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1、高考数学概率与统计综合问题选讲一、设计背景2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科数学新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体。”由于新课程新增内容大都是近、现代数学的重要基础，无论对于学生今后的进一步学习，还是对于激发学生对于数学学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识，都具有十分重要的意义。因此他们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而成为保持较高比例，构成数学试题的主体的重要知识版块。概率与统计是一门“研究偶然现象统计规律性”的学科。随着科学技术的发展，概率和统计这门“研究偶然现
2、象统计规律性”的学科在社会生活实际以及科学实验和研究中都得到了越来越广泛的应用。基于以上原因，新课程增加了概率和统计基础知识的相关内容，而近几年来新课程高考试卷也把概率和统计的基础知识和方法随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算和离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。因此高考就利用概率与统计知识设计试题来考查学生的应用意识、实践能力；考查学生的分析问题和解决问题的能力；考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。该专题将从概率与统计的基础知识着手，根据高考要求进行设计，
3、即紧扣主干知识，又突出重点，同时注重温州的数学教学实际。二、高考考点回顾在20002004年全国新课程卷高考试题中每年都有出现12道概率与统计试题，所占分数在1216分之间，具体考查知识点如下表所示：年号题号所占分值重点考查的知识点及知识交汇情况2000134离散型随机变量的概率分布20001712等可能事件、相互独立事件的概率2001144离散型随机变量的数学期望20011812相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率20021912相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率2003144抽样方法20032012离散型随机变量的概率分布及数学期望2004154随机事件的概率2004
4、1812离散型随机变量的概率分布及数学期望2004年浙江卷在第18题考查了离散型随机变量的概率分布及数学期望与其它地区基本一致。所不同的是问题设计的背景不同，对学生分析问题与解决问题能力的考查层次要求不同。2005年仍将会坚持不出偏题、怪题，利用考生熟悉的、常见的问题作背景出题，重在设计考查学生的数学逻辑思维和数学思想方法。三、考点知识结构及分析概率与统计重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差，用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。应
5、用概率与统计知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。四、例题讲解（一）等可能性事件问题例1：在袋里装有30个小球，其中彩球有：个红色、5个蓝色、10个黄色、其余为白色。求：（1）如果已经从中取定了5个黄球和3个篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？（2）如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白色）的概率是，且，计算红球有几个？（3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3个小球，至少有一个是
6、红球的概率？解：（1）将5个黄球排成一排共有种排法，将3个篮球放在5个黄球所形成的6个空上，有种放法，所求的排法为种。（2）取3个球的种数为。设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为蓝色”为事件C，则 ， 为互斥事件，即，得，故取红球的个数，又。（3）记“3个红球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”。或。例2：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为，当可通过的信息量时，则保证信息畅通。（1）求线路信息畅通的概率；（2）求线路可通过信息量的数学期望。分析：解答本题首先要明
7、确可通过的信息量是一个随机变量，它的可能取值为4、5、6、7、8；保证信息畅通的条件是，而信息量取值为6、7、8这三件事是互斥的。其次要求学生能正确运用互斥事件的概率加法公式和离散型随机变量的期望定义解答本题。解：（1） ， 信息畅通的概率为。（2）又 ，可通过信息量的数学期望为6。评述：本题是一道概率计算的综合应用题，试题以信息时代的网络畅通为题设背景，富有时代气息。解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考核重点地试题设计理念。（二）相互独立事件问题例3：甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合
8、理。（已知甲的命中率为，乙的命中率为）解：敌机被击落有以下三种可能：（1）甲单独击落；（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落甲单独击落的概率为乙单独击落的概率为甲、乙共同击落的概率为因此甲得到奖金数应为乙得到奖金数应为所以甲、乙二人奖金数之比为9：10时较合理。评述：研究性学习是提高学生学习能力的一种非常有效的手段，在新教材概率与统计学习后，该问题对学生的研究性学习有一定的帮助，并且该问题有一定的实际意义，背景设计公平，贴近学生实际，在熟悉的情境中考查能力，符合高考的指导思想与原则。例4：某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事
9、件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图(例如：ACD算两个路段：路段AC发生堵车事件概率为，路段CD发生堵车事件概率为)（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若计中遇到堵车次数为随机变量，求。解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以中遇到堵车的概率为；同理：线路中遇到堵车概率为线路中遇到堵车概率为显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线。（2）路线中遇到堵车次数可取值为0、1、2、3（三）独立重复试验问题例5：某机构有一个5人
10、组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比为0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。（结果保留两位有效数字）解：每位顾客贡献正确意见的概率为P=0.7，作出正确决策的概率为。评述：作出正确决策指至少3人作出正确决策，是独立重复试验问题与互斥事件的概率问题的综合题型。例6：某种传染病进入羊群，已知此种传染病的发病率为，为了检验一种新药针剂是否对此传染病有防治疗效，给50头羊注射该种针剂，结果注射后又25头羊发病，试判断针剂是否有效？分析：考虑在未注射针剂时，羊群中发病的羊的数量，因为每头羊只会出现两种情况：发病与未发病，所以发病的
11、羊的数量服从二项分布。解：假定新药无效。将考查一头羊是否发病作为一次试验，则50头羊中发病头数服从二项分布。即。由，可得的分布列部分值如下：2122 23 24 250.00010.00020.00050.00130.00280.00590.9892由此可得，即事件“发病羊数少于26头”发生的概率仅为0.0108，由概率的频率解释可知，平均在100次试验中，这种情况才可能出现一次，这类事件我们称之为“小概率事件”。由实际推断原理可知小概率事件在一次实验中几乎不可能发生。也就是说，在“新药无效”的假设下推断出来的结论“发病羊数少于26头”几乎不会发生。这就与我们实际观察到的结果“发病率为”相互矛
12、盾，因此推翻：“新药无效”这一假设。从而该药品对羊群中的传染病确有疗效，减少了羊群发病率。评述：上述推断的依据是：小概率事件在一次实验中几乎不可能发生，推断的方法类似于通常使用的反证法。（四）其它综合问题例7：据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要交保险费100元，若在一年内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元（a100），问a如何确定，可使保险公司获益？解：设保险公司的收益为，则的分布列为100100P0.990.01所以，期望，又因为，所以，即将确定在区间（100，10000）内（单位：元）保险公司有望获益。例8（2004
13、年湖北高考题）：某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。）解： 不采取预防措施时，总费用既损失期望为4000.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为4000.1=
14、40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（10.9）（10.85）=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）。综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少。评述：本小题考查概率的基本知识和数学期望等概念及应用概率知识解决实际问题的能力。例9：据某地
15、气象部门统计，该地区每年最低气温在以下的概率为（1）设为该地区从2005年到2010年最低气温在以下的年数，求的分布列。（2）设为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在以下经过的年数，求的分布列。（3）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在以下的概率。解：（1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在以下的概率为，且每次实验结果是相互独立的。故，以此为基础求的分布列所以的分布列为（2）由于表示该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在以下经过的年数，显然是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，其中表示前年没有遇到最低气温在以下的情况，但在第年遇到了最低
16、气温在以下的情况，故各概率应按独立事件同时发生计算。而表示这6年没有遇到最低气温在以下的情况，故其概率为,因此的分布列为：0123456（3）该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在以下的事件为所以评述：这是一道综合性很强的概率应用题，通过3个设问，分别考查了独立重复试验次中发生可次的概率，独立事件同时发生的概率以及互斥事件有一个发生的概率。五、思维能力训练（一）选择题：（本题共六小题）1、如果两个事件A、B相互独立，则下列命题中正确的个数有（ ）（1）与相互对立 （2）与相互对立（3）与相互对立A、3个 B、2个 C、1个 D、0个2、10张奖券中有2张是有奖的，甲、乙两人从中各
17、抽一张，甲先抽，然后乙抽。设甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，那么（ ）A、 B、 C、 D、大小不能确定3、在一次国际乒乓球大赛中两位运动员打得难解难分，前六局打成三比三，第七局打到了10：8，甲运动员领先，假设甲、乙运动员每赢一球的概率是相等的，问乙运动员连赢4球反败为胜的概率是多少？ （ ）A、 B、 C、 D、4、在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是 （ ）A、 B、 C、 D、5、若，其中，则等于 （ ）A、 B、 C、 D、6、某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶、黑漆3桶、红漆2桶。在搬运中所有
18、标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，则一个订货3桶白漆、2桶黑漆和一桶红漆的顾客，能够按所订的颜色如数得到订货的概率是多少？ （ ）A、 B、 C、 D、（二）填空题：（本题共二小题）7、某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。购买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设年利率为8%。又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%，试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？ 。8、将一个各个面均涂有颜色的正方体锯成64
19、个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少有一面涂有颜色的概率是 。（三）解答题：（本题共二小题）9、某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3。10、下表为某班英语及数学成绩的分布学生共有50人，成绩分15五个档次例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为设为随机变量（注：没有相同姓名的 数学54321英语5131014107513210932160100113学生）（）的概率为多少？的概率为多少？（）等于多少？若的期望为，试确定，的值思维能力训练答案：1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、C7、投资股票 8、9、解：（1） （2）至少5人同时上网的概率小于0.3。10、解：（1）；（2）； 又； 结合可得，