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1、第3章 系统的运动与离散化现在学习的是第1页，共49页v3.1 线性定常系统的自由运动线性定常系统的自由运动v3.2 矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法v3.3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动v3.4 线性定常离散系统的状态空间描述线性定常离散系统的状态空间描述 v3.5 线性定常离散系统状态方程求解线性定常离散系统状态方程求解v3.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化v小结小结第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化现在学习的是第2页，共49页运动分析：运动分析：运动分析：运动分析：定量分析：定量分析：定量分析：定量分析：3.1 线性定常系统的自由运动线性定常
2、系统的自由运动 对决定控制系统行为和综合对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究。个关键的性质进行定性研究。能控性、能观测性和能控性、能观测性和稳定性。稳定性。现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化 控制系统的分析分为控制系统的分析分为定量分析定量分析定量分析定量分析和和定性分析定性分析定性分析定性分析两个方面：两个方面：对对控控制制系系统统的的规规律律进进行行精确的研究。精确的研究。定定量量的的确确定定控控制制系系统统由由外外部部输输入作用所引起的响应。入作用所引起的响应。线性控制系统的状态方程
3、为线性控制系统的状态方程为 ，t0相对于给定的初始状态相对于给定的初始状态 和外加输入函数和外加输入函数求出状态方程的解求出状态方程的解 ，即由初始状态和外加，即由初始状态和外加输入引起的响应。输入引起的响应。定性分析：定性分析：定性分析：定性分析：现在学习的是第3页，共49页运动分解：运动分解：运动分解：运动分解：现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化一、基本定义一、基本定义由初始状态引起的由初始状态引起的自由运动自由运动自由运动自由运动；由外加输入引起的由外加输入引起的受控运动受控运动受控运动受控运动。1、自由运动、自由运动 线线性性定定常常系系统统在在没
4、没有有控控制制作作用用时时，由由初初始始条条件件引引起起的的运运动动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程：称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程：2、受控运动、受控运动 线线性性定定常常系系统统在在控控制制作作用用下下的的运运动动称称为为受受控控运运动动。状状态态方方程可表示为非齐次方程：程可表示为非齐次方程：现在学习的是第4页，共49页现代控制理论现代控制理论 自由运动：自由运动：自由运动：自由运动：第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化 系系统统的的状状态态方方程程为为 ，初初始始条条件件为为 ，则则状状态态方程的解为方程的解为 其中其中 为为 矩阵，且满足以下两个条件矩阵，且
5、满足以下两个条件则称则称 为系统的为系统的状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵。是是 的解，已知的解，已知 的条件。的条件。证明：证明：现在学习的是第5页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化2、系系统统自自由由运运动动的的状状态态由由状状态态转转移移矩矩阵阵唯唯一一决决定定，它它包包含含了了系系统统自自由运动的全部信息。由运动的全部信息。1、自自由由运运动动的的解解 ，它它的的物物理理含含义义是是：系系统统在在 tt0时时，任任意意时时刻刻的的状状态态 仅仅是是起起始始状状态态 的的转转移移，这这是是 为为状状态态转转移移矩矩阵阵的的原
6、原因因。也也由由此此说说明明自自由由运运动动的的解解可可以以由由状态转移矩阵表达为统一的形式。状态转移矩阵表达为统一的形式。3、对于线性定常系统，状态转移矩阵为、对于线性定常系统，状态转移矩阵为二、几点讨论二、几点讨论现在学习的是第6页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化三、矩阵指数的定义三、矩阵指数的定义 已知状态转移矩阵已知状态转移矩阵 满足以下两个条件满足以下两个条件；与通常的标量微分方程类似，设与通常的标量微分方程类似，设 的形式为的形式为式中式中 为待定的矩阵，由方程与初始条件决定。为待定的矩阵，由方程与初始条件决定。现在学习的是第7页，
7、共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化现在学习的是第8页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化所以，所以，又因为标量指数定义为又因为标量指数定义为所以，定义所以，定义矩阵指数矩阵指数矩阵指数矩阵指数为为 。现在学习的是第9页，共49页 矩阵指数的性质：矩阵指数的性质：矩阵指数的性质：矩阵指数的性质：1、可逆性、可逆性证明：证明：现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化2、分解性、分解性证明：证明：3、传递性、传递性证明：证明：说明矩阵指数是非奇异的说明矩阵指数是非奇异的现在学习
8、的是第10页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化 的性质：的性质：的性质：的性质：性质性质2.性质性质1.性质性质3.若矩阵若矩阵A、B可交换，即可交换，即 ，则，则 。性质性质4.性质性质5.若矩阵若矩阵A为对角阵，即为对角阵，即 ，那么那么 也是对角阵，且也是对角阵，且 。现在学习的是第11页，共49页3.2 矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法 在此我们考虑初始时间在此我们考虑初始时间t0=0，则，则现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化1、根据矩阵指数的定义求解、根据矩阵指数的定义求解 对于线性定常系统而言
9、，其矩阵指数为对于线性定常系统而言，其矩阵指数为 ，求解矩阵指数的方法有四种。求解矩阵指数的方法有四种。2、用拉氏反变换法求解、用拉氏反变换法求解证明：证明：现在学习的是第12页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化 根据根据凯利凯利凯利凯利-哈密尔顿定理哈密尔顿定理哈密尔顿定理哈密尔顿定理：3、将、将 化为化为A的有限多项式来求解的有限多项式来求解设设A是一个方阵，是一个方阵，是它的特征多项式，则必有是它的特征多项式，则必有 。也就是每一个方阵也就是每一个方阵A都满足自己的特征方程。都满足自己的特征方程。特征方程：特征方程：则则即即 可可用用A的的
10、(n-1)项项多多项项式式之之和和来来表表示示，而而 等等均均可可表示成表示成A的的(n-1)次多项式的形式。所以，次多项式的形式。所以，现在学习的是第13页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(1)A的特征值的特征值 两两相异，则两两相异，则其其中中，按按A的的特特征征值值形形式式不不同同，分分为为以以下下两两种求法。种求法。现在学习的是第14页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(2)A的特征值为的特征值为 (n重根重根)，则，则现在学习的是第15页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统
11、的运动与离散化系统的运动与离散化4、通过非奇异变换法求解、通过非奇异变换法求解(1)当当A的特征值的特征值 为两两相异时，则为两两相异时，则式中式中P为使为使A化为对角规范型的变换矩阵。化为对角规范型的变换矩阵。证明：证明：现在学习的是第16页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化现在学习的是第17页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(2)A的特征值为的特征值为 (n重根重根)，则，则式中式中Q为使为使A化为约当规范型的变换矩阵。化为约当规范型的变换矩阵。现在学习的是第18页，共49页现代控制理论现代控
12、制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化例题例题3.1求求 时的矩阵指数时的矩阵指数 。(四种方法四种方法)解：解：现在学习的是第19页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化3.3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动 受受控控运运动动指指系系统统在在控控制制作作用用下下的的运运动动。数数学学表表征征为为非非齐齐次状态方程。即次状态方程。即结论：结论：结论：结论：若非齐次状态方程若非齐次状态方程 、的解存在，的解存在，则必具有如下形式：则必具有如下形式：当当 时，时，当当 时，时，现在学习的是第20页，共49页现代控制理论现代控
13、制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化两边取两边取 的积分，可得的积分，可得证明：证明：同理可得同理可得零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应现在学习的是第21页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化例题例题3.2系统状态方程系统状态方程 ，式中，式中 为单位阶跃函数，求状态方程的解。为单位阶跃函数，求状态方程的解。(t0)解：解：现在学习的是第22页，共49页 离离散散系系统统即即采采样样控控制制系系统统，其其数数学学描描述述在在时时间间变变量量上上是是不不连连续续的的，因因此此被被称称为为离离散散时时间间系系统统。在在经经典典控
14、控制制理理论论中中，线线性性定常离散系统的数学描述分为以下两种形式：定常离散系统的数学描述分为以下两种形式：现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化3.4 线性定常离散系统的状态空间描述线性定常离散系统的状态空间描述离散系统差分方程描述形式：离散系统差分方程描述形式：离散系统差分方程描述形式：离散系统差分方程描述形式：离散系统脉冲传递函数描述形式：离散系统脉冲传递函数描述形式：离散系统脉冲传递函数描述形式：离散系统脉冲传递函数描述形式：现在学习的是第23页，共49页 系统的差分方程为系统的差分方程为1、差分方程的输入函数中不包含差分的情况、差分方程的输入函数中不
15、包含差分的情况现代控制理论现代控制理论一、将标量差分方程化为状态空间描述一、将标量差分方程化为状态空间描述(1)选取状态变量选取状态变量第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化现在学习的是第24页，共49页现代控制理论现代控制理论(2)列写一阶差分方程组及输出表达式列写一阶差分方程组及输出表达式第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化现在学习的是第25页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(3)列写状态空间描述列写状态空间描述现在学习的是第26页，共49页则线性定常离散系统的一般表示形式为则线性定常离散系统的一般表示形式为现代控制理
16、论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化图图3.1 线性定常离散系统方块图线性定常离散系统方块图单位单位延迟延迟系统结构图如图系统结构图如图3.1所示。所示。现在学习的是第27页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化2、差分方程的输入函数中包含差分的情况、差分方程的输入函数中包含差分的情况 系统的差分方程为系统的差分方程为(1)选取状态变量选取状态变量 状态变量的选择：使导出的一阶差分方程等式右边不状态变量的选择：使导出的一阶差分方程等式右边不 出现输入函数的差分项。出现输入函数的差分项。现在学习的是第28页，共49页其中，待定
17、系数其中，待定系数 的计算关系式为的计算关系式为现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化多设一个辅助变量为多设一个辅助变量为(2)列写一阶差分方程组及输出表达式列写一阶差分方程组及输出表达式现在学习的是第29页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(3)列写状态空间描述列写状态空间描述现在学习的是第30页，共49页 系统的脉冲传递函数为系统的脉冲传递函数为现代控制理论现代控制理论二、将脉冲传递函数化为状态空间描述二、将脉冲传递函数化为状态空间描述1、脉冲传递函数的极点为两两相异脉冲传递函数的极点为两两相异第第3章章 系
18、统的运动与离散化系统的运动与离散化 令令 为为 的互异极点，用部分分式法，则的互异极点，用部分分式法，则其中，其中，为待定系数，用留数定理可得为待定系数，用留数定理可得现在学习的是第31页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化则系统的状态空间描述为则系统的状态空间描述为现在学习的是第32页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化2、脉冲传递函数的极点为重极点、脉冲传递函数的极点为重极点 令令 为为 的的n重极点，用部分分式法，则重极点，用部分分式法，则其中，其中，为待定系数，用留数定理可得为待定系数，用留数定
19、理可得现在学习的是第33页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化则系统的状态空间描述为则系统的状态空间描述为现在学习的是第34页，共49页例题例题3.3例题例题3.4现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化解：解：3.3 3.4现在学习的是第35页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化3.5 线性定常离散系统状态方程求解线性定常离散系统状态方程求解 离离散散系系统统受受控控运运动动，即即离离散散时时间间状状态态方方程程求求解解，主主要要有有两种方法：一是矩阵差分方程迭代法；二
20、是两种方法：一是矩阵差分方程迭代法；二是Z变换法。变换法。1、迭代法迭代法 已知线性定常离散系统状态方程为已知线性定常离散系统状态方程为给定给定 时的初始状态时的初始状态 ，以及，以及 时的时的 ，对于对于k0，则，则 现在学习的是第36页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化对于解对于解 的的讨论：讨论：讨论：讨论：(1)解解的的表表达达式式的的状状态态轨轨线线是是状状态态空空间间中中的的一一条条离离散散轨轨线线，它它与与连连续续系系统统状状态态方方程程的的解解类类似似。该该解解可可分分为为两两部部分分，一一部部分分只只与与系系统统的的初初始始状状
21、态态有有关关，是是由由初初始始状状态态引引起起的的自自由由运运动动分分量量；另另一一部部分分是是由由输输入入的的各各次次采采样样信信号号引引起起的的受受控控分分量量，其其值值与与控控制制作作用的大小、性质及系统结构有关。用的大小、性质及系统结构有关。(2)在输入引起的响应中，第在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此个时刻的状态只取决于所有此 时刻前的输入采样值，与第时刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关。个时刻的输入采样值无关。现在学习的是第37页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化(3)线性定常离散系统的解线性定常离散系统的
22、解 与连续系统的解与连续系统的解 对照，可知离散系统的状态转移矩阵对照，可知离散系统的状态转移矩阵 ，并满足，并满足现在学习的是第38页，共49页2、Z变换法变换法现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化 已知线性定常离散系统状态方程为已知线性定常离散系统状态方程为对状态方程两边进行对状态方程两边进行Z变换，得变换，得然后取然后取Z反变换，得反变换，得与与 比较，有比较，有 现在学习的是第39页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化例题例题3.5已知已知 ，式中，式中 ，用迭代法和用迭代法和Z变换法求解。变换法求解。现
23、在学习的是第40页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化3.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化 随随着着技技术术的的不不断断进进步步，计计算算机机进进入入控控制制领领域域，它它不不仅仅作作为为计计算算工工具具对对连连续续系系统统的的状状态态方方程程求求解解，而而且且作作为为控控制制手手段段对对连连续续受受控控对对象象进进行行计计算算机机控控制制。因因此此，为为了了适适应应计计算算机机的的工作，我们要将连续系统进行离散化。如图工作，我们要将连续系统进行离散化。如图3.2所示。所示。图图3.2 典型采样系统方块图典型采样系统方块图现在学习的是第
24、41页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化系统离散化的原则：系统离散化的原则：系统离散化的原则：系统离散化的原则：系统离散化的方法：系统离散化的方法：系统离散化的方法：系统离散化的方法：已知连续系统的动态方程为已知连续系统的动态方程为 在在每每个个采采样样时时刻刻 (、T为为采采采采样样样样周周周周期期期期)，系系统统离离散化前后的散化前后的 、保持不变。保持不变。在在 时时刻刻对对 值值采采样样得得到到 ，并并通通过过零零零零阶阶阶阶保保保保持持持持器器器器，使使 的值在的值在 时间段保持不变，都等于时间段保持不变，都等于 。离散化后的系统方程为
25、离散化后的系统方程为现在学习的是第42页，共49页现代控制理论现代控制理论一、时域中线性连续系统离散化一、时域中线性连续系统离散化第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化定理：定理：定理：定理：线性定常系统线性定常系统 ，其离散化方程为，其离散化方程为 式中式中G、H、C、D为常数阵，为常数阵，且且 。证明：已知线性定常系统状态方程的解证明：已知线性定常系统状态方程的解令令 ，则，则求求 时的解，即时的解，即 ，则，则现在学习的是第43页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化令令与与 比比较较，可可知知，但但 不不知知，又又因因为为采采用用零
26、阶保持器，所以零阶保持器，所以 可看作常数，即可看作常数，即 。变量代换法，令变量代换法，令现在学习的是第44页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化例题例题3.6已已知知系系统统框框图图如如图图3.3所所示示，求求系系统统开开环环、闭闭环环离离散散化化状状态态方程。方程。图图3.3 系统方块图系统方块图解：解：系统开环的状态空间描述为系统开环的状态空间描述为现在学习的是第45页，共49页现代控制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化将其代入将其代入 中，得中，得 系统闭环的离散化方程为系统闭环的离散化方程为所以，系统开环的
27、离散状态方程为所以，系统开环的离散状态方程为现在学习的是第46页，共49页现代控制理论现代控制理论二、频域中线性连续系统离散化二、频域中线性连续系统离散化第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化方法：方法：方法：方法：求出系统的脉冲传递函数，将脉冲传递函数直接列写求出系统的脉冲传递函数，将脉冲传递函数直接列写 为离散的状态空间描述。为离散的状态空间描述。例题例题3.7同例题同例题3.6，系统如下图所示，求系统离散化状态空间描述。，系统如下图所示，求系统离散化状态空间描述。解：解：以开环系统为例，先求系统的传递函数为以开环系统为例，先求系统的传递函数为现在学习的是第47页，共49页现代控
28、制理论现代控制理论第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化按按照照脉脉冲冲传传递递函函数数求求状状态态空空间间描描述述的的方方法法，求求出出离离散散化化状态空间描述为状态空间描述为系统的脉冲传递函数为系统的脉冲传递函数为现在学习的是第48页，共49页1、线性定常系统的运动、线性定常系统的运动(自由运动自由运动自由运动自由运动、受控运动受控运动受控运动受控运动)；2、线性定常离散系统的状态空间描述建立、线性定常离散系统的状态空间描述建立(差分方程差分方程差分方程差分方程、脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数)及状态方程求解及状态方程求解(迭代法、迭代法、Z Z变换法变换法变换法变换法)；3、线性连续系统、线性连续系统离散化离散化离散化离散化。现代控制理论现代控制理论本章小结本章小结第第3章章 系统的运动与离散化系统的运动与离散化离散化离散化现在学习的是第49页，共49页