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1、28.2 解直角三角形 达标训练一、基础巩固达标1.如图28.221，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为( )A.a B.2a C. D. 图28.221 图28.222 (第3题)2.如图28.222，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=13，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是( )A.米 B.米 C.米 D.6米3.AE、CF是锐角ABC的两条高，如果AECF=32，则sinAsinC等于( )A.32 B.23 C.94 D.494.如图28.223，等腰三角形ABC的顶角为120，腰长为10，则底边上
2、的高AD=_. 图28.223 图28.2245.如图28.224是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角COD=_度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.225，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数) 图28.225二、综合应用达标7.如图28.226，天空中有一个静止的广告气球C，从地
3、面A点测得C点的仰角为45，从地面B点测得C点的仰角为60.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数). 图28.2268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.227所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60方向，C点在B点北偏东45方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米) 图28.2279.如图28.228，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=21
4、，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域). 图28.228三、回顾展望达标10.如图28.229，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角=30，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为( )A.1 200米 B.2 400米 C.米 D.米 图28.229 图28.230 图28.23111.一人乘雪橇沿坡比1的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t2t
5、2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 m B.36 m C.36 m D. m12.如图28.231，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30，在比例尺为150 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米 B.1 982米 C.3 000米 D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.232所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A为9，计算从斜坡的起点A到台阶前
6、点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin90.16，cos90.99，tan90.16). 图28.23214.如图28.233，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险? 图28.23315.如图28.234，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45，从A沿倾斜角为30的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60，求山高CD. 图28.23416.如图28.235所示，A、B为两个村庄，AB、BC、
7、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：EDAB;方案二：ECBA.经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，BDC=45，ABD=15.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由. 图28.23517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.236，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处
8、有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 图28.236参考答案一、基础巩固达标1.如图28.221，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为( )图28.221A.a B.2a C. D.思
9、路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.222，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=13，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是( )图28.222A.米 B.米 C.米 D.6米思路解析：坡度的定义，所以BCACAB=13.答案：B3.AE、CF是锐角ABC的两条高，如果AECF=32，则sinAsinC等于( )A.32 B.23 C.94 D.49思路解析：画出图形，在RtAFC中，sinA=；在RtAEC中，sinC=.所以sinAsinC=CFAE=23.答案：B4.如图28.223，等腰三角形ABC的顶角为120，腰长为10，则底边上的高AD=_.图28.223思路解析：等
10、腰三角形顶角平分线垂直平分底边，RtADC中，AC=10，DAC=60.答案：55.如图28.224是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角COD=_度(不考虑青蛙的身高).图28.224思路解析：在RtOBC中，OB=OC，可以得到BOC=45，所以COD=2BOC=90.答案：906.如图28.225，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，
11、请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.225思路解析：在RtABC中，A=90,BCA=60，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.解：如图，在RtABC中，AC=BD=3米，tanBCA=，所以AB=ACtanBCA=3tan60=35.2 (米).答：树的高度AB约为5.2米.二、综合应用达标7.如图28.226，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45，从地面B点测得C点的仰角为60.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.226思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，
12、利用直角三角形求解.解：作CDAB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.在RtACD中，CAD=45，所以AD=CD=x.在RtCBD中，CBD=60，所以tan60=，BD=.因为AB=ADBD，所以20=x.解得x47.3(米).答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.227所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60方向，C点在B点北偏东45方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.227思路解析：作高构造
13、直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B作BEAD，BFCD，垂足分别为E、F.由题意，知ADCD.因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.在RtABE中，AE=ABcosEAB，在RtBCF中，BF=BCcosFBC，所以AD=AE+BF=20cos60+40cos45=20+40=10+，即AD10+201.414=38.28(米).9.如图28.228，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=21，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人
14、行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.228思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若ABBE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30仰角这个条件，可以在点处作CHAB，在RtAHC中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CHAB，垂足为H.在RtCDF中，I=，所以DF= CF=2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在RtAHC中，tanACH=，所以AH=HCtanACH=15tan30=158.7(米).因此AB=AH+HB=
15、AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BDDE=142=12(米)，10.712,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾展望达标10.如图28.229，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角=30，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为( )图28.229A.1 200米 B.2 400米 C.米 D.米思路解析：ABC=，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.230A.72 m B.3
16、6 m C.36 m D. m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.231，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30，在比例尺为150 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )图28.231A.1 732米 B.1 982米 C.3 000米 D.3 250米思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，
17、在RtPOM中，O=90，M=30，OM=6500=3 000(米)，因为tanM=，所以OP=OMtan30=3 0001 732(米).答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.232所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A为9，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin90.16，cos90.99，tan90.16).图28.232思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C作CFAB交AB的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m，BF=0.9 m.
18、在RtCAF中，tanA=，AF=5(m).AB=AFBF=50.9=4.1(m).答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1 m.14.如图28.233，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.233思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P作PCAB于C点，据题意知: AB=9=3.PCB=90，PBC=9045=45,PC
19、=BC.在RtPAC中，PAB=9060=30，tan30=,即.客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.234，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45，从A沿倾斜角为30的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60，求山高CD.图28.234思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑DBE=60，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.BAC=30，AB=1 500米,BF=EC=750米，AF=米.设FC=x米,DBE=60,DE=米.又DAC=45,AC=CD,即+x=750+米.得x=750
20、.CD=(750+)米.答：山高CD为(750+)米.16.如图28.235所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.235方案一：EDAB;方案二：ECBA.经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，BDC=45，ABD=15.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题
21、抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作ADBC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A作ADBC，垂足为D.在RtABD中，AB=220，B=30.所以AD=110(千米).由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从
22、E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.在RtADE中，由勾股定理，得.所以EF= (千米).因为该台风中心以15千米时的速度移动.所以这次台风影响该城市的持续时间为 (小时).(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为(级).17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.236，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到
23、或超过四级，则称为受台风影响.图28.236(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在ABD中，过点B作AD边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30的特殊直角三角形.同理，CD的长也可以在BCD中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，AD需铺设水下电缆.解：(1)过点B作BFAD，交DA的延长线于F(如图)，在RtABF中，AB=,BAF=60，所以BF=ABsin60=6(千米)，AF=ABcos60=(千米).在RtBDF中，DF=BF=6(千米)，所以BD=(千米).因此，河宽AD=DFAF=6(千米).(2)作BHCD于点H.在RtBDH中，BH=HD=6千米，在RtCBH中， (千米).因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：82+(6)4+2=40(万元)；方案二需要的费用：621022=2235.9(万元).