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1、第2章连续系统数值积分法的时域数字仿真第1页，本讲稿共89页3 静态和动态数学模型1)静态模型-表达式是不含时间变量t的代数方程。-平衡状态下各变量间对应关系。-变量不随时间变化。2)动态模型-表达式是含有时间变量t的微分方程。-描述了系统的非平衡状态。-变量随时间而变化。-静态模型包含在动态模型之中。第2页，本讲稿共89页4 线性系统概念1)叠加原理叠加性：在u1(t)作用下，输出y1(t)，u2(t)作用下，输出y2(t)，则在u1(t)+u2(t)作用下，输出为y1(t)+y2(t)。2)线性系统既满足叠加性又满足齐次性的系统。5 非线性系统概念1)不满足叠加原理。2)系统中有一个环节为
2、非线性环节，整个系统既是个非 线性系统。第3页，本讲稿共89页6 建立数学模型的方法1)机理分析法通过对系统内部运动机理的分析，根据系统所遵循的物理或化学规律，在忽略一些次要因素或作出一些近似处理后进而得出系统特性方程，往往表现为微分方程或代数方程的形式，称为机理模型机理模型。2)系统辨识发-假定数学模型的结构。-对实际系统加入某典型信号，得到实际系统的输出 数据。-按照一定的原则，由输入和输出数据来确定模型参 数。第4页，本讲稿共89页例例1 RLC串联电路。列写图示RLC串联电路的微分方程。ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。解：设回路电流为i(t)则由基尔霍夫(Kirchihoff)
3、定律得：消去中间变量i，将(2)代入(1)中，得：式(3)称为线性定常系数二阶微分方程二阶微分方程。第5页，本讲稿共89页将刚才得到的RLC微分方程进行改写。令：T1=L/R，T2=RC则式(3)化简得：若利用u0=q/C则式(3)可变为时间常数时间常数第6页，本讲稿共89页例例2 弹簧-质量-阻尼系统。求图示弹簧-质量-阻尼机械位移系统的微分方程。外作用力F为输入，位移x为输出量。解：设质量m相对于出示平衡状态的位移为x，根据牛顿第二定律，得：整理得：问：方程中为何不出现重力？惯性力惯性力阻尼力阻尼力弹簧阻力弹簧阻力第7页，本讲稿共89页7 相似系统的概念1)电-力系统具有相同的微分方程形式
4、。2)相似量：在微分方程中占据相同位置的物理量。如：L-m;R-f;1/C-k;q-x;ui-f3)意义：利用电路或其它简单系统研究复杂系统。第8页，本讲稿共89页在自动控制理论中，数学模型有多种形式。1)时域中常用的数学模型有：微分方程、差分方程和状态方程。2)复数域中有传递函数、结构图等。3)频域中有频域特性等。2.1.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出相应。这种方法比较直观，借助计算机可快速准确地求得结果。2.1 连续系统的数学模型连续系统的数学模型第9页，本讲
5、稿共89页 连续系统一般是由微分方程来描述，而现行系统又是以线性常微分方程来描述。设系统的输入信号为u(t)，输出信号为y(t)，则线性定常系统由下述n阶线性常微分方程来描述：(2.1.1)(2.1.2)(nm)或：第10页，本讲稿共89页微分方程主要用于表征运动系统的动态特性，所以作为和时间联系最紧密的描述方式，微分方程及其时域解是最基本的描述方式。但应用古典方法解微分方程比较复杂，对于二阶以内系统研究较清楚，但对于高阶系统，没有一般封闭的解或解析解，所以一般采用拉普拉斯变换的方法求解。第11页，本讲稿共89页2.1.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 用拉普拉斯(Lapl
6、ace)变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域用的数学模型传递函数传递函数。1基本思想在零初始条件(y 及 u 的各阶导数的初值为零)下，通过拉普拉斯变换，将微分方程变为S域(复数域)内的代数方程，在S域内研究对象的运动，进行系统的综合。必要时，可通过反拉普拉斯变换变为时域形式。2优点-将微分方程问题转换为代数方程问题。-传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。第12页，本讲稿共89页3定义 传递函数传递函数：零初始条件下，系统或环节输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。则对式(2.1.2)两边取拉普拉斯变换得：(2.1.
7、3)式中：Y(s)=L y(t)，U(s)=L u(t)于是系统的传递函数描述形式为：(2.1.3)第13页，本讲稿共89页传递函数是经典控制理论研究的主要工具微分方程和传递函数是用系统的输入和输出之间的关系来描述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为“外部模型”。微分方程是在时域内研究，传递函数是在 S 域(复域)内研究，二者可以相互转换，但存在很多局限性。当系统具有多个输入和输出，以及系统参数随时间变化(多变量、时变)时，研究起来就比较困难。第14页，本讲稿共89页2.1.3 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 微分方程和传递函数都只描述了系统输入与输出之间的关系，而没有考
8、虑系统内部状态的动态运行，仅仅实现系统输入与输出的关系是不够的，还必须复现模型的内部变量，即状态变量的动态变化规律。系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态状态。确定系统状态的一组独立(数目最小)变量称为状态变量状态变量，用向量x表示，它将复杂系统化为一阶线性方程组，再运用矩阵理论，借助数字计算机获取其解。线性定常系统状态空间表达式的一般形式为：式(2.1.4)是由n个一阶微分方程组成，称为状态方程状态方程；式(2.1.5)是由m个线性代数方程组成，称为输出方程输出方程。(2.1.4)(2.1.5)第15页，本讲稿共89页用用RLC网络说明式网络说明式(2.1.4)、(2.1.5)1状态方
9、程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。如图：通常以uo(t)和i(t)作为系统的状态变量。得：即：(1)第16页，本讲稿共89页 式(1)即为图示RLC系统的状态方程。若将状态变量用一般符号xi表示，即令x1=uo(t)，x2=i(t)，并写成适量矩阵形式，则式(1)变为：则，一般式为：(2)第17页，本讲稿共89页2输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。在图示RLC系统中，指定x1=uo(t)作为输出，输出一般用y表示，则有：y=uo(t)或y=x1写成矩阵形式：则一般形式：(3)第18页，本讲稿共89页3 状态空间表达式状态
10、方程(2)和输出方程(3)总和起来，构成一个系统完成的动态描述，称为系统的状态空间表达式。即：(2.1.4)(2.1.5)第19页，本讲稿共89页A 为 nn 维的系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间的关联情况，由控制对象的参数决定；B 为 nr 维的输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 为 mn 维的输出矩阵，表示输出与每个状态变量之间的关系；D 为 mr 维的前馈矩阵，表示输入对输出的直接传递关系，一般情况D0。对于单输入单输出系统，输入量 u 及输出量 y 均为标量，B 为列向量，C 为行向量，D 为标量。状态空间表达式是在状态空间描述系统的，反映了系统的内部特性，所以称其为“
11、内部模型”。现代控制理论分析和设计系统的主要方法。适用于多变量系统、时变系统、非线性系统的研究。第20页，本讲稿共89页1微分方程与传递函数之间的转换 通过拉普拉斯及反拉普拉斯变换即能实现二者之间的转换。2微分方程化为状态空间表达式 状态空间表达式有两种建立方法：从系统的机理出发建立状态空间表达式和从已知系统的高阶微分方程或传递函数求相应的状态空间表达式。后者也称为“实现问题”。从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方程可以有无穷多种形式，这是由于在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。2.2 模型转化模型转化实现问题实现问题2.2.1模型转
12、换模型转换第21页，本讲稿共89页不含输入量u导数项的微分方程 假定一个连续系统用微分方程描述为：选取 y(t)及其各阶导数为状态变量，即取：(2.2.1)(2.2.2)第22页，本讲稿共89页则可将时(2.2.1)化为一阶微分方程组：(2.2.3)第23页，本讲稿共89页 这个一阶微分方程组就是以状态变量x1,x2,xn表示的系统状态方程，写为矩阵方程形式，即：而系统的输出方程y=x1，写成矩阵形式，即：(2.2.4)(2.2.5)第24页，本讲稿共89页 由式(2.2.4)和(2.2.5)构成的系统状态空间表达式可简写为：包含输入量 u 的导数项的微分方程 若系统微分方程中包含输入量 u
13、的导数项，如式(2.1.1)所示，则为了在状态方程中不出现导数项，可以选取如下的 n 个变量为状态变量。(2.2.6)(2.2.7)第25页，本讲稿共89页式中，0,1,2,n-1是n个待定常数。对xn求导数，并考虑(2.1.2)，有：由(2.2.7)将y(n-1),y,y均以xi及u的各阶导数表示，整理得：令上式中u的各阶导数项的系数均为零，可确定各的值。第26页，本讲稿共89页式中1,2,n 可根据式(2.1.1)的系数求得，即：(2.2.8)根据所选状态变量得出一阶微分方程组(2.2.9)以及输出方程：(2.2.10)第27页，本讲稿共89页写成矩阵方程形式：(2.2.11)(2.2.1
14、2)第28页，本讲稿共89页由式(2.2.11)和(2.2.12)构成的系统状态空间表达式可简写为：(2.2.13)习题：将下列微分方程转换为状态空间表达式形式。例1：给定微分方程形式为：试将其转化为状态空间表达式形式。第29页，本讲稿共89页3传递函数化为状态空间表达式 对于式(2.1.3)描述的系统，引入一个中间变量 x(t)，其拉普拉斯变换为 X(s)，若 x(t)及其各阶导数的初值均为零，可将式(2.1.3)改写为：(2.2.16)(2.2.17)将式(2.2.14)和式(2.2.15)取反拉普拉斯变换，可得：(2.2.14)(2.2.15)令：第30页，本讲稿共89页 比较式(2.2
15、.1)和式(2.2.17)可以看出，两个方程是一样的，故可选状态变量：则可得可控标准型状态空间表达式为第31页，本讲稿共89页 式中 以上方法得出的是可控标准型，应用不同的方法还可以推导出可观标准型、约当标准型等形式，对系统进行分析。第32页，本讲稿共89页由状态方程：将状态变量代入上式：同时对输出方程两边取拉普拉斯变换得：在零初值条件下，两边取拉普拉斯变换：4 状态空间表达式化为传递函数第33页，本讲稿共89页2.2.2 MATLAB应用应用1模型在MATLAB中的表示方法1)传递函数的表示 连续系统：tf(num,den)离散系统：tf(num,den,T)T采样时间 num：传递函数分子
16、系数构成的向量；den：传递函数分母系数构成的向量。num=b1,b2,bm den=a1,a2,an 分子分母向量内容分别是原传递函数的分子分母系数的降幂排列。例：传递函数为 可以对传递函数进行首一化处理，形成首一式，即使a1=1。第34页，本讲稿共89页 对于如有(s+2)(s+3)乘积形式的传函，可以利用多项式 相乘函数处理。格式：c=conv(a,b)其中 a 和 b 分别表示一个多项式，c 为a 和 b 多项式相乘的结果多项式。例1：求c(s)=A(s)B(s)=(s2+2s+1)(s3+8s2-6s+4)A=1,2,1 ;B=1,8,-6,4;c=conv(A,B)例2：求 的传函
17、表示形式 第35页，本讲稿共89页2)状态空间表达式的表示 连续系统：ss(A,B,C,D)离散系统：ss(A,B,C,D,T)A,B,C,D分别为系统状态空间表达式的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵、反馈矩阵。实际上，一组矩阵(A,B,C,D)就能确定一个系统模型。例：已知系统状态空间表达式为：第36页，本讲稿共89页3)零极点模型的表示 格式：zpk(z,p,k)零极点模型对于研究系统稳定性、PID校正等辅助分析和综合方法十分有用。z 表示系统零点向量；p 表示系统极点向量；k 表示系统增益矩阵。零极点模型的一般形式为：相应的增益为 k，零极点向量分别为：第37页，本讲稿共89页2 模型在MA
18、TLAB中的转换1)化传递函数为状态空间表达式 格式：A,B,C,D=tf2ss(num,den)输入参数num和den表示传递函数分子和分母系数构成的向量；输出参数A,B,C,D表示状态矩阵。该函数用可控标准型方法实现转换过程。例：传递函数为将其转换为状态空间表达式第38页，本讲稿共89页2)化状态空间表达式为传递函数 格式：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)输入参数A,B,C,D表示状态矩阵；iu 表示输入代号，对于 SISO系统，iu=1；对于多输入系统，必须对各变量、输入信号逐个求取传函子矩阵，最后再获得整个的传递函数矩阵。求其传递函数形式，再反求状态方程，比较结果，试
19、述原因。例：状态方程模型为：第39页，本讲稿共89页3)化零极点模型为传递函数 格式：num,den=zp2tf(z,p,k)4)化传递函数为零极点模型 格式：z,p,k=tf2zp(num,den)5)化零极点模型为状态空间表达式 格式：A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)6)化状态空间表达式为零极点模型 格式：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)以上A,B,C,D为系统状态矩阵；z,p,k为系统零极点和增益矩阵；num,den为系统传函分子和分母向量。第40页，本讲稿共89页q数值仿真算法的中心问题是如何将用微分方程描述的动力学系统模型转换为能在数字计算机上运算的类型q一个连续系统
20、的时域数学模型的基本形式为微分方程或状态空间表达式，高阶微分方程可转化为一阶方程组，即状态方程n阶连续系统的状态空间表达式的状态方程是由n个一阶微分方程组成的微分方程组，数值积分方法是数字仿真中对微分方程求解的基本算法。q目前常用的数值积分方法有很多种，如：龙格库塔法(C.Runge-M.W.Kutta)。2.3 数值积分法数值积分法第41页，本讲稿共89页任何微分方程的求解都是以积分计算为基础的，随着电子计算机的日益普遍，数值积分方法以成为近似求解的主要方法。假设一个系统的数学模型用状态方程表示为：2.3.12.3.1数值积分的基本概念数值积分的基本概念数值积分的基本概念数值积分的基本概念式
21、中 x 为 n 维状态向量，其初始值(t0=0时)为x0，t 为时间变量。(2.3.1)第42页，本讲稿共89页对式(2.3.1)两边取积分，得：数值积分法的思想就是从初值x0开始，在一系列时刻求解x(t1),x(t2),x(tn)的近似解x1,x2,xn。其中：t1-t0=t2-t1=tn+1-tn=h，h为计算步长。当t=tn+1,t0=tn时，有：令：则有：(2.3.2)若f的各阶导数都存在，则Qn的近似解可由泰勒(Taylor)公式展开得到，如t=t1时：(2.3.3)即为即为Q0第43页，本讲稿共89页数值积分法示意图 为精确计算x(t1)，除需计算x(t)对t的各阶导数之外，还要计
22、算无穷项之和，显然这十分困难。但在h很小的情况下，可以只式(2.3.3)的前两项、三项或四项之和作近似计算，从而得到x(t1)的计算值，再把x(t1)当做初值计算x(t2)，依次类推，就可逐步计算出x(t)的数值解x1,x2,xn。实质上是用收敛的无穷级数的前几项代替了无穷级数，这等于抛弃了无穷级数的后段，所造成的误差叫截断误差截断误差。第44页，本讲稿共89页此外，由于受到机器字长的限制，用机器代码表示的数据必须舍掉一定的位数，所以对于计算位数很多，甚至是无穷小的数据，将引入舍入误差舍入误差。少量运算的舍入误差一般是微不足道的，但在计算机上完成千百次运算之后，舍入误差的积累将是十分惊人的。因
23、此在将来选择数值算法的时候，这两种误差是必须要考虑的。这两种误差中，截断误差是方法误差，舍入误差是工具误差。第45页，本讲稿共89页欧拉法是古典数值积分计算中最基本的方法。欧拉法只取式(2.3.3)的前两项之和来近似计算x(t1)。若初始条件为t=t0,x(t0)=x0，则计算t=t0+h时的x(t1)=x1，欧拉法的计算公式为：即：一般的：(2.3.4)一般的：2.3.2 2.3.2 欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法(Euler)(Euler)式(2.3.4)是一个递推差分公式，只要给出初值x0，就可依据f(t0,x0)和h计算出x1，再以x1计算出x2，依次递推计算出x3,x4,xn，完成数值积分
24、过程。第46页，本讲稿共89页欧拉法的几何意义如上图所示。其实质是：在计算式(2.3.2)中的Qn-1式，将f(t,x)看做常数f(tn-1,xn-1)，从而用矩形的面积代替曲面面积Qn-1(产生面积误差)。即：由式(2.3.2)得：即：(2.3.4)第47页，本讲稿共89页欧拉法的计算公式是根据泰勒级数展开式截断 以上的高阶项得到的，通常把截断项：称为截断误差。用截断误差可以表示数值计算方法的精度，截断误差为 时，称方法为 r 阶的。对于欧拉法，r=1，故欧拉法是1阶精度的。特点：1)运算速度快，计算精度低；2)截断误差正比于 ，适用于精度要求低的场合。为提高精度就要减小 h，这样不但运算量
25、大，计算中的舍入误差也会加大。第48页，本讲稿共89页第49页，本讲稿共89页取式(2.3.3)泰勒级数中的前三项之和来近似计算，得：2.3.3 2.3.3 梯形法梯形法梯形法梯形法(二阶龙格库塔法二阶龙格库塔法二阶龙格库塔法二阶龙格库塔法)改写为：(2.3.5)设(2.3.1)的解可以写成如下形式：(2.3.6)第50页，本讲稿共89页将k2用二元函数泰勒级数展开式展开，取前三项，得：将k1，k2代入(2.3.6)，得：(2.3.7)比较式(2.3.5)与(2.3.7)，得：第51页，本讲稿共89页显然，上式有非唯一解，假设a1=a2，则得到：a1=a2=1/2，b1=b2=1，代入(2.3
26、.6)，得：一般的：(2.3.8)(2.3.8)即为二阶龙格-库塔法(RK2)计算公式。预报公式预报公式校正公式校正公式第52页，本讲稿共89页分析：梯形法(RK2)的几何意义如图所示。其实质是：RK2是用梯形的面积代替定积分Qn-1(见式)。即：式中，fn-1=f(tn-1,xn-1)，fn=f(tn,xn)。因此有：(2.3.9)从(2.3.9)中可以看出，在进行数值积分过程中，存在一个问题：计算xn时，先要用xn去计算(2.3.9)右端的fn，而此时xn还未求出，显然无法继续计算。一般，先采用欧拉公式预报一个xn。代入(2.3.9)中进行校正，求出xn即：(2.3.10)一般称(2.3.
27、10)为预报-校正公式。显然，梯形法比欧拉法精度要高。第53页，本讲稿共89页一般在精度较高的情况下，多使用四阶龙格-库塔法(RK4)。即(2.3.3)取前5项，得：2.3.4 2.3.4 四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法(RungeKutta)(RungeKutta)式中：第54页，本讲稿共89页1 从数值计算的观点来看，如图所示，步长越小，截断误差越小；但导致 计算次数增多，从而舍入误差增加，因此要兼顾两方面，选取合理步长。2 从控制理论的观点看，步长的选择 与控制系统的频带及构成仿真系统 的环节数的多少等因素有关。2.3.52.3.5 计算步长的选择计算步长的选择
28、计算步长的选择计算步长的选择通常根据被仿真系统的响应速度，由经验确定。对于离散环节系统，计算步长可取：式中c为被仿真系统开环频率特性的剪切频率(实际选取中，还要考虑环节数，环节数太多时，要注意h的选取对系统稳定性的影响)。第55页，本讲稿共89页3 精确仿真时，可以采用变步长的计算方法。如：MATLAB中进行微分求解的四阶龙格库塔法函数，即在计算过程中根据所要求的精度对步长作适当的改变。具体步骤如下：按系统过渡过程情况将其分成几段，每段预定一个步长 当过渡过程进入该段时，先作步长的计算，即用hi做一次计算，然后再用hi/2做一次计算，求二者之差的绝对值。如果它小于某一段预定的值，则认为hi步长
29、符合精度要求，即可用次步长继续。否则，认为hi步长过大，继续用hi/4做一次计算，并与hi的计算结果作比较，以次类推。第56页，本讲稿共89页4 工程设计中，一般采用定步长的计算方法。如：对于线性系统，用四阶龙格库塔法计算，由经验第57页，本讲稿共89页1 一阶微分方程组一阶微分方程组2.4 一阶微分方程组的数字仿真程序一阶微分方程组的数字仿真程序定义x1,x2,xn是n个状态变量；x10,x20,xn0是n状态变量的初值。第58页，本讲稿共89页2 MATLAB数值算法函数数值算法函数MATLAB提供了两个常微分求解函数：ode23()：采用二阶/三阶龙格库塔法；ode45()：采用四阶/五
30、阶龙格库塔法；它们采用自动变步长的求解方法。即当求解变慢时，采用较大的计算步长，使计算速度变快；相反当方程的求解变化较快时，积分步长会自动变小，使计算精度提高，这种能自动变步长的方法称为自自适应变步长方法适应变步长方法。格式：T,X =ode23(系统函数名,Tspan,X0,Options)T,X =ode45(系统函数名,Tspan,X0,Options)第59页，本讲稿共89页说明：说明：1)输入参数中的系统函数名是一个字符串，表示微分方程的形式，函数的编写格式是固定的，不按格式写，会得到错误的结果。格式：function xdot=函数名函数名(t,x)其中t为时间变量，x为状态变量，
31、xdot为状态变量导数。2)Tspan=T0，Tfinal 表示积分区间，T0为仿真起始时间，Tfinal为仿真终止时间。3)X0为系统状态变量的初值。函数表示在初始条件X0下，从T0到Tfinal对微分方程dx/dt=f(t,x)进行积分。函数f(t,x)必须返回一个列向量列向量。两个输出参数是列向量t与矩阵x，其中向量t包含估计响应的积分点，而矩阵x的行数与向量t的长度相等。t向量中的积分点不是等间距的，因为为了保持所需的相对精度，积分算法改变了步长。第60页，本讲稿共89页4)Options为可选项，为积分参数，可由函数odeset来设置，Options最常用的是相对误差RelTol(默
32、认是1e-3)和绝对误差AbsTol(默认是1e-6)。格式：Options=odeset(RelTol,1e-3,AbsTol,1e-6)5)仿真结果可用函数plot(t,x)绘制出响应曲线来。6)用此方法要求已知系统的状态方程。第61页，本讲稿共89页要求解该方程组，首先要建立一个函数文件VDP.M。函数的参数是时间 t 和一个二维向量，返回值是一个列向量列向量，代表的是导数的值。最后用二维曲线表示输出响应曲线。解：首先对于上述微分方程，通过重新定义两个新的状态变量来实现从高阶微分方程到一阶微分方程组的转换。例1：描述振荡器的经典范德波方程。第62页，本讲稿共89页例2：已知系统模型为：出
33、示状态为0，=1，=0.07；输入为单位阶跃，u=1，试绘制响应曲线。解：(1)先求出状态方程：(2)写系统函数，保存为.m文件；(3)设置参数，并用ode45进行仿真；(4)绘制输出曲线：plot(t,x(:,1)；第63页，本讲稿共89页 注意：注意：注意：注意：由于龙格库塔法的推导是在泰勒级数展开式的基础上，因而它要求所求的解具有较好的光滑性，假如解的光滑性较差，其精度可能反而不如改进的欧拉法公式，所以在实际计算中，应当针对问题的具体特点，选择合适的算法。第64页，本讲稿共89页2.5 状态空间表达式的数字仿真状态空间表达式的数字仿真一个连续系统可由高阶微分方程、传递函数或状态空间表达式
34、来表示，高阶微分方程和传递函数可以转换为状态空间表达式，即状态方程和输出方程。数值积分法是求解一阶微分方程的数值算法，而状态方程又是由n个一阶微分方程组成的方程组，因此，用数值积分法求解状态方程就可以实现对一个连续系统的数字仿真。因为四阶龙格库塔法计算精度比较高，现以它为例说明状态方程的数值算法。第65页，本讲稿共89页第66页，本讲稿共89页第67页，本讲稿共89页第68页，本讲稿共89页第69页，本讲稿共89页2.6 结构图法数字仿真结构图法数字仿真控制系统中常常是由许多环节构成的，应用前面所学内容，一般首先是用高阶微分方程或传递函数写出系统状态空间表达式，根据状态方程求取系统的动态响应，
35、非常繁琐，尤其是当改变某一环节参数时，状态方程的系统矩阵A,B,C,D都要重新计算，很不方便，这对于研究对象参数变化对整个控制系统的影响是十分不利的。并且对于系统中有非线性环节时，上述方法就很难甚至无法处理。为克服上述缺点，可以直接利用结构图建立仿真模型的方法，这就是面向结构图的数字仿真方法。第70页，本讲稿共89页设计思想：该方法是将系统看成由许多环节构成，仿真时先将各典型环节的参数及各环节之间的连接方式送入计算机，由计算机软件求得闭环系统的状态方程，并求解系统的响应。特点：1 系统中每个环节的参数是单独送入计算机的，改变某一环节的参数，只影响仿真模型的一小部分，所以更为灵活、方便。2 该方
36、法分别计算每个环节的输入量、输出量，便于引入非线性特性，进行非线性系统分析。第71页，本讲稿共89页由控制理论基础知识可知，一个控制系统通常是由一些不同环节构成，它们是一些常见典型环节：2.6.1 典型环节和传递矩阵典型环节和传递矩阵第72页，本讲稿共89页 当A,B,C,D赋予不同值时，它可以代表任何一种环节，就是振荡环节在1时，也可以用一个惯性环节和一个积分环节串联再加上一个负反馈得到。如：系统积分环节的参数就可表示为：A=0,B=T,C=K,D=0。这样，一个控制系统就完全可以看成是由 n 个典型环节所组成，其中，第 i 个环节的传递函数可写为：从以上环节看出，均可用一个典型的环节形式来
37、表示，即：第73页，本讲稿共89页第74页，本讲稿共89页 式(4)描述了系统各环节输出和输入的关系，写成矩阵方程的形式为：或写成矩阵形式传递函数为：第75页，本讲稿共89页A,B,C,D都是nn的对角矩阵，U(s)和Y(s)分别为输入和输出向量，式(6)称为控制系统的传递矩阵传递矩阵。第76页，本讲稿共89页 式(5)仅表示了各环节输入与输出之间的关系，但是各环节之间的连接关系如何表示。一个环节的输入可能由几个环节的输出构成，这就要根据具体情况找出系统各环节之间的连接关系，即环节的输入量是由哪些环节的输出量组合而成的。以下图系统为例：2.6.2 连接矩阵连接矩阵第77页，本讲稿共89页第78
38、页，本讲稿共89页第79页，本讲稿共89页有了传递矩阵和连接矩阵后，就可以描述系统的运动状态，将式(9)代入式(5)得：2.6.3 控制系统的状态方程控制系统的状态方程第80页，本讲稿共89页第81页，本讲稿共89页第82页，本讲稿共89页第83页，本讲稿共89页例：已知某电液伺服系统的简化结构框图，现要求出系统在阶跃输入信号作用下的动态响应Y(t)。2.6.4 应用实例应用实例 第84页，本讲稿共89页 首先需转化为典型环节连接形式，如图中二阶振荡环节可用一个积分环节和一个惯性环节串联并通过单反馈形成的小闭环代替。惯性环节极点 ，分子上的比例系数 由此上图可转换成下图形式：第85页，本讲稿共89页第86页，本讲稿共89页第87页，本讲稿共89页第88页，本讲稿共89页本章所要掌握的是控制系统常用的数学模型，掌握连续、离散状态下常用数学模型的表示方法及其它们之间的转换。掌握数值积分算法(Euler，改进Euler和Runge-Kutta)的原理，认识不同数值积分算法的特点，通过仿真加以验证。加深理解步长对数值积分稳定性、精度、速度的影响。掌握利用数字积分算法求解状态空间表达式的原理，理解如何使用四阶R-K法进行仿真。掌握面向结构图的数字仿真算法、原理，学习如何将结构图直接变换成状态空间方程，并能根据该方法编写程序，进行仿真。本章总结本章总结第89页，本讲稿共89页