近 范围内对热容量有贡献的有效电子数范围内对热容量有贡献的有效电子数 第94页，本讲稿共124页 将能均分