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1、动量定理文理第1页，本讲稿共33页10 1 动量与冲量动量与冲量一.质点系的动量由重心坐标公式(见见p99式式 (3 29)定义式:可写成一矢量表达式:(参见参见p99式式 (3 27)2第2页，本讲稿共33页此式为质点系的质心的位矢表达式两边同时对时间t求导可得:或质点系的动量还可以用质心的速度与总质量的乘积来度量.3第3页，本讲稿共33页l例1.图示均质物体,质量皆为m,试问各物体的动量大小为多少?例2.求系统的动量.已知 OA=l,AB=L,轮子的半径为R,且作纯滚动.三者都为均质且质量皆为 m.在图示瞬时,OA 杆的角速度为.解解:首先求出各物体质心的速度首先求出各物体质心的速度.动量
2、方向水平向左动量方向水平向左三个物体的质心速度的方向相同三个物体的质心速度的方向相同.动量的矢量和转化为代数和动量的矢量和转化为代数和.OAB4第4页，本讲稿共33页ACBOC1例3.图示椭圆规尺AB的质量为2m1,曲柄OC的质量为m1,而滑块A和B的质量皆为m2.已知:OC=AC=CB=l;曲柄和尺的质心分别在其中点上;曲柄绕O轴以匀角速转动.开始时曲柄水平向右,求此时系统的动量.解1.建立坐标如图xy图示位置,AB规尺的动量曲柄OC的动量滑块A的动量滑块B的动量5第5页，本讲稿共33页ACBOC1xy图示位置,AB规尺的动量曲柄OC的动量滑块A的动量滑块B的动量系统的动量:6第6页，本讲稿
3、共33页解2.建立坐标系求质心.ACBOC1xy7第7页，本讲稿共33页xyACBOC18第8页，本讲稿共33页ACBOC1解3.C 点不仅是AB 杆的质心,同时也是AB 杆和A、B 物块组成的系统的质心.而C1 是OC杆的质心.它们的方向是相同的,都垂直于OC杆(方向与VC的方向相同).系统的动量大小为9第9页，本讲稿共33页二.冲量冲量是力的时间积累,一般表示为:冲量是矢量,可沿直角坐标轴分解为三个分量对于常力矢 ,中学我们已知,冲量是物体动量改变的度量.判断下述说法是否正确?在某段时间内,冲量为零,则物体所受的力为零?在某段时间内,物体所受的力为零,则冲量为零.冲量可沿自然坐标轴分解吗?
4、即可以有的积分式?10第10页，本讲稿共33页10 2 动量定理动量定理设有一质点系设有一质点系mi i=1、2、3、4 n对于系统内任意一质点mi ,动量定理可写成:对于整个质点系对于整个质点系,动量定理可写成动量定理可写成:微分号和求和号交换后可有微分号和求和号交换后可有:11第11页，本讲稿共33页此此此此五五五五式式式式均均均均是是是是动动动动量量量量定定定定理理理理的的的的不不不不同同同同的的的的导导导导数数数数形形形形式式式式亦称质心运动定理任何系统的内力之和恒为零,所以有:对于封闭的质量系统对于封闭的质量系统,(1)式可写成式可写成:将动量用总质量与质心速度的乘积表示将动量用总质
5、量与质心速度的乘积表示,则则(1)式变为式变为:还可以写成最一般的形式还可以写成最一般的形式:12第12页，本讲稿共33页 1.公式(1)(2)(3)(4)(5)的力学意义是等价的,适用于不同形式的力学系统.其中(3)(4)两式也称为质心运动定理.3.此五个公式是动量定理的导数形式,在本课程中最常用.还有相应的积分形式.(见书上P248)几点说明几点说明:4.动量定理是矢量定理,在具体用到相应的公式时一般用的是其投影形式.最常用的是直角坐标系下的投影.(见书上P248)2.称为外力系的主矢量,前面的五个公式说明力学系统动量的变化只与外力系的主矢量有关.两个主矢相同的力学并不一定是等效力系,但是
6、它们对同一力学系统动量的影响却是相同的.13第13页，本讲稿共33页例例4.电动机的外壳固定在水平基础上电动机的外壳固定在水平基础上,定子的质量为定子的质量为m1 ,转子的质量为转子的质量为m2 .设设定子的质心位于转轴的中心定子的质心位于转轴的中心O1 ,而转子的质心而转子的质心O2 由于制造的误差到由于制造的误差到O1 的距离为的距离为e.已知转子以匀角速度已知转子以匀角速度 转动转动,求基础的支座反力求基础的支座反力.解解:取系统分析其受力与运动如图示取系统分析其受力与运动如图示,建立建立O1 xy 坐标系坐标系(与静系固连与静系固连).:(1)本题求出的本题求出的 Fx 和和 Fy 只
7、是地脚螺栓和地面对基础底座作用力的等只是地脚螺栓和地面对基础底座作用力的等 效效力力.(2)即使有未知的约束力偶即使有未知的约束力偶,本题不可能求得本题不可能求得.动量定理的式子里不会动量定理的式子里不会 出现力偶或力矩出现力偶或力矩.O1O2xy14第14页，本讲稿共33页建立坐标系O1 xy 如图示 O1O2xy用质心运动定理求解:由质心坐标公式:由质心运动定理由质心运动定理:15第15页，本讲稿共33页例例5.重为重为P1 的物块的物块A 沿倾角为沿倾角为 重量为重量为W 的斜面下滑的斜面下滑,通过滑轮及绳索带动重通过滑轮及绳索带动重为为P2 的物块的物块B 运动运动.略去各处摩擦略去各
8、处摩擦,不计滑轮和绳索的重量不计滑轮和绳索的重量 求求:物块运动时物块运动时,台台阶和地面对斜面的约束反力阶和地面对斜面的约束反力.解a2 a1 P1WP2由动力学基本方程联立(1)、(2)由由 隔离法隔离法 可求得可求得:分别取A、B 物块16第16页，本讲稿共33页a2 a1 P1WP2xya2 a1 P1WP2在x 方向投影得:再取系统分析再取系统分析系统的受力及运动情况如图示系统的受力及运动情况如图示在y 方向投影得:17第17页，本讲稿共33页例6.均质杆OA=2l,重P,绕过O 端的水平轴在竖直面内转动.设转动到 与水平成 角时其角速度与角加速度分别为 与 .求:此时OA 杆在O
9、端的约束反力.COA解解:取杆分析其运动和受力取杆分析其运动和受力.OAC将将O 点的未知力沿质心运动的切向和法向分解点的未知力沿质心运动的切向和法向分解.由已知条件可知,质心加速度为 法向投影为:由质心运动定理 切向投影为:18第18页，本讲稿共33页103 质点系动量守恒质点系动量守恒,质心运动守恒质心运动守恒.如果一质点系统的外力系的主矢等于零如果一质点系统的外力系的主矢等于零,(不可说外力系为零不可说外力系为零)则系统的动则系统的动量保持为一常矢量量保持为一常矢量.或系统的质心的速度为一常矢或系统的质心的速度为一常矢.如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零如果一质点系统的外
10、力系的主矢在某一方向上的投影为零,则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量.或系统的质心的速度在此方向上的投影不变或系统的质心的速度在此方向上的投影不变.:在什么情况下用动量定理在什么情况下用动量定理?(1)求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题.(2)守恒条件下的速度守恒条件下的速度、位移和运动轨迹问题、位移和运动轨迹问题.质心运动守恒是系统的动量守恒的另一种描述.在动量守恒的质量系统中,系统内质点的动量可以有变化,但系统的总动量是不变的,或者说,系统的质量中心的速度是不变的.19第19
11、页，本讲稿共33页例7.(书上例10 3)物块A 的质量为 mA,可沿光滑水平面自由滑动.小球B的质量为mB,以不计质量的细杆与之固连,细杆的另一头铰接在物块A上,杆长为L.初始时系统静止并有初始角0 .释放后,细杆以 =0 cost 的规律摆动(是常数)求:物块A的最大速度.解解:水平方向上系统的动量守恒水平方向上系统的动量守恒.LBA 任何时候在水平方向上都有:又由由(1)、(2)20第20页，本讲稿共33页例例8.(书上书上 习习 10 4 )均质杆均质杆AB=L,直立于光滑的水平面上直立于光滑的水平面上.求它从铅直位置求它从铅直位置无无 初速地倒下时初速地倒下时,端点端点A的运动轨迹的
12、运动轨迹.OCxy从铅垂位置倒下后,任意时刻都有:任意时刻任意时刻,A点的坐标可表示成点的坐标可表示成:二式联立消去后可得:A点的运动轨迹是椭圆曲线点的运动轨迹是椭圆曲线.AB21第21页，本讲稿共33页例9.一质量为210 kg 的小船静止地靠在岸边附近.船头站立一人,质量70 kg.此人目测自己离岸边的距离为0.8m,于是便采取了如下的方法上岸:先将身体的重心前倾 0.4m,然后迈腿前跨0.4m.结果他却踏入水中.假如他目测的距离是正确的.船在 水中的阻力忽略不计.求他跨入水中时,脚离岸边的距离.解:人船系统质心在水平方向守恒xy答:此人跨人水中,脚离岸边有0.1m.质心水平坐标值在系统变
13、化中是一常数质心水平坐标值在系统变化中是一常数.建立坐标如图示22第22页，本讲稿共33页例例10.(习习 10 11)均质杆均质杆AG与与BG由相同的材料制成由相同的材料制成,在在G点铰接点铰接,二杆位于二杆位于同一铅垂面内同一铅垂面内,如图示如图示.AG=250mm,BG=400mm.若若GG1=240mm时时,系统系统由静止释放由静止释放.求当求当A、B、G在同一直线上时在同一直线上时,A与与B两端点各自移动的距离两端点各自移动的距离.解解:建立坐标系如图示建立坐标系如图示由已知条件由已知条件,相关尺寸如图相关尺寸如图由均质由均质,不妨设不妨设mAG=250 个单位个单位 mGB=400
14、个单位个单位 由水平方向质心坐标守恒可得由水平方向质心坐标守恒可得:设设A点向左移动点向左移动 x 距离距离B点的位移为:23第23页，本讲稿共33页又解又解:建立过质心的坐标系如图示建立过质心的坐标系如图示设质心横坐标为零设质心横坐标为零,运动过程中系统的质心横坐标守恒运动过程中系统的质心横坐标守恒由系统为均质杆系由系统为均质杆系,在成水平状态时在成水平状态时或24第24页，本讲稿共33页例例11.(书上例书上例10 5)均质曲柄均质曲柄AB=r,质量为质量为m1,设受某力偶作用以不变的设受某力偶作用以不变的角速度角速度 转动转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的
15、活塞D.已知滑槽连杆及活塞已知滑槽连杆及活塞组合体总质量为组合体总质量为m2,质心为质心为C,且且C点到滑槽中心线距离为点到滑槽中心线距离为b.不计摩擦及滑不计摩擦及滑块块B的质量的质量,求作用在曲柄轴求作用在曲柄轴A处的最大水平约束力处的最大水平约束力Fx.xyDCAB解解:建立坐标如图示建立坐标如图示,考察质心的运动考察质心的运动 由质心坐标公式由质心运动定理在x 方向的投影:25第25页，本讲稿共33页xyDCAB另解:先求系统各部件的质心加速度先求系统各部件的质心加速度例例11.(书上例书上例10 5)均质曲柄均质曲柄AB=r,质量为质量为m1,设受某力偶作用以不变的设受某力偶作用以不
16、变的角速度角速度 转动转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D.已知滑槽连杆及活塞已知滑槽连杆及活塞组合体总质量为组合体总质量为m2,质心为质心为C,且且C点到滑槽中心线距离为点到滑槽中心线距离为b.不计摩擦及滑不计摩擦及滑块块B的质量的质量,求作用在曲柄轴求作用在曲柄轴A处的最大水平约束力处的最大水平约束力Fx.滑槽连杆及活塞组合体质心运动方程为由系统的动量定理:沿水平方向投影26第26页，本讲稿共33页质心运动定理和某些常见的力学现象质心运动定理和某些常见的力学现象:高射炮打飞机,炮弹是在空中爆炸的.炮弹出膛后应是一抛物线的运动轨迹,原因是外力只有重力,爆炸
17、后,弹片的飞行方向是四面八方的,但是只要没有弹片落地或击中其他物体,炮弹的质心运动轨迹仍然是既定的抛物线.爆破山石时,土石碎块向各处飞落,在尚无碎石落地之前,其质心的运动轨迹是与抛射质点的运动轨迹是一样的,定向爆破时,可以 根据质心的运动轨迹,预先估计出大部分土石块堆落的地方.质心运动定理和动力学基本定律质心运动定理和动力学基本定律:质心运动定理和动力学基本方程的数学表达式很相似,但是它们描述的物理现象并不相同.动力学基本方程是描述一个质点运动的,表示是质点所受到的合力;表示是质点系所受到的外力系的矢量和(主矢)是描述质点系或刚体的质心运动运动的,质心运动定理27第27页，本讲稿共33页定常流
18、动的定常流动的,不可压缩流体上的动约束力问题不可压缩流体上的动约束力问题.我们可以想象:一段管中的流体如果进口速度与出口速度不相等,(即使进出口的速率相等但是管道是弯曲的,则二者的速度仍不等.)表明这一段流体内产生了加速度.有加速度必有力作用在流体上.这力就是管壁作用在流体上的附加动约束力.如果流体是不可压缩的且定常流动的,我们便可通过动量定理 得到相应的计算公式:其中,qv为流体单位时间流过的体积,即是流量.是流体的密度.的附加动约束力或是附加动约束力的主矢量.分别为进出口的速度,是作用在流体上引起流体速度变化28第28页，本讲稿共33页取一段液体分析,如图所示:设t时刻此段液体的动量为t+
19、t 时刻的动量为时刻的动量为在在t t 时间内动量的改变量为时间内动量的改变量为:由定常流动可知:的动量不改变所以有:29第29页，本讲稿共33页所以有:由于不可压缩,则有:于是应有由动量定理可得:由于静力系统的平衡,所以,最后可得:30第30页，本讲稿共33页例例12.(习习10 15)垂直于薄板的水柱流经薄板时被薄板截为两部分垂直于薄板的水柱流经薄板时被薄板截为两部分,如图示如图示.一一部分的流量为部分的流量为qv1=7L/s(升升/秒秒),另一部分偏离一另一部分偏离一 角角,忽略水重和摩擦忽略水重和摩擦,试确试确定定 角和水对薄板的压力角和水对薄板的压力.设水柱速度设水柱速度v1=v2=v =28m/s,总流量总流量qv=21L/s.解解:取水柱分析取水柱分析由薄板约束由薄板约束,水柱受动约束力如图水柱受动约束力如图由在铅垂方向上可有在铅垂方向上可有:由已知条件可知:31第31页，本讲稿共33页由在水平方向上可有:答答:水对薄板的压力为水对薄板的压力为248.5(N),方向向右方向向右(为图示动约束力的反作用力为图示动约束力的反作用力)32第32页，本讲稿共33页33第33页，本讲稿共33页