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1、流体力学第四章动力学流体力学第四章动力学你现在浏览的是第一页，共73页图 3-10 流场中的微元平行六面体你现在浏览的是第二页，共73页4-1 4-1 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图4-1所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于 由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面
2、上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为你现在浏览的是第三页，共73页图 4-1 推导欧拉运动微分方程用图你现在浏览的是第四页，共73页p图2-4 微元平行六面体x方向的受力分析你现在浏览的是第五页，共73页 略去二阶以上无穷小量后，分别等于知识点链接 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为：你现在浏览的是第六页，共73页 作用在流体微团上的外力除静压力外，还有质量力。若流体微团的平均密度为，则质量力沿三个坐标轴的分量为：处于运动状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：例如，对于x方向，则为 你现在浏览的是第七页，共
3、73页整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量dxdydz则得你现在浏览的是第八页，共73页 3-5 3-5 理想流体微元流束的伯努利方程理想流体微元流束的伯努利方程 一、理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程 1.公式推导公式推导 理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。你现在浏览的是第九页，共73页 因此式(4-2)可写成 (4-3)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式
4、（4-3）的第一式、第二式和第三式，则可得到你现在浏览的是第十页，共73页逐项积分：你现在浏览的是第十一页，共73页 假设质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(4-6)可写成 又假设为不可压缩均质流体，即=常数，积分后得 或 (4-7)式（4-7）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。你现在浏览的是第十二页，共73页 该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（4-6）也可写成 (4-7)在特殊情况下，绝对静止流体u=
5、0，由式(4-7)可以得到静力学基本方程 你现在浏览的是第十三页，共73页2.方程的物理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1 1）物理意义）物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端你现在浏览的是第十四页，共73页 前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即 第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(g)表示单位重量流体的压强势能；第三项u2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)即(mV2/2
6、)/(mg)=V2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。你现在浏览的是第十五页，共73页 2 2）几何意义图）几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/
7、(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项u2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如4-2所示。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。你现在浏览的是第十六页，共73页图 4-2 总水头线和静水头线你现在浏览的是第十七页，共73页你现在浏览的是第十八页
8、，共73页二、由功能原理推导恒定流实际液体的能量方程二、由功能原理推导恒定流实际液体的能量方程 如图4-3：在恒定流中取一段元流，任截取其中断面与断面之间的流段来研究，各参数标于图上。据功能原理，外力对物体所做的功等于物体动能的增量。动能的增量 由于是恒定流，在时段内，这部分的质量和各点流速都没有变化，即动能的变化为零，所以整个流段的动能增量可看作是段的动量和段动能的差值。因为流体不可压缩：d你现在浏览的是第十九页，共73页返回本章首页图4-3你现在浏览的是第二十页，共73页这块水体的质量：因为体积微小，可以认为和各点流速是均布的，分别为 、，则动能的增量为：(4.8)外力作功a表面力作功（包
9、括动水压与摩擦阻力作功）断面和上的动水压力与水流方向平行，所以要做功；而元流侧壁上的动水压力由于与流动方向相垂直，所以不做功，两断面上动水压力所做的功为：(4.8)你现在浏览的是第二十一页，共73页 液流的摩擦阻力由于与流动方向相反，所以对液流做负功，以表示摩阻力对单位重量的液流所做的功，则对重为dV的水体来说，摩阻力所做的功是：b质量力作功（作用在液体上的质量力只有重力）重力作功可视为从移至时重力所做的功，因而重力作功 （重力做正功）(4.9)应用功能原理得 (4.10)两边除以 ，并移项得 (4.11)单位重量不可压缩的实际液体恒定元流能量方程你现在浏览的是第二十二页，共73页三、渐变流用
10、渐断面压强分布规律三、渐变流用渐断面压强分布规律1.渐变流与急变流渐变流（缓变流）：在实际水流中，若流线之间的夹角很小而近于平行或流线弯曲的曲率很小，流速在大小和方向上都变化很缓慢，这种流动称之为缓变流。反之，则称为急变流。2.渐变流过水断面上动水压强的分布规律渐变流和急变流的比较，最大的差别是动水压强分布规律不同。对渐变流，在缓变流过水断上任一两相邻流线间取一微分柱体（如图4-4）作用在该微小柱体上的力：表面力：柱体两端的动水压强和；与柱体轴nn垂直的柱体侧面的动水压强；柱体侧面和两端的摩擦力，（垂直于nn轴）。质量力：只有重力你现在浏览的是第二十三页，共73页图4-4你现在浏览的是第二十四
11、页，共73页 因为渐变流的流线是几乎平行的直线，则沿n向的加速度 ，于是，微小液柱沿n向的运动方程为：(4.12)整理得：(4.13)积分（4.13）得：（4.14）上式说明，缓变流过水断面方向上 。但沿流程各断面的势能不可能是同一常数，这是由于液流摩阻力耗能，运动过程中一部分势能转化为其它形式的能。在急变流断面上，由于流线弯曲大或相互不平行，在过水断面向上存在离心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而断面上各点的单位势能不等于常数。你现在浏览的是第二十五页，共73页四、恒定总流能量方程四、恒定总流能量方程 如图4-4所示，元流的流量 （4.15）则 时段流过元流的液体重量为：(4.16)因为元
12、流能量方程：表示元流单位重量液体的能量守恒关系，对元流能量方程两边都乘上 后，可得时段 内，通过元流总的能量守恒关系为：（4.17）总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2上分，便得到时段内通过总流的液体的你现在浏览的是第二十六页，共73页能量守恒关系为:(4.18)总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2上积分，便得到 时段内通过总流的液体的能量守恒关系为：(4.19)设总流的流量为，则时段通过总流的液体重量为 ，将上式除以 ，即得：你现在浏览的是第二十七页，共73页 单位时间内通过总流的单位液体重量的能量关系（4.20）共含三种类型积分：1 总流过水断面上的平均单位
13、势能若取过水断面均为均匀流或渐变流，则断面上 故：（4.21）（4.20）你现在浏览的是第二十八页，共73页 总流过水断面上的平均单位动能 取断面平均流速 ，并引入修正系数 ，则：（4.22）其中：值是大于的数，其大小取绝于断面上的流速分布不均匀程度。总流断面与之间能量损失的平均值。用 表示该值，则：(4.23)：总流水头损失。将以上各积分结果代入（4.21）得：（4.24）你现在浏览的是第二十九页，共73页4-3 4-3 伯努利（伯努利（BernoulliBernoulli）方程的应用）方程的应用 理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用
14、最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。一、皮托管一、皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图4-5所示。在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端你现在浏览的是第三十页，共73页VBAZZ图 4-5 皮托管测速原理你现在浏览的是第三十一页，共73页 开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到
15、阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有 则 (4-25)你现在浏览的是第三十二页，共73页 式（4-25）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(4-25)计算出的要小，因此，实际流速为 (4-26)式中 流速修正系数，一般由实验确定，=0.97。如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上
16、的液面差来求得流速，如图4-6所示，则 用式(4-26)，则得 （4-27）你现在浏览的是第三十三页，共73页图 4-6 用皮托管和静压管测量气体流速你现在浏览的是第三十四页，共73页 考虑到实际情况，(4-27a)在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图4-7所示。图中1点为总压测点，2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由式(4-26)求得测点的流速。皮托-静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如图4-8所示。你现在浏览的是第三十五页，共73页图 4-8 皮托-静压管你现
17、在浏览的是第三十六页，共73页图 4-9 皮托-静压管构造及连接方式你现在浏览的是第三十七页，共73页 二、文特里二、文特里(Venturi)流量计流量计 文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图3-20所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 (4-28)由流动连续性方程 (4-29)你现在浏览的是第三十八页，共73页图4-10 文特里流量计原理图你现在浏览的是第三十九页，共73页 将式(4-29)代入
18、到式(4-28)，整理得 (4-30)由流体静力学 (4-31)将式(4-31)代入到式(4-30)，则 (4-32)式(4-32)表明，若液，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度。流量为：(4-33)你现在浏览的是第四十页，共73页 考虑到实际情况 (4-34)式中Cd为流量系数，通过实验测定。文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同，不再叙述。三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量
19、)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：你现在浏览的是第四十一页，共73页 (1)弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流 动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。(2)选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。(3)选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基
20、准面必须选为水平面。(4)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。(5)有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压强，又取同一有效截面上另一点的速度。例题例题4-14-1例题例题4-24-2你现在浏览的是第四十二页，共73页4-5 4-5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动
21、的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。一、恒定总流的动量方程一、恒定总流的动量方程 将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即你现在浏览的是第四十三页，共73页 设不可压缩流体在管中作定常流动，如图3-19所示。取有效截面1-1和2-2之间的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别和，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过dt时间后从位置1-2流到1-2。与此同时，流
22、段的动量发生了变化，其变化等于流段在1-2和1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2-2段的动量和1-1段的动量之差。(3-63)你现在浏览的是第四十四页，共73页图 4-11 推导动量方程用图你现在浏览的是第四十五页，共73页 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。根据实验测定值约为1.021.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 1。于是上式可改写成 (3-64)根据不可压流体一维流动总流的
23、连续性方程，流过截面1-1的流量和流过截面2-2的流量相等，即 或 （3-65）方程(3-46)就是不可压缩流体定常流动的动量方程 你现在浏览的是第四十六页，共73页 把上式写成分量形式为 (3-66)管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式(3-47)可知，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。由于动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。你现
24、在浏览的是第四十七页，共73页二、动量方程的应用二、动量方程的应用1液流对弯管的作用力 一渐缩弯管如图所示，求管壁所受到的流体作用力 （不计阻力），设弯管水平放置，为已知。(如图3-23)解：由题意，因弯管水平放置，故不考虑重力作用。对截面、写伯诺里方程，求出 即 取求水平面上的坐标轴xoy，应公式（3.66）设管壁对水流的作用力为，则有：你现在浏览的是第四十八页，共73页同理：则：的作用点：如图所示：的方向与同，并过 、的交点，又 也近似过此交点，形成一汇交力系，故 也过此点，通过该交点并与轴相交角的直线即为为的作用线，从而可得的作用点。2求水流对挡水构物的作用力(如图3-24)如图为一滚水
25、坝，上游水位因坝的阻当而抬高，测得的水深为1.5m,下游水深为0.6m。略去水头损失，求水流对米坝宽的水平作用力。你现在浏览的是第四十九页，共73页3射流对曲面壁的冲击力 如图3-25所示，射流沿方向水平射出，冲击到曲面壁后，即沿两个方向分流，这两个分流与原来流动的方向成 和 角度。在主射流中取断面：（渐变流）在分射流中取断面，；相应各量标于图上：沿方向写其动量方向，则：即 式中 为曲面对射流的反作用力的合力 射流对平面壁的冲击力 如图3-26所示，则 即有 或 方向向右 射流对固定曲面壁的冲击力你现在浏览的是第五十页，共73页 如图3-27（a），若略去水头损失及忽略重力的情况下，在对称时有
26、 ，设沿方向的总动量方程 若 时，如图3-27（b）所示，即 （为主射流断面面积）上式说明，时，射流冲击力为平面壁射流冲击力的2倍。你现在浏览的是第五十一页，共73页应用动量方程时应注意以下问题：1.先选坐标轴，并标明坐标轴的指向；2.计算动量增量时，一定是流出的动量减流进的动量;3.所选过水断面，应符合渐变流条件，即；4.外力包括重力和表面力（两端的液流压力及固体边壁对液流的压力），固体边界附近的液流阻力常忽略不计。5.用动量方程时，常采用相对压强计算。例题例题3-63-6回到总目录回到总目录返回本章首页你现在浏览的是第五十二页，共73页图图3-233-23你现在浏览的是第五十三页，共73页
27、图3-24你现在浏览的是第五十四页，共73页图3-25 图3-26你现在浏览的是第五十五页，共73页 图3-27你现在浏览的是第五十六页，共73页【例例4-1】有一贮水装置如图4-12所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。【解解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本你现在浏览的是第五十七页，共73页 方程求出值 则 代入到上式 （m/s）v 所以管内流量 （m3/s）你现在浏览的是第
28、五十八页，共73页图 4-12你现在浏览的是第五十九页，共73页 【例例4-2】水流通过如图4-13所示管路流入大气，已知形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。【解解】首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：则 (mH2O)列1-1和2-2断面的伯努利方程你现在浏览的是第六十页，共73页 由连续性方程：将已知数据代入上式，得 （m/s）管中流量 （m3/s）你现在浏览的是第六十一页，共73页图 4-13你现在浏览的是第六十二页，共73页例例4-3.如如图图所
29、示水管直径所示水管直径为为150mm,150mm,管出口管出口D D点的直点的直径径为为50mm50mm，求，求A A、B B、C C、D D各点的各点的压压强强。ABDC2m2m2m你现在浏览的是第六十三页，共73页解：由伯诺里方程：故：再由伯诺里方程：求得：同理可得：你现在浏览的是第六十四页，共73页例例题题44由一高位水池引出一条供水管路AB，如图所示。已知：流量Q0.034m3/s；管路直径D0.15m；压力表读数Pb4.9104N/m2；高度H20m，试计算水流在管路AB段的水头损失。你现在浏览的是第六十五页，共73页解：由伯诺里方程：代入伯诺里方程,可求得：你现在浏览的是第六十六页
30、，共73页例例题题45如图所示为测量风机流量常用的集流器装置示意图。其入口为圆弧形或圆锥形，已知直管内径D0.3m，气体重度a12.6N/m3，在距入口直管段过水断面22位置处安装静压测压管，测得h0.25m。试计算此风机的风量Q。你现在浏览的是第六十七页，共73页解：由伯诺里方程：代入伯诺里方程求得：据静力学基本方程求P2：你现在浏览的是第六十八页，共73页 【例例3-6】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，转角=600，如图4-8所示。求水对弯管作用力
31、F的大小 【解解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。1.根据连续性方程可求得：你现在浏览的是第六十九页，共73页图 4-8你现在浏览的是第七十页，共73页 (m/s)(m/s)v 2.列管道进、出口的伯努利方程 则得：(Pa)你现在浏览的是第七十一页，共73页 3.所取控制体受力分析 进、出口控制面上得总压力：（kN）（kN）壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(3-25)所示。4.写出动量方程 选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。沿x轴方向 你现在浏览的是第七十二页，共73页 则 （kN）沿y轴方向 （kN）管壁对水的反作用力 (kN)水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。你现在浏览的是第七十三页，共73页