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1、无穷小量与无穷大量阶的比较第1页，本讲稿共36页1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,第2页，本讲稿共36页注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.第3页，本讲稿共36页2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性第4页，本讲稿共36页意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小的
2、运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证第5页，本讲稿共36页注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.第6页，本讲稿共36页定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证第7页，本讲稿共36页推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小第8页，本讲稿共3
3、6页二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.第9页，本讲稿共36页特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.第10页，本讲稿共36页无界，无界，不是无穷大不是无穷大第11页，本讲稿共36页证证第12页，本讲稿共36页三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证第13页
4、，本讲稿共36页意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.第14页，本讲稿共36页极限运算法则的证明定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得第15页，本讲稿共36页第16页，本讲稿共36页有界，有界，注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论第17页，本讲稿共36页四四、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,观观察察各各极极限限不可比不可比.极限不同极限不同,反映了趋
5、向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.第18页，本讲稿共36页定义:第19页，本讲稿共36页例1解解例例2 2解解第20页，本讲稿共36页常用等价无穷小:注注1.上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握第21页，本讲稿共36页用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有一般地有即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,第22页，本讲稿共36页补充补充高阶无穷小的运算规律高阶无穷小的运算规律第23页，本讲稿共36页五、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等
6、价无穷小替换定理)证证意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。第24页，本讲稿共36页例3解解注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传
7、递性第25页，本讲稿共36页例4解解错错解解第26页，本讲稿共36页例5解解第27页，本讲稿共36页例例6 求求解一解一解二解二第28页，本讲稿共36页解三解三例例7 求求解解第29页，本讲稿共36页关于关于1 1型极限的求法型极限的求法第30页，本讲稿共36页第31页，本讲稿共36页无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2
8、2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.六、小结第32页，本讲稿共36页3.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的无穷小的阶阶.4.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.作业P66:1,2,3,5,6.第33页，本讲稿共36页思考题思考题1思考题思考题2 在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？第34页，本讲稿共36页思考题思考题1解答解答不能保证不能保证.例有思考题思考题2解答解答没有极限没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第35页，本讲稿共36页思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当 时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当 时第36页，本讲稿共36页