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1、第2章 自动控制系统的数学模型第1页，本讲稿共49页本章本章主要内容主要内容本章重点本章重点 本本章章介介绍绍了了建建立立控控制制系系统统数数学学模模型型和和简简化化的的相相关关知知识识。包包括括线线性性定定常常系系统统微微分分方方程程的的建建立立、非非线线性性系系统统的的线线性性化化方方法法、传传递递函函数数概概念念与与应应用用、方方框框图图及及其其等等效效变变换换、梅梅逊逊公公式式的应用等。的应用等。通通过本章学本章学习，应着着重了解控制系重了解控制系统数学模型数学模型的基本知的基本知识，熟，熟练掌握建掌握建立立线性定常系性定常系统微分方程微分方程的建立、的建立、传递函数的概念函数的概念和
2、和应用知用知识、控制系、控制系统方方框框图的构成和等效的构成和等效变换方方法、典型法、典型闭环控制系控制系统的的传递函数的基本概念和梅函数的基本概念和梅逊公式的公式的应用用。第2页，本讲稿共49页2-1 2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型线性、定常、集总参数控制系统的微分方程线性、定常、集总参数控制系统的微分方程线性元件的微分方程线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）电气元件组成的系统（电路系统）列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量LCR第3页，本讲稿共49页机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机机电系统微分
3、方程：电枢电压控制直流电动机电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程SM负载第4页，本讲稿共49页若以角速度若以角速度 为输出量、电枢电压为输出量、电枢电压 为输入量，为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为消去中间变量，直流电动机的微分方程为电磁转矩方程电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程电动机轴上转矩平衡方程第5页，本讲稿共49页第6页，本讲稿共49页当电枢回路的电感可以忽略不计当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化则上式可进一步简化第7页，本讲稿共49页求质量求质量m在外力
4、在外力F的作用下，质量的作用下，质量m的位移的位移x的运动。的运动。设系统已处于平衡状态，设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的相对于初始状态的位移、速度、加速度位移、速度、加速度弹簧弹簧-质量质量-阻尼器（阻尼器（S-M-DS-M-D）机械位移系统机械位移系统m第8页，本讲稿共49页齿轮齿轮1和齿轮和齿轮2的运动方程的运动方程（1）以齿轮）以齿轮1的角速度的角速度 为输出，外部为输出，外部 为输入为输入（1）（2）第10页，本讲稿共49页第11页，本讲稿共49页列写元件微分方程的步骤：列写元件微分方程的步骤：（1 1）确定元件的输入量、输出量）确定元件的输入量、输出量（2 2）由物理或化学规
5、律，列写微分方程；）由物理或化学规律，列写微分方程；（3 3）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程（1）以齿轮）以齿轮2的角速度的角速度 为输出，外部为输出，外部 为输入为输入第12页，本讲稿共49页控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效前后连接的两
6、个元件中，后级元件对前级元件的负载效应应（3）消去中间变量）消去中间变量第13页，本讲稿共49页速度控制系统的微分方程速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TG第14页，本讲稿共49页系统输出 系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放、运放2、功、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放运放1运放运放2功放功放直流电动机直流电动机第15页，本讲稿共49页减速器（齿轮系）减速器（齿轮系）测速发电机测速发电机消去中间变量消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为控制
7、系统数学模型（微分方程），令以下的参数为第16页，本讲稿共49页*比较比较 R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系第17页，本讲稿共49页线性系统的性质：线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace 变换方法 第18页，本讲稿共49页非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化实际的物理元件
8、都存在一定的非线性，例如实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数弹簧系数 是位移的函数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数平衡状态A为工作点在平衡状态点运用台劳级数展开为第19页，本讲稿共49页具有两个自变量的非线性函数的线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化增量线性方程增量线性方程第20页，本讲稿共49页2-2 2-2 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型复域数学模型复域数学模型 传递函数传递函数传递函数是经典控制理论中最基本和最
9、重要的概念传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念频率法、根轨迹法频率法、根轨迹法一、传递函数的定义与性质一、传递函数的定义与性质定义定义设线性定常系统由设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：阶线性定常微分方程描述：第21页，本讲稿共49页在零初始条件下，由传递函数的定义得在零初始条件下，由传递函数的定义得例1：试求：RLC 串联无源网络的传递函数第22页，本讲稿共49页例2 试求：电枢控制直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究 到 和 到 的传递函数第23页，本讲稿共49页传递函数的性质传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传
10、递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。G(s)第24页，本讲稿共49页二、传递函数的零点与极点二、传递函数的零点与极点（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应 。z1z2第25页，本讲稿共49页称为传递系数或根轨迹系数称为传递系数或根轨迹系数传递函数写成因子连乘积的形式传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数称为传递系数或增益或放大系数第26页，本讲稿共49页传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运自
11、由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。动的模态。三、传递函数极点和零点对输出的影响三、传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态自由运动的模态输入函数输入函数第27页，本讲稿共49页零状态响应零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关函数有关传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如例如第28页，本讲稿共49页输入信号输入信号 ，零状态响应分别为，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重
12、不同，取决于各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。零点相对于极点的距离。例如：例如：z1z2第29页，本讲稿共49页四、典型元部件的传递函数四、典型元部件的传递函数电位器电位器 一种线位移或角位移变换为电压量的装置一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数由一对电位器组构成的由一对电位器组构成的误差检测器误差检测器，空载时的传递函数，空载时的传递函数第30页，本讲稿共49页当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载
13、效应时的电位器输入输出关系时的电位器输入输出关系E第31页，本讲稿共49页测速发电机测速发电机 测量角速度并转换为电压量的装置，测量角速度并转换为电压量的装置，一般有交流和直流两种。一般有交流和直流两种。*永磁式直流测速发电机：永磁式直流测速发电机：TG或不再具有线形关系不再具有线形关系,若若 很大很大,例如例如 则有则有第32页，本讲稿共49页TG交流测速发电机交流测速发电机 在定子上有两个互相垂直放置的线圈在定子上有两个互相垂直放置的线圈激磁线圈：输入频率一定、电压一定输出线圈：产生与角速度成比例的交流电压电枢控制直流伺服电动机：电枢控制直流伺服电动机：第33页，本讲稿共49页无源网络无源
14、网络 用途：在控制系统中引入无源网络作为校用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，用复阻抗方法可直接求出无源网络的传递函数正元件，用复阻抗方法可直接求出无源网络的传递函数第34页，本讲稿共49页 2-3 2-3 控制系统的结构图控制系统的结构图控制系统的结构图：控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成与绘制系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信号线；（2）引
15、出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。第35页，本讲稿共49页电压测量装置方框结构图电压测量装置方框结构图被测电压：指示的测量电压：电压测量误差：系统组成：比较电路、机械调制器、放大器系统组成：比较电路、机械调制器、放大器 两相交流伺服电动机、指针机构两相交流伺服电动机、指针机构比较电路：比较电路：调制器：调制器：放大器：放大器：第36页，本讲稿共49页两相伺服电动机：两相伺服电动机：绳轮传动机构：绳轮传动机构：测量电位器：测量电位器：第37页，本讲稿共49页系统结构图系统结构图第38页，本讲
16、稿共49页无源网络的方框结构图无源网络的方框结构图第39页，本讲稿共49页结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变（1）串联等效）串联等效第40
17、页，本讲稿共49页（2）并联）并联（3）反馈）反馈第41页，本讲稿共49页闭环传递函数：闭环传递函数：前向通道传递函数：前向通道传递函数：输入端对应比较器输出输入端对应比较器输出 E(s)到输到输出端输出出端输出 C(s)所有传递函数的乘积，记为所有传递函数的乘积，记为 G(s)反馈通道传递函数：反馈通道传递函数：输出输出 C(s)到到 输入端比较器的反馈输入端比较器的反馈信号信号 B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)开环传递函数：开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出输出 E(s)到输入端对应的比较器的
18、反馈信号到输入端对应的比较器的反馈信号 B(s)之间之间所有传递函数的乘积，记为所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s)第42页，本讲稿共49页（4）比较点和引出点的移动）比较点和引出点的移动 移动前后保持信号的等效性移动前后保持信号的等效性*结构图等效变换的规则结构图等效变换的规则简化系统结构图，并求系统传递函数简化系统结构图，并求系统传递函数 简化过程：简化过程：（1）G3(s)和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：第43页，本讲稿共49页（2）将G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)组成的
19、内反馈回路简化，计算等效传递函数（3）将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数第44页，本讲稿共49页例例2-15 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。例例2-16 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。第45页，本讲稿共49页MASON增益公式从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第从源点到阱点的第k k条前向通路总增益条前向通路总增益流图特征式所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子第46页，本讲稿共49页闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数输入信号作用下的闭环传递函数输入信号作用下的闭环传递函数第47页，本讲稿共49页扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数输入和扰动共同作用式，系统输出响应为第48页，本讲稿共49页闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 ，则有以 为输出量时的传递函数 误差传递函数若并且第49页，本讲稿共49页