二面角的平面角求法综合精.ppt

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1、二面角的平面角求法综合二面角的平面角求法综合第1页，本讲稿共38页二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.OO复习：复习：第2页，本讲稿共38页(1)(1)定义法定义法直接在二面角的棱上取一点直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角得到平面角.二面角的求法二面角的求法第3页，本讲稿共38页(2)(2)三

2、垂线法三垂线法利用三垂线定理或逆利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小求角的大小.第4页，本讲稿共38页(3)(3)垂面法垂面法通过做二面角的棱的垂面，通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角两条交线所成的角即为平面角.第5页，本讲稿共38页ABDO(4)4)射影面积法射影面积法若多边形的面积是若多边形的面积是S，它在，它在一个平面上的射影图形面积是一个平面上的射影图形面积是S，则二面角，则二面角 的的大小为大小为COS S SCE第6页，本讲稿共38页2 2、两个平面的法向量的夹、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二角与这

3、两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关面角的平面角有怎样的关系？系？探究准备：探究准备：答：相等或互补相等或互补 mm互补互补互补互补 相等相等相等相等mm第7页，本讲稿共38页1、如如图图，ABAB是是圆圆的的直直径径，PAPA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-AP-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练 习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？p p

4、 A AB BOOA AB BC CP P60二面角第8页，本讲稿共38页例例例例1.1.如如如如图图图图，已已已已知知知知P P是是是是二二二二面面面面角角角角-ABAB-棱棱棱棱上上上上一一一一点点点点，过过过过P P分分分分别别别别在在在在、内内内内引引引引射射射射线线线线PMPM、PNPN，且且且且MPN=60MPN=60 BPM=BPM=BPN=45BPN=45 ，求求求求此二面角的度数。此二面角的度数。此二面角的度数。此二面角的度数。A AB BP PMMN NC CD DOO解解：在在PBPB上取不同于上取不同于P P 的一点的一点OO，在在 内过内过OO作作OCOC ABAB交

5、交PMPM于于C C，在在 内作内作ODOD ABAB交交PNPN于于D D，连连CDCD，可得，可得CODCOD是二面角是二面角-ABAB-的平面角的平面角设设PO=aPO=a ，BPM=BPM=BPN=45BPN=45CO=aCO=a，DO=aDO=a，PC a PC a，PD aPD a又又MPN=60MPN=60 CD=PC aCD=PC aCOD=90COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为9090a aOOP PC C二面角第9页，本讲稿共38页例例例例2 2 如如如如 图图图图 P P为为为为二二二二面面面面角角角角 内内内内一

6、一一一点点点点，PAPA ,PB,PB ,且且且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。过过过过PAPA、PBPB的平面的平面的平面的平面PABPAB与与与与 棱棱棱棱 交于交于交于交于OO点点点点PAPA PAPA PBPB PBPB 平面平面PABPABAOBAOB为二面角为二面角 的平面角的平面角又又PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7由余弦定理得由余弦定理得由余弦定理得由余弦定理得P=60 P=60 AOB=120AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为这二面角的度数为

7、这二面角的度数为120120解：解：A AB BP P OO二面角第10页，本讲稿共38页OOA AB BP PC C取取取取AB AB 的中点为的中点为的中点为的中点为E E，连连连连PEPE，OEOEOO为为为为 AC AC 中点中点中点中点，ABC=90ABC=90 OEOE BCBC且且且且 OE BCOE BC在在RtRtPOEPOE中，中，OE OE ，PO PO 所求的二面角所求的二面角所求的二面角所求的二面角P-AB-C P-AB-C 的正切值为的正切值为的正切值为的正切值为例例例例3 3如如如如图图图图，三三三三棱棱棱棱锥锥锥锥P-ABCP-ABC的的的的顶顶顶顶点点点点P

8、P在在在在底底底底面面面面ABCABC上上上上的的的的射射射射影影影影是是是是底底底底面面面面RtRtABCABC斜斜斜斜边边边边ACAC的的的的中中中中点点点点OO，若若若若PB=AB=1PB=AB=1，BC=BC=，求求求求二二二二面面面面角角角角P-P-AB-CAB-C的正切值的正切值的正切值的正切值。PEOPEO为二面角为二面角为二面角为二面角P-AB-C P-AB-C 的平面角的平面角的平面角的平面角在在在在RtRtPBEPBE中中中中，BE BE ，PB=PB=1 1，PEPEOEOE AB AB，因此因此因此因此 PEPE ABABE E解：解：E EOOP P二面角第11页，本

9、讲稿共38页练练练练习习习习1 1：已已已已知知知知RtRtABCABC在在在在平平平平面面面面 内内内内，斜斜斜斜边边边边ABAB在在在在3030的的的的二二二二面面面面角角角角-AB-AB-的的的的棱棱棱棱上上上上，若若若若AC=5AC=5，BC=12BC=12，求求求求点点点点C C到到到到平平平平面面面面 的距离的距离的距离的距离COCO。A AC CB BOOD D练练练练 习习习习 2 2：在在在在 平平平平 面面面面 四四四四 边边边边 形形形形 ABCDABCD中中中中，AB=BC=2AB=BC=2，AD=CD=AD=CD=,B=120B=120；将将将将三三三三角角角角形形形

10、形ABCABC沿沿沿沿四四四四边边边边形形形形ABCDABCD的的的的对对对对角角角角线线线线ACAC折折折折起起起起来来来来，使使使使DBDB=，求求求求AB AB C C所所所所在平面与在平面与在平面与在平面与ADCADC所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。A AB BC CBBD DOO二面角第12页，本讲稿共38页探究一：试一试试一试：例例1 1、如图：在三棱锥、如图：在三棱锥S-ABCS-ABC中，中，SASA平面平面ABCABC，ABBC,DEABBC,DE垂直平分垂直平分SC,SC

11、,分别交分别交ACAC、SCSC于于D D、E E，且，且SA=AB=a,BC=SA=AB=a,BC=a.a.求：平面求：平面BDEBDE和平面和平面BDCBDC所成的二面所成的二面角的大小。角的大小。S SA AE EC CB BD D第13页，本讲稿共38页分析分析分析分析：1 1、根据已知条件提供的数量关系通过、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；计算证明有关线线垂直；2 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解解：如图：如图：SA SA 平面平面ABC,ABC,SASA ABAB，SASA ACAC，SA SA BD;BD;于

12、是于是SB=aSB=a又又BC=a BC=a，SB=BC;SB=BC;E E为为SCSC的中点，的中点，BEBE SCSC 又又DEDE SC SC 故故SCSC 平面平面BDEBDE可得可得BDBD SC SC 又又BDBD SA SA BDBD 平面平面SACSAC CDECDE为平面为平面BDEBDE和平面和平面BDCBDC所成所成 二面角的平二面角的平面角。面角。ABAB BCBC，AC=AC=a =a 在直角三角形在直角三角形SACSAC中，中，tantan SCA=SCA=SCA=30 SCA=300 0 ，CDE=90CDE=900 0-SCA=60SCA=600 0 解毕。解毕

13、。议一议：议一议：刚才的证明过程刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面中，是用什么方法找到二面角的平面角的？角的平面角的？请各小组讨论交流一下。请各小组讨论交流一下。S SE EC CA AB BD D第14页，本讲稿共38页探究二：试一试试一试例二例二：如图：直四棱柱：如图：直四棱柱ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,底面底面ABCDABCD是菱形，是菱形，AD=AAAD=AA1 1，DAB=60DAB=600 0,F,F为棱为棱AAAA1 1的中点。的中点。求：平面求：平面BFDBFD1 1与平面与平面ABCDABCD所成所成的二面角的大小。的二面角的大小

14、。A A1 1D D1 1C C1 1B B1 1A AD DC CB BF F要求要求要求要求：1 1、各人思考；、各人思考；2 2、小组讨论；、小组讨论；3 3、小组交流展示；、小组交流展示；4 4、总结。、总结。第15页，本讲稿共38页A A1 1D D1 1C C1 1C CB B1 1B BD DA AP PF F如图：延长如图：延长D D1 1F F交交DADA的延长线于点的延长线于点P P，连接，连接PBPB，则直线，则直线PBPB就是平面就是平面BFDBFD1 1与平面与平面ABCDABCD的交线。的交线。F F是是AAAA1 1的中点，的中点，可得可得A A也是也是PDPD的

15、中点，的中点，AP=AB,AP=AB,又又 DAB=60DAB=600 0,且底面且底面ABCDABCD是菱形，是菱形，可可得正三角形得正三角形ABD,ABD,故故DBA=60DBA=600 0,P=P=ABP=30ABP=300 0,DBP=90DBP=900 0,即即PBPB DBDB；又因为是直棱柱，又因为是直棱柱，DDDD1 1 PB,PB,PBPB 面面DDDD1 1B,B,故故 DBDDBD1 1就是二面角就是二面角D D1 1-PB-D-PB-D的平面角。的平面角。显然显然BD=AD=DDBD=AD=DD1 1,DBDDBD1 1=45=450 0。即为所求。即为所求.解毕。解毕

16、。解法一：解法一：解法一：解法一：第16页，本讲稿共38页A A1 1D D1 1C C1 1B B1 1F FA AD DC CB BP PE E解法二：解法二：解法二：解法二：如图：延长如图：延长D D1 1F F交交DADA的延长线于点的延长线于点P P，连接，连接PBPB，则直线，则直线PBPB就是平面就是平面BFDBFD1 1与平面与平面ABCDABCD的交线；的交线；因为是直棱柱，所以因为是直棱柱，所以AAAA1 1 底面底面ABCD,ABCD,过过A A做做AEAE PB,PB,垂足为垂足为E,E,连接连接EF,EF,由三垂线定理可知，由三垂线定理可知，EFEF PB,PB,AE

17、FAEF即为二面角即为二面角D D1 1-PB-D-PB-D的平面角；的平面角；同解法一可知，等腰同解法一可知，等腰APB,APB,P=30P=300 0，RtRt APBAPB中，可求得中，可求得AE=1 AE=1，（设四棱柱的棱长为，（设四棱柱的棱长为2 2）又）又AF=1,AF=1,AEF=45AEF=450 0，即为所求。，即为所求。思考思考思考思考：这种解法同解法一有什么异同？这种解法同解法一有什么异同？第17页，本讲稿共38页解法三：解法三：解法三：解法三：法向量法法向量法：建系如图：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为设这个四棱柱各棱长均为2.2.则则D(0D(0，0 0，0 0）D

18、 D1 1（0 0，0 0，2 2）B B（1 1，0 0）F F（-1-1，1 1）=（-2-2，0 0，1 1）=（1 1，-2-2）显然，显然，就是平面就是平面ABCDABCD的法向量，再设平面的法向量，再设平面BDDBDD1 1的一的一个法向量为向量个法向量为向量 =(x=(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)。则。则 且且 2x2x0 0+0 0y y0 0-z-z0 0=0=0且且x x0 0+y y0 0-2z-2z0 0=0=0令令x x0 0=1=1可得可得z z0 0=2 2,y y0 0=,即即 =（1 1，2 2）设所求二面角的平面角为设所求二面角的平面角为，则，则C

19、OSCOS =,=,所以所求二面角大小为所以所求二面角大小为45450 0解毕解毕A A1 1D D1 1C C1 1B B1 1A AB BC CD Dx xy yz zF F第18页，本讲稿共38页解法四：解法四：解法四：解法四：A A1 1D D1 1C C1 1B B1 1F FC CB BD DA A如图：由题意可知，这是一个直四棱柱如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ，BFDBFD1 1在底面上的射影三角形就是在底面上的射影三角形就是ABD,ABD,故由射影面积关系可得故由射影面积关系可得COSCOS=ABDABDB B1 1 （是所求二面角的平面角）是所求二面角的平面角）以下求面

20、积略。以下求面积略。点评：点评：这种解法叫做这种解法叫做“射影面积法射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好在选择和填空题中有时候用起来会很好第19页，本讲稿共38页第20页，本讲稿共38页 三垂线法三垂线法三垂线法三垂线法第21页，本讲稿共38页N NMMA AP P 三垂线法三垂线法三垂线法三垂线法B BA AC CD DP P第22页，本讲稿共38页点点点点OO在二面角内在二面角内在二面角内在二面角内垂面法垂面法垂面法垂面法第23页，本讲稿共38页第24页，本讲稿共38页第25页，本讲稿共38页A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1MMA AB B

21、C CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1MM第26页，本讲稿共38页M例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，侧面中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，是公共的斜边，且且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形，另一个侧面是正三角形，求二面角求二面角BACD的大小的大小.ABCDN第27页，本讲稿共38页 第28页，本讲稿共38页PEDACBD1A1C1B1F例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1P的大小的大小.第29页，本讲稿

22、共38页例例3、(高考题高考题)ABC中，中，ABBC，SA 平面平面ABC，DE垂直平分垂直平分SC，又又SAAB，SBBC,（1）求证：）求证：SC 平面平面BDE,（2）求二面角求二面角EBDC的大小的大小?S SA AB BC CE ED D第30页，本讲稿共38页S SA AB BC CE ED D第31页，本讲稿共38页ABDCA1B1D1C1在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，求二面角求二面角D1ACD的大小？的大小？OO第32页，本讲稿共38页总一总总一总：求二面角的方法你都学会了求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什哪些？每一种方法在使用上要注意

23、什么问题？么问题？请同学们先自己思考，然后小组请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。内交流学习一下。第33页，本讲稿共38页二面角的几种主要常用的求法：1 1 1 1、垂面法、垂面法、垂面法、垂面法。见例一和例二的解法一；见例一和例二的解法一；2 2 2 2、三垂线法。、三垂线法。、三垂线法。、三垂线法。见例二的解法二；见例二的解法二；见例二的解法二；见例二的解法二；3 3 3 3、射影面积法。、射影面积法。、射影面积法。、射影面积法。见例二的解法三；见例二的解法三；4 4 4 4、法向量夹角法。、法向量夹角法。、法向量夹角法。、法向量夹角法。见例二的解法四。见例二的解法四。其中垂面法和

24、三垂线法也是直接找平面角的方法其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为，也称为 直接法直接法；射影面积法和法向量法是没有；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。间接法。第34页，本讲稿共38页 这几种方法是现在求二面角的常用的方法，这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：两点：1 1、合理建系合理建系合理建系合理建系。本着本着“左右对称左右对称左右对称左右对称

25、 就地取材就地取材就地取材就地取材”的建系原则。的建系原则。2 2、视图取角视图取角视图取角视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。点点 评评第35页，本讲稿共38页试一试试一试：例例1 1、如图：在三棱锥、如图：在三棱锥S-ABCS-ABC中，中，SASA平面平面ABCABC，ABBC,DEABBC,DE垂直平分垂直平分S

26、C,SC,分别分别交交ACAC、SCSC于于D D、E E，且，且SA=AB=a,BC=SA=AB=a,BC=a.a.求：平面求：平面BDEBDE和平面和平面BDCBDC所成的二面角所成的二面角的大小。的大小。S SA AE EC CB BD D请同学们将刚才的例一用其他方法试一下请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：第36页，本讲稿共38页规范训练一规范训练一规范训练一规范训练一1 1、（本小题为（本小题为20072007年山东高考试卷理科年山东高考试卷理科1919题）题）如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，已知：已知：

27、DC=DCDC=DC1 1=2AD=2AB,AD=2AD=2AB,AD DC,AB/DCDC,AB/DC （）设）设E E是是DCDC的中点，求证：的中点，求证：D D1 1E/E/平面平面A A1 1BD BD；（）求二面角）求二面角 A A1 1-BD-C-BD-C1 1余弦值。余弦值。第37页，本讲稿共38页规范训练二：规范训练二：规范训练二：规范训练二：2 2、（本小题为、（本小题为20082008年山东高考理科试卷年山东高考理科试卷2020题）题）如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCD P-ABCD，底面，底面ABCD ABCD 为菱形，为菱形，PA PA 平面平面 ABCD,ABCD,ABC=60ABC=600 0，E E、F F分别是分别是BCBC、PC PC 的中点的中点（）证明：）证明：AEAE PD PD；（）若）若 H H为为 PDPD上的动点，上的动点，EH EH 与平面与平面PAD PAD 所所成最大角的正切值为成最大角的正切值为 ，求二面角，求二面角E-AF-C E-AF-C 的余弦值的余弦值第38页，本讲稿共38页