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1、相对论和量子力学典型题第1页，本讲稿共17页2.两只宇宙飞船,彼此以0.98c的相对速率相对飞过对方;宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长度为自己宇宙飞船长度的2/5。求:(1)宇宙飞船2与1中的静止长度之比?(2)飞船2中的观察者测得飞船1的长度与自己飞船长度之比?解解:(1)设飞船设飞船1为为S,飞船飞船2为为S,静长分别为静长分别为L10,L20飞船飞船1测飞船测飞船2的长度为的长度为L2,飞船飞船2测飞船测飞船1的长度为的长度为L1 由题意由题意:由长度收缩由长度收缩:(2)(41)第2页，本讲稿共17页3.已知二质点A,B静止质量均为m0,若质点A静止质点B以6m0c2的动能
2、向A运动,碰撞后合成一粒子,无能量释放。求:合成粒子的静止质量M0?解解:二粒子的能量分别为二粒子的能量分别为由能量守恒由能量守恒,合成后粒子的总能量为合成后粒子的总能量为由质能关系由质能关系:E=Mc2 由质速关系由质速关系:关键求复合粒子的速度关键求复合粒子的速度v=?由动量守恒由动量守恒:第3页，本讲稿共17页对对B应用能量与动量关系应用能量与动量关系,即即第4页，本讲稿共17页4.在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc和入射光频率的对应数据如下：6.5016.3036.0985.8885.6640.8780.8000.7140.6370.541试用作图法求：(1)该金属光电效应的红
3、限频率；(2)普朗克常量。图 Uc和 的关系曲线4.05.06.00.00.51.0UcV1014Hz解：以频率为横轴,以截止电压Uc为纵轴，画出曲线如图所示(注意:)。第5页，本讲稿共17页(1)曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率，曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率，由图上读出的红限频率由图上读出的红限频率 (2)由图求得直线的斜率为对比上式与对比上式与有精确值为图 Uc和 的关系曲线4.05.06.00.00.51.0UcV1014Hz第6页，本讲稿共17页5.一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。(1)试由此求
4、出粒子能量的本征值为：(2)在核在核(线度线度1.010-14m)内的质子和中子可以当成内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？解：在势阱中粒子德布罗意波长为 粒子的动量为：第7页，本讲稿共17页 粒子的能量为：粒子的能量为：(2)由上式，质子的基态能量为由上式，质子的基态能量为(n=1):第一激发态的能量为：n=1,2,3第8页，本讲稿共17页
5、从第一激发态转变到基态所放出的能量为：从第一激发态转变到基态所放出的能量为：讨论：讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。上述估算和此事实大致相符。n=1n=2n=3第9页，本讲稿共17页解：首先把给定的波函数归一化做积分得6.设粒子处于由下面波函数描述的状态：当当A是正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度;粒子在何处出现的概率最大?第10页，本讲稿共17页因此，归一化的波函数为因此，归一化的波函数为当当归一化之后，就代表概率密度了，即当当概率最大处:即 x=0第11页，本讲稿共17页讨讨论论：波波函函
6、数数本本身身无无物物理理意意义义,“测测不不到到，看看不不见见”，是是一一个个很很抽抽象象的的概概念念，但但是是它它的的模模的的平平方方给给我我们们展展示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。Eoa/2x-a/2E1n=14E1n=29E1n=3Enn|n|2无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度第12页，本讲稿共17页7.氢原子的直径约 10-10m，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？解：由不确定关系估计，有速度与其不确定度同数量级。可见，对原子内的电子，谈论其速度没
7、有意义，描述其运动必须抛弃轨道概念，代之以电子云图象。按经典力学计算第13页，本讲稿共17页8.(1)用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个个量子数各称做什么，它们取值范围怎样？量子数各称做什么，它们取值范围怎样？(2)4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态，个量子数取值的不同组合表示不同的量子态，当当 n=2 时，包括几个量子态？时，包括几个量子态？(3)写出磷写出磷(P)的电子排布，并求每个电子的轨道角的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。动量。答：答：(1)4 个量子数包括：个量子数包括：主量子数主量子数 n，n=1,2,3,角量子数角
8、量子数 l，l=0,1,2,n-1 轨道磁量子数轨道磁量子数 ml，ml=0,1,l 自旋磁量子数自旋磁量子数 ms，ms=1/2第14页，本讲稿共17页(3)按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态内填充内填充 1 个电子，得个电子，得 P 的电子排布的电子排布 1s22s22p63s23p3，(2)n=2l=0(s)l=1(p)ml=0ml=-1ml=0ml=1ms=1/2ms=1/2ms=1/2ms=1/22n2=8个量子态1s,2s,3s 电子轨道角动量为2p,3p 电子轨道角动量为在 z 方向的投影可以为第15页，本讲稿共17页解：解：
9、费米能量是价电子排布的最高能量费米能量是价电子排布的最高能量 EF=(N/2)E=3.01 1023 1.076 10-23 =3.24 eV金属的逸出功是金属内的一个电子变金属的逸出功是金属内的一个电子变成自由电子所吸收的最小能量，即由成自由电子所吸收的最小能量，即由费米能级向自由能级跃迁的电子所吸收的能量费米能级向自由能级跃迁的电子所吸收的能量 A=E0-EF=5.54-3.24=2.3eV9.1mol 钠原子结合成钠金属后，其钠原子结合成钠金属后，其 3s 轨道扩展为价轨道扩展为价带。取价带底为电子能量零点，如果价带内密集的能带。取价带底为电子能量零点，如果价带内密集的能级平均间隔为级平均间隔为 1.076 10-23 eV，那么费米能量是多少？，那么费米能量是多少？用波长为用波长为 300nm 的单色光照射钠金属，发出光电子的的单色光照射钠金属，发出光电子的最大动能是多少最大动能是多少？已知自由电子的能量为？已知自由电子的能量为 5.54eV。0EFA自由能级E0第16页，本讲稿共17页光照射钠时发生光电效应，由爱因斯坦光电方程得到钠金属发出光电子的最大动能是第17页，本讲稿共17页