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1、第三节线性回归的显著性检验及回归预测第1页，本讲稿共24页一、回归系数的显著性检验一、回归系数的显著性检验 回归系数显著性检验的目的是通过检验回回归系数显著性检验的目的是通过检验回归系数归系数 的值与的值与0 0是否有显著性差异，来判断是否有显著性差异，来判断Y Y与与X X之间是否有显著的线性关系之间是否有显著的线性关系.若若=0,=0,则总体则总体回归方程中不含回归方程中不含X X项项(即即Y Y不随不随X X变动而变动变动而变动),),因因此此,变量变量Y Y与与X X之间并不存在线性关系之间并不存在线性关系;若若 0,0,说说明变量明变量Y Y与与X X之间存在显著的线性关系之间存在显
2、著的线性关系.提出原假设与备择假设：提出原假设与备择假设：第2页，本讲稿共24页3 构造检验统计量构造检验统计量根据已知条件实际计算统计量根据已知条件实际计算统计量t t的值；的值；比较比较与与中的计算结果中的计算结果,得到结论得到结论.给定显著性水平给定显著性水平,这是这是t t分布的双侧检验分布的双侧检验,查表查表计算出临界值计算出临界值 ,得出拒绝域得出拒绝域;第3页，本讲稿共24页回归系数的检验回归系数的检验 (例题分析例题分析)对例题的回归系数进行显著性检验对例题的回归系数进行显著性检验(0.05)0.05)1.1.提出假设提出假设2.2.计算检验的统计量计算检验的统计量第4页，本讲
3、稿共24页5二二.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验(方差分析方差分析(F(F检验检验)检验两变量是否线性相关的另一种方法是方差分检验两变量是否线性相关的另一种方法是方差分析析,它是建立在对总离差平方和如下分解的基础上：它是建立在对总离差平方和如下分解的基础上：第5页，本讲稿共24页 提出原假设与备择假设：提出原假设与备择假设：构造检验统计量构造检验统计量第6页，本讲稿共24页7给定显著性水平给定显著性水平,查表计算出临界值查表计算出临界值 ,得得出拒绝域出拒绝域根据已知条件实际计算统计量根据已知条件实际计算统计量F F的值；的值；比较比较与与中的计算结果中的计算结果,得到结论得到结论.
4、第7页，本讲稿共24页8方差分析方差分析把总离差平方和及其自由度进行分解把总离差平方和及其自由度进行分解,利利用用F F统计量检验两变量间线性相关显著性的方法称统计量检验两变量间线性相关显著性的方法称为方差分析为方差分析.方差分析的结果归纳如下：方差分析的结果归纳如下：离差来源离差来源平方和平方和自由度自由度F F值值回回 归归剩剩 余余1 1n-2n-2 总计总计n-1n-1第8页，本讲稿共24页线性关系的检验线性关系的检验(例题分析例题分析)1.1.提出假设提出假设2.2.计算检验统计量计算检验统计量F F第9页，本讲稿共24页103.3.确定显著性水平确定显著性水平=0.05=0.05，
5、并根据分子自由度，并根据分子自由度1 1和分母自由度和分母自由度1414找出临界值找出临界值F F =4.60=4.604.4.作出决策：若作出决策：若F F F F ,拒绝拒绝H H0 0，认为能源消耗，认为能源消耗量与工业总产值两变量间的线性相关关系是显量与工业总产值两变量间的线性相关关系是显著的著的.离差来源离差来源平方和平方和自由度自由度F F值值回回 归归剩剩 余余1 11414 总计总计1515第10页，本讲稿共24页三、利用回归方程进行估计和预测三、利用回归方程进行估计和预测点估计点估计1.1.对对于于自自变变量量x x的的一一个个给给定定值值x x0 0,根根据据回回归归方方程
6、程得到因变量得到因变量 y y 的一个估计值的一个估计值2.2.点估计值有点估计值有 y y 的的平均值平均值的点估计的点估计ny y 的的个别值个别值的点估计的点估计3.3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同同第11页，本讲稿共24页 y y 的平均值的点估计的平均值的点估计 利利用用估估计计的的回回归归方方程程,对对于于自自变变量量x x 的的一一 个个给给定定值值x x0,0,求求出出因因变变量量y y的的平平均均值值的的一一个个估估计值计值E E(y y0 0),),
7、就是平均值的点估计就是平均值的点估计在在能能源源消消耗耗量量与与工工业业总总产产值值的的例例子子中中，假假如如我我们们要要估估计计能能源源消消耗耗量量为为7878十十万万吨吨的的平平均均工工业业总总产产值值，那那么么将将7878十十万万吨吨代代入入估估计计的的回回归方程，就得到了工业总产值的点估计：归方程，就得到了工业总产值的点估计：第12页，本讲稿共24页y y 的个别值的点估计的个别值的点估计利利用用估估计计的的回回归归方方程程,对对于于自自变变量量x x的的一一个个给给定定值值x x0 0,求求出出因因变变量量y y的的一一个个个个别别值值的的估估计值计值 ,就是个别值的点估计就是个别值
8、的点估计.例例如如，如如果果我我们们只只是是想想知知道道能能源源消消耗耗量量为为8080万万吨吨的的工工业业总总产产值值是是多多少少，则则属属于于个个别别值值的的点点估计估计 。根据估计的回归方程得。根据估计的回归方程得第13页，本讲稿共24页区间估计区间估计第14页，本讲稿共24页区间估计区间估计1.1.点点估估计计不不能能给给出出估估计计的的精精度度，点点估估计计值值与与实实际际值值之之间间是是有有误误差差的的，因因此此需需要要进进行行区区间估计间估计2.2.对对于于自自变变量量 x x 的的一一个个给给定定值值 x x0 0，根根据据回回归归方程得到因变量方程得到因变量 y y 的一个估
9、计区间的一个估计区间3.3.区间估计有两种类型区间估计有两种类型置信区间估计置信区间估计(confidence interval estimate)(confidence interval estimate)预测区间估计预测区间估计(prediction(prediction interval estimate)第15页，本讲稿共24页置信区间估计置信区间估计1.1.利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x x 的一的一个给定值个给定值 x x0 0 ，求出因变量，求出因变量 y y 的平均值的的平均值的估计区间估计区间 ，这一估计区间称为，这一估计区间称为置信区间置信
10、区间(confidence interval)(confidence interval)E E(y y0 0)在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为式中：式中：s se e为回归估计标准差为回归估计标准差第16页，本讲稿共24页置信区间估计置信区间估计(例题分析例题分析)【例例】求求出出工工业业总总产产值值的的点点估估计计为为100100亿亿元元时时，工业总产值工业总产值95%95%置信水平下的置信区间置信水平下的置信区间.解：解：根据前面的计算结果根据前面的计算结果,已知已知n n=16=16，s se e=2.457=2.457，t t (16-2)=2.1448(16-
11、2)=2.1448 置信区间为置信区间为当当工工业业总总产产值值的的点点估估计计为为100100亿亿元元时时，工工业业总总产产值值的的平平均值在均值在97.916797.9167亿元到亿元到102.0833102.0833亿元之间亿元之间 .第17页，本讲稿共24页预测区间估计预测区间估计1.1.利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x x 的一的一个给定值个给定值 x x0 0 ，求出因变量，求出因变量 y y 的一个个别的一个个别值的估计区间，这一区间称为值的估计区间，这一区间称为预测区间预测区间(prediction interval)(prediction in
12、terval)y y0 0在在1-1-置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为注意！注意！第18页，本讲稿共24页置信区间、预测区间、回归方程yx预测上限置信上限预测下限置信下限第19页，本讲稿共24页影响区间宽度的因素1.1.置信水平置信水平(1-(1-)区间宽度随置信水平的增大而增大区间宽度随置信水平的增大而增大2.2.数据的离散程度数据的离散程度S Se e 区间宽度随离程度的增大而增大区间宽度随离程度的增大而增大3.3.样本容量样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小区间宽度随样本容量的增大而减小4.4.用于预测的用于预测的 x x0 0与与 x x的差异程度的差异程度区区间间宽宽度
13、度随随x x0 0与与 x x 的的差差异异程程度度的的增增大大而而增增大大第20页，本讲稿共24页预测区间估计预测区间估计(例题分析例题分析)【例例】求求出出能能源源消消耗耗量量为为7373十十万万吨吨时时,工工业业总总产产值值 95%95%置信水平下的置信区间置信水平下的置信区间 解解：根根据据前前面面的的计计算算结结果果,已已知知 n n=16=16，s se e=2.4572.457，t t (14)=2.1448(14)=2.1448 置信区间为置信区间为能能源源消消耗耗量量为为7373十十万万吨吨时时，其其工工业业总总产产值值的的预预测区间在测区间在45.934545.9345亿元与亿元与57.267757.2677亿元之间亿元之间.第21页，本讲稿共24页预测区间估计预测区间估计(大样本大样本)1.1.y y0 0在在1-1-置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为第22页，本讲稿共24页23置信上限置信下限置信下限第23页，本讲稿共24页24作业：作业：P223P2231 1、4 4、6 6、7 7第24页，本讲稿共24页