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1、平稳时间序列分析第1页，本讲稿共82页本章结构n方法性工具 nARMA模型 n平稳序列建模n序列预测 第2页，本讲稿共82页2.1 方法性工具 n差分运算n延迟算子n线性差分方程第3页，本讲稿共82页差分运算n一阶差分n 阶差分 n 步差分第4页，本讲稿共82页延迟算子n延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 n记B为延迟算子，有 第5页，本讲稿共82页延迟算子的性质n n n n n ，其中 第6页，本讲稿共82页2.2 ARMA模型的性质 nAR模型（Auto Regression Model）nMA模型（Moving Aver
2、age Model）nARMA模型（Auto Regression Moving Average model）第7页，本讲稿共82页AR模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型第8页，本讲稿共82页自回归系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n自回归系数多项式第9页，本讲稿共82页平稳AR模型的统计性质n均值n方差n协方差n自相关系数n偏自相关系数第10页，本讲稿共82页均值 n如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有n根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有n推导出第11页，本讲稿共82页AR模型自相关系数的性质n拖尾性n呈负指数
3、衰减第12页，本讲稿共82页例2.1:考察如下AR模型的自相关图第13页，本讲稿共82页例2.1n自相关系数按负指数单调收敛到零第14页，本讲稿共82页例2.1:n自相关系数正负相间的衰减第15页，本讲稿共82页例2.1:n自相关系数呈现出周期性余弦衰减伪周期性伪周期性 第16页，本讲稿共82页例2.1:n自相关系数不规则衰减第17页，本讲稿共82页偏自相关系数n定义 对平稳AR(p)序列，滞后k偏自相关系数就是指 在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对 影响的相关度量。用数学语言描述就是第18页，本讲稿共82页偏自相关系数的计算n滞后k偏自相
4、关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。第19页，本讲稿共82页偏自相关系数的截尾性nAR(p)模型偏自相关系数P阶截尾第20页，本讲稿共82页例2.5续:考察如下AR模型的偏自相关图第21页，本讲稿共82页例2.1n理论偏自相关系数n样本偏自相关图第22页，本讲稿共82页例2.1:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图第23页，本讲稿共82页例2.1:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图第24页，本讲稿共82页例2.1:n理论偏自相关系数n样本偏自相关系数图第25页，本讲稿共82页MA模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型第26页，本讲稿
5、共82页移动平均系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n 阶移动平均系数多项式第27页，本讲稿共82页MA模型的统计性质n常数均值n常数方差第28页，本讲稿共82页MA模型的统计性质n偏自相关系数拖尾第29页，本讲稿共82页例2.2:考察如下MA模型的相关性质第30页，本讲稿共82页MA模型的自相关系数截尾n n 第31页，本讲稿共82页MA模型的自相关系数截尾n n 第32页，本讲稿共82页MA模型的偏自相关系数拖尾n n 第33页，本讲稿共82页MA模型的偏自相关系数拖尾n n 第34页，本讲稿共82页ARMA模型的定义n具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为n特别
6、当 时，称为中心化 模型第35页，本讲稿共82页系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n 阶自回归系数多项式n 阶移动平均系数多项式第36页，本讲稿共82页ARMA(p,q)模型的统计性质n均值n协方差n自相关系数第37页，本讲稿共82页ARMA模型的相关性n自相关系数拖尾n偏自相关系数拖尾第38页，本讲稿共82页例2.3:考察ARMA模型的相关性n拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。第39页，本讲稿共82页自相关系数和偏自相关系数拖尾性n样本自相关图n样本偏自相关图第40页，本讲稿共82页ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数
7、AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾第41页，本讲稿共82页2.3平稳序列建模 n建模步骤n模型识别n参数估计n模型检验n模型优化n序列预测第42页，本讲稿共82页建模步骤平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN第43页，本讲稿共82页模型识别n基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)第44页，本讲稿共82页模型定阶的困难n因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会
8、呈现出小值振荡的情况n由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数 ，与 都会衰减至零值附近作小值波动？当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？第45页，本讲稿共82页模型定阶经验方法n如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。第46页，本讲稿共82页例2.4n选择合适的模型ARMA拟合1950年1998年北京
9、市城乡居民定期储蓄比例序列。第47页，本讲稿共82页序列自相关图第48页，本讲稿共82页序列偏自相关图第49页，本讲稿共82页拟合模型识别n自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 n偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 n所以可以考虑拟合模型为AR(1)第50页，本讲稿共82页例2.5美国科
10、罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列 第51页，本讲稿共82页序列自相关图第52页，本讲稿共82页序列偏自相关图第53页，本讲稿共82页拟合模型识别n自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾n偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。n综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)第54页，本讲稿共82页例2.6n1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列 第55页，本讲稿共82页序列自相关图第
11、56页，本讲稿共82页序列偏自相关图第57页，本讲稿共82页拟合模型识别n自相关系数显示出不截尾的性质n偏自相关系数也显示出不截尾的性质n综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列第58页，本讲稿共82页例2.4续n确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 n拟合模型：AR(1)n估计方法：极大似然估计n模型口径第59页，本讲稿共82页例2.5续n确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 n拟合模型：MA(1)n估计方法：条件最小二乘估计n模型口径第60页，本讲稿共82页例2.6续n确
12、定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径 n拟合模型：ARMA(1,1)n估计方法：条件最小二乘估计n模型口径第61页，本讲稿共82页模型检验n模型的显著性检验n整个模型对信息的提取是否充分n参数的显著性检验n模型结构是否最简第62页，本讲稿共82页模型的显著性检验n目的n检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）n检验对象n残差序列n判定原则n一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 n反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效第63页，本讲稿共82页假设条件
13、n原假设：残差序列为白噪声序列n备择假设：残差序列为非白噪声序列第64页，本讲稿共82页检验统计量nLB统计量第65页，本讲稿共82页例2.4续n检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 n残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361第66页，本讲稿共82页参数显著性检验n目的n检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 n假设条件n检验统计量第67页，本讲稿共82页例2.4续n检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型
14、的参数是否显著 n参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值81.55159 0.0001显著0.691410.0001显著第68页，本讲稿共82页例2.5续:对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验 n残差白噪声检验n参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值4.409150.0005显著0.820830.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.140.6780模型显著有效129.100.6130第69页，本讲稿共82页例2.6续:对1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型进行检验 n残差白噪声检验n参数显著性检验检验参数t统计量P值结论0.406970.0007显著0
15、.900090.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论65.280.2595模型显著有效1210.300.4147第70页，本讲稿共82页模型优化n问题提出n当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。n优化的目的n选择相对最优模型 第71页，本讲稿共82页例2.7:拟合某一化学序列第72页，本讲稿共82页序列自相关图第73页，本讲稿共82页序列偏自相关图第74页，本讲稿共82页拟合模型一n根据自相关系数2阶截尾，拟合MA(2)模型n参数估计n模型检验n模型显著有效 n三参数均显著 第75页，本讲稿共82页拟合模型二n根据偏
16、自相关系数1阶截尾，拟合AR(1)模型n参数估计n模型检验n模型显著有效 n两参数均显著 第76页，本讲稿共82页问题n同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？n解决办法n确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优第77页，本讲稿共82页AIC准则n最小信息量准则（An Information Criterion）n指导思想n似然函数值越大越好 n未知参数的个数越少越好 nAIC统计量第78页，本讲稿共82页SBC准则nAIC准则的缺陷n在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多 nSBC统计量第79页，本讲稿共82页例2.7续n用AIC准则和SBC准则评判例2.13中两个拟合模型的相对优劣 n结果nAR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866第80页，本讲稿共82页序列预测n线性预测函数n预测方差最小原则第81页，本讲稿共82页例2.4:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图 第82页，本讲稿共82页