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1、第第4章随机变量的数字章随机变量的数字特征特征第1页，本讲稿共68页基本要求基本要求:1.1.深刻理解数学期望与方差的定义深刻理解数学期望与方差的定义;2.2.熟练掌握期望与方差的性质熟练掌握期望与方差的性质;3.3.能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见的随机变量的期望与方差的随机变量的期望与方差;4.4.理解独立与相关的概念理解独立与相关的概念,会求协方差与相关系数会求协方差与相关系数;5.5.了解高阶矩的概念了解高阶矩的概念.学时数学时数 6第2页，本讲稿共68页第一节第一节 数学期望数学期望 一、数学期望的定义一、数学期望的定义1.1.
2、离散型离散型定义定义1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为:若级数若级数 绝对收敛绝对收敛,则称则称:为为X X的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)或均值或均值.第3页，本讲稿共68页2.2.连续型连续型定义定义2 2 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的分布密度为的分布密度为f(x),f(x),若若绝对收敛绝对收敛,则称则称为为X X的数学期望或均值的数学期望或均值.第4页，本讲稿共68页注注 意：意：（1 1）期望的定义是结构型的）期望的定义是结构型的,定义本身给出了求期望的定义本身给出了求期望的公式公式,但需知道分布律或分布密度但需知道分布律或分布密度
3、.（2 2）并不是任何随机变量的数学期望都存在）并不是任何随机变量的数学期望都存在;（3 3）n n维随机变量的数学期望是指维随机变量的数学期望是指n n个数学期望的总体个数学期望的总体,即即:第5页，本讲稿共68页 例例4.1 4.1 设设X X服从服从(0-1)(0-1)分布分布,即即PX=1=p,PX=0=q,PX=1=p,PX=0=q,求求EX.EX.解解:例例4.2 4.2 设设x(),x(),求求EX.EX.解解:因因X X的分布律为的分布律为:第6页，本讲稿共68页 例例 4.3 4.3 设设XB(n,P),XB(n,P),求求EX.EX.解解:X X的分布律为的分布律为:第7页
4、，本讲稿共68页 例例4.4 4.4 设设X X在在a,ba,b上服从均匀分布上服从均匀分布,求求X X的均值的均值.解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:0,0,其它其它第8页，本讲稿共68页 例例 4.5 4.5 解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:第9页，本讲稿共68页 例例 4.6 4.6 设设X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,求求 EX.EX.解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:0,x 00,x 0),DX(0),引入新随引入新随机变量机变量:试证试证:证证:第43页，本讲稿共68页注注 意意:从上面的一些例子中可以看出从上面的一些例子中可以看出,只要
5、知道上述这只要知道上述这些随机变量的均值与方差些随机变量的均值与方差,就可以唯一决定它的分布就可以唯一决定它的分布,这就体现了数字特征的重要意义这就体现了数字特征的重要意义.第44页，本讲稿共68页 下面的定理说明下面的定理说明,由随机变量的数学期望和方差由随机变量的数学期望和方差,也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息.证明:第45页，本讲稿共68页证明:第46页，本讲稿共68页第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数一、协方差一、协方差定义定义1 1 设设X,YX,Y是二个随机变量是二个随机变量,如果如果存在存在,则称它为则称它为X X与
6、与Y Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y).Cov(X,Y).即即第47页，本讲稿共68页协方差的性质协方差的性质 设设X,Y,ZX,Y,Z是随机变量是随机变量,a,b,a,b是常数是常数,则则:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);(3)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y);(5)Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY;(6)Cov(X,a)=0;(7)如果如果X,Y独立独立,则则C0v(X,Y)=0.第48页，本讲稿
7、共68页证明:第49页，本讲稿共68页第50页，本讲稿共68页解:(1)同理可得:第51页，本讲稿共68页(2)第52页，本讲稿共68页为为X与与Y的相关系数或标准协方差的相关系数或标准协方差.二、相关系数二、相关系数定义定义2 设设X，Y为两个随机变量，称为两个随机变量，称定义定义3 第53页，本讲稿共68页注注 意意:（i i）X X与与Y Y的协方差就是的协方差就是X X与与Y Y的函数的函数 g(X,Y)=(X-EX)(Y-EY)g(X,Y)=(X-EX)(Y-EY)的数学期望的数学期望;（ii ii）X X与与Y Y的相关系数就是标准化随机变的相关系数就是标准化随机变量的乘积的数学期
8、望，即量的乘积的数学期望，即第54页，本讲稿共68页三、有关相关系数的定理三、有关相关系数的定理第55页，本讲稿共68页第56页，本讲稿共68页（2）第57页，本讲稿共68页第58页，本讲稿共68页定理定理2 如果如果X与与Y相互独立相互独立,则则X与与Y不相关不相关.但是，逆命题不成立但是，逆命题不成立.第59页，本讲稿共68页证明证明:(X,Y)(X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为:由前面的例知由前面的例知:第60页，本讲稿共68页第61页，本讲稿共68页第62页，本讲稿共68页 例例 4.27 4.27 设设(X,Y)(X,Y)等可能地取等可能地取(-2,0),(0,-2),(2,
9、0),(0,2),(-2,0),(0,-2),(2,0),(0,2),试问试问X X与与Y Y是否是否独立独立?是否相关是否相关?解解:X,YX,Y的联合分布律和边缘分布律如下的联合分布律和边缘分布律如下:YX第63页，本讲稿共68页即即X与与Y不相关不相关.所以所以X与与Y也不相互独立也不相互独立.由此可得XP-2021/42/41/4同理可得XYP01第64页，本讲稿共68页四、原点矩与中心矩四、原点矩与中心矩设设X X的分布律的分布律(密度密度)为为p pi i(f(x),(f(x),(1)k(1)k阶原点矩定义为阶原点矩定义为:(2)k(2)k阶中心矩定义为阶中心矩定义为:第65页，本
10、讲稿共68页五、混合矩与协方差矩阵五、混合矩与协方差矩阵 (1)(1)混合原点矩混合原点矩:(2)(2)混合中心矩混合中心矩:(3)(3)若若X,YX,Y的四个二阶中心矩存在的四个二阶中心矩存在,分别记为分别记为:第66页，本讲稿共68页则协方差矩阵定义为则协方差矩阵定义为:第67页，本讲稿共68页 例例 4.29 4.29 设设(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,试写出试写出(X,Y)(X,Y)的的协方差矩阵协方差矩阵.解解:可见可见,二维正态随机变量的联合分布密度可借助于它的二维正态随机变量的联合分布密度可借助于它的协方差矩阵将指数写成矩阵形式协方差矩阵将指数写成矩阵形式,以便推广到以便推广到n n维正态随机维正态随机变量的情形变量的情形.第68页，本讲稿共68页