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1、第第2章测量误差和测章测量误差和测量结果处理量结果处理现在学习的是第1页，共96页 2.1 误误 差差 一、误差 1真值A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或测量仪器进行无误差的测量。物理量的真值实际上是无法测得的，“理想”量具或测量仪器即测量过程的参考比较标准(计量标准)只是一个纯理论值。现在学习的是第2页，共96页 2指定值As 由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。例如指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原器的质量为1kg，指定
2、国家天文台保存的铯钟组所产生的特定条件下铯l33原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192 63l 770个周期的持续时间为1s(秒)等。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。现在学习的是第3页，共96页 3实际值A 实际测量中，不可能都直接与国家基准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值，比如如果更高一级测量器具的误差为本级测量器具误差的13到 ll0，就可以认为更高
3、一级测量器具的测得值(示值)为真值。现在学习的是第4页，共96页 4 标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定等于 它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。5示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。现在学习的是第5页，共96页 6测量误差 测量值与真值之间的差异，称为测量误差。测量误差的存在具有必然性和普遍性，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定范围内而不可
4、能完全加以消除。人们进行测量的目的，通常是为了获得尽可能接近真值的测量结果，如果测量误差超出一定限度，测量工作及由测量结果所得出的结论就失去了意义。在科学研究及现代生产中，认真对待测量误差，研究误差产生的原因，误差的性质，减小误差的方法以及对测量结果的处理等。现在学习的是第6页，共96页 7单次测量和多次测量 单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。显然，为了得知某一量的大小，必须至少进行一次测量。在测量精度要求不高的场合，可以只进行单次测量。单次测量不能反映测量结果的精密度，一般只能给出一个量的大致概念和规律。多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测
5、量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对校准等。现在学习的是第7页，共96页 8等精度测量和非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样的可靠性。现在学习的是第8页，共96页 二、误差的表示方法 1绝对误差 绝对误差定义为 式中x为绝对误差，x为测得值，A0为被测量真值。前面已提到，真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0，因而绝对误差更有实际意
6、义的定义是现在学习的是第9页，共96页 对于绝对误差，应注意下面几个特点：（1）绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同；（2）绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值；（3）测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。现在学习的是第10页，共96页 （4）对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误差定义为：式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称值）。与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号c表示：利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值：现在学习的是第11页，共96页 2相对误差 相对
7、误差用来说明测量精度的高低，又可分为：(1)实际相对误差 实际相对误差定义为 (2)示值相对误差 示值相对误差也叫标称相对误差，定义为 现在学习的是第12页，共96页 (3)满度相对误差 满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差 与测量仪器满度值(量程上限值)的百分比值 满度相对误差也叫作满度误差和引用误差，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值现在学习的是第13页，共96页 例 某电压表s1.5，试算出它在0V100V量程中的最大绝对误差。解：在0Vl00V量程内上限值xm100V，现在学习的是第14页，共96页 一般讲，测量仪器在同一量程内不同示值处的绝对误差实际上未必处处相
8、等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于xm，人们把这种处理叫作误差的整量化。为了减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值能接近满度值，一般以示值不小于满度值的23为宜。现在学习的是第15页，共96页 而测得值分别为100 A、80 A、20 A时的示值相对误差各不相同，分别为 例2 某1.0级电流表，满度值xml00uA，求测量值分别为x1100 uA，x280uA，x3 20uA 时的绝对误差和示值相对误差。解：绝对误差现在学习的是第16页，共96页 (4)分贝误差 在电子测量中还常用到分贝误差。分贝
9、误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au的测得值为 现在学习的是第17页，共96页用对数表示为Gx称为增益测得值的分贝值。设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA，有现在学习的是第18页，共96页由此得到式中 显然与增益的相对误差有关，可看成相对误差的对数表现形式，称之为分贝误差。令 ，则若测量的是功率增益，试证明分贝误差定义为现在学习的是第19页，共96页 例4 某电压放大器，当输入端电压Ui1.2mV时，测得输出电压Uo6 000mV，设Ui误差可
10、忽略，Uo的测量误差 ，求：放大器电压放大倍数的绝对误差 ，相 对误差 及分贝误差 。解：电压放大倍数现在学习的是第20页，共96页电压分贝增益输出电压绝对误差因忽略Ui误差，所以电压增益绝对误差电压增益相对误差现在学习的是第21页，共96页压增益分贝误差实际电压分贝增益现在学习的是第22页，共96页2.2 测量误差的来源测量误差的来源 一、仪器误差 仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差还可细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数
11、误差及数字式仪表的量化误差(l个字误差)；现在学习的是第23页，共96页 仪器内部噪声引起的内部噪声误差；元器件疲劳、老化及周围环境变化造成的稳定误差；仪器响应的滞后现象造成的动态误差；探头等辅助设备带来的其他方面的误差。现在学习的是第24页，共96页 二、使用误差 使用误差又称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。比如有些设备要求正式测量前进行预热而未预热；有些设备要求水平放置而倾斜或垂直放置；有的测量设备要求实际测量前须进行校准(例如：普通万用表测电阻时应校零，用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等)而未校准。减小使用误差的最有效途径是提高测量操作技能，严格按照仪器使用说明
12、书中规定的方法步骤进行操作。现在学习的是第25页，共96页 三、人身误差 人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。比如指针式仪表刻度的读取，谐振法测量L、C、Q时谐振点的判断等，都很容易产生误差.减小人身误差的主要途径有：提高测量者的操作技能和工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字式显示的客观读数以避免指针式仪表的读数视差等。现在学习的是第26页，共96页 四、影响误差 影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对电子测量而言，最主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。当环境条件符合要求时，影响误差通常
13、可不予考虑。但在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。现在学习的是第27页，共96页 五、方法误差 所使用的测量方法不当，或测量所依据的理论不严密，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法误差也称作理论误差。例如当用于均值检波器测量交流电压时，平均值检波器输出正比于被测正弦电压的平均值U，而交流电压表通常以有效值U定度，两者间理论上应有下述关系：现在学习的是第28页，共96页 方法误差通常以系统误差(主要是恒值系统误差)形式表现出来。因为产生的原因是由于方法、理论、公式不当或过于简化等造成，因而在掌握了具体原
14、因及有关量值后，原则上都可以通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。对于内部带有微处理器的智能仪器，要做到这一点是不难的。现在学习的是第29页，共96页2.3 误差的分类误差的分类 一、系统误差 1、定义：在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。2、分类：如果系差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。现在学习的是第30页，共96页 系统误差的特征0现在学习的是第31页，共96页 3、特点：只要测量条件不变，误差即为确切的数值，
15、用多次测量取平均值的办法不能改变或消除系差，而当条件改变时，误差也随之遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性。标准电池的电动势随环境温度变化关系：结论：有规律可以遵循，故为系统误差，曲线特性不明显，细分为复杂规律系统误差。使用时需采取恒温措施。现在学习的是第32页，共96页 系统误差的来源：（1）测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等.（2）测量时的环境条件不符合基准条件，如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。（3）原理性误差，例如采用近似的测量方法或近似的计算公式等。（4）测量人员估计读数时习惯偏于某方向等原因所引起的
16、误差。结论：系统误差的存在影响了测量数据的准确度。现在学习的是第33页，共96页 二、随机误差 1、定义：随机误差，是指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差，又称偶然误差。现在学习的是第34页，共96页现在学习的是第35页，共96页电阻测量值的随机误差现在学习的是第36页，共96页 2、性质：（1）正误差出现了7次，负误差出现了6次，两者基本相等，正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性.（2）误差的绝对值介于(0，0.1)、(0.1，0.2)、(0.2，0.3)、(0.3，0.4)、(0.4，0.5)及大于0.5的个数分别为6、3、2、1
17、、2和1个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小。ui0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。（3）所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。现在学习的是第37页，共96页 3、产生随机误差的来源：（1）噪声、不稳定、摩擦、接触不良等；（2）温度、电源电压无规则波动，电磁干扰；（3）读数不稳定等。结论：随机误差体现了多次测量的精密度，随机误差小，则精密度高。现在学习的是第38页，共96页 三、粗大误差 1、定义：在一定的测量条件下，测量值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。2、性质：含有粗差的测得值称为
18、坏值，应当剔除不用，因为坏值不能反映被测量的真实数值。3、粗差的来源：（1）测量方法不当或错误。例如用普通万用表电压档直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等；现在学习的是第39页，共96页 （2）未按规程操作、测量操作疏忽和失误、读错读数或单位、记录及计算错误等；（3）测量条件的突然变化。电源电压突增或突降，雷电干扰，机械冲击。结论：粗差也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此应将含有粗差的测量数据剔除。现在学习的是第40页，共96页 误差的处理总则：粗差较易判断和处理外，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，需根据各自对测量结果的影响程度，作
19、不同的具体处理：（1）含有粗差的数据应当从结果中剔除；（2）系统误差远大于随机误差的影响，忽略随机误差，应采取措施降低系差或对测量值予以修正；（3）系差极小或已得到修正，此时基本上可按纯粹随机误差处理，取其算术平均值代替真值；（4）系差和随机误差相差不远，应分别按不同的办法来处理，然后估计其最终的综合影响。现在学习的是第41页，共96页 一、测量值的数学期望和标准差 1数学期望 设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为 2.4 随机误差分析随机误差分析现在学习的是第42页，共96页 式中x也称作样本平均值
20、。当测量次数 时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望式中Ex也称作总体平均值。假设上面的测得值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量值xi的绝对误差：现在学习的是第43页，共96页 随机误差的算术平均值：现在学习的是第44页，共96页 当 时，上式中第-项即为测得值的数学期望Ex，由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时，趋于零：即随机误差的数学期望等于零，得结论：大量测量值的数学期望等于被测量真值A。对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为因此将 作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。现在学习的是第45页，共96页 2剩余误差（代替真值可以获得时的绝对误差）当进
21、行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：对上式两边分别求和，有现在学习的是第46页，共96页 3方差与标准差 随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度，用方差来描述。因为随机误差 （假设没有系差和粗差），故 现在学习的是第47页，共96页 由于实际测量中 都带有单位(mV，uA等)，因而方差 是相应单位的平方，使用不甚方便。为了与随机误差 单位一致，取正平方根，得结论：标准差 反映了测量的精密度，小表示精密度高，测得值集中，大表示精密度低，测得值分散。现在学习的是第48页，共96页 对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值
22、后，测量结果的处理可按下述步骤进行：列出测量数据表；计算算术平均值 ，残差 及 ；计算 和 ；给出最终测量结果表达式：二、有限次测量下测量结果的表达现在学习的是第49页，共96页 例1 用电压表对某一电压测量10次，设已消除系统误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如 表试给出最终测量结果表达式。现在学习的是第50页，共96页 解：计算得到 ，表示 的计算正确。进一步计算得到：因此该电压的最终测量结果为 现在学习的是第51页，共96页2.5 系统误差分析系统误差分析 一、系统误差的特性 排除粗差后，测量误差等于随机误差 和系统误差 的代数和 假设进行n次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常缓
23、慢即 ，则 的算术平均值为现在学习的是第52页，共96页 当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，的算术平均值趋于零，于是得到 结论：（1）测量次数足够多时各次测量绝对误差的算术平均值等于系差；（2）多次测量取平均值无法消弱或降低系差的影响；（3）仔细分析系差产生的原因，根据所研究问题的特殊规律，依赖测量者的学识、经验，采取不同的处理方法。现在学习的是第53页，共96页 二、系统误差的判断 1理论分析法 凡属由于测量方法或测量原理引入的系差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系差，甚至计算出系差的大小.例用内阻不高的电压表测量高内阻电源电压就是一例。2校准和比对法 用准确度更高的测量仪器进行重复
24、测量以发现系差，测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值。现在学习的是第54页，共96页 3.改变测量条件法 系差常与测量条件有关，如果能改变 测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系差。4剩余误差观察法 剩余误差观察法是根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系差及系差类型。现在学习的是第55页，共96页 系统误差的判断现在学习的是第56页，共96页 三、消弱系统误差的典型测量技术 1零示法：把待测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。电位差计原理图现
25、在学习的是第57页，共96页 2替代法：又称置换法，在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量值。替代法测量电阻现在学习的是第58页，共96页 3补偿法：相当于部分替代法或不完全替代法。或谐振法测电容原理现在学习的是第59页，共96页接入Cx后有：比较两式得：仅接Cs时：补偿法测电容现在学习的是第60页，共96页 4.对照法：又叫交换法，适于在对称的测量装置中。对照法测电阻 现在学习的是第61页，共96页 如果 ，则有：和 (所以称为等臂电桥)（2）如果 ，则有：结论：（1）现在学习的是第62页，共96页 5.微差法：又叫虚
26、零法或差值比较法，实质上是一种不彻底的零示法，允许标准量s与被测量x的效应不完全抵消，而是相差一微小量 测得，x-s，即可得到待测量：由于 ，所以 ，又由于 ，所以结论：的准确度取决于标准量s的准确度。现在学习的是第63页，共96页 2.6 系统误差的合成系统误差的合成 一、误差的综合 设最终测量结果为y，各分项测量值为 (分项测量值可以是单台仪器中各部件的标称值，如上述电桥中的 和 ，也可以是间接测量中各单项测量值，如上述功率测量中的U、I或U、R或I、R)，它们满足函数关系现在学习的是第64页，共96页 并设各xi间彼此独立，xi绝对误差为 xi，y的绝对误差为 y，则将上式按泰勒级数展开
27、现在学习的是第65页，共96页略去上式右边高阶项，得现在学习的是第66页，共96页 当中各分项的符号不能确定时，通常采用保守的办法计算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加 也可以用相对误差形式表示总的合成误差现在学习的是第67页，共96页 同样，当各分项符号不明确时，为可靠起见，取绝对值相加现在学习的是第68页，共96页 二、常用函数的合成误差 1和差函数的合成误差 设当x1、x2符号不能确定时，有现在学习的是第69页，共96页相对误差 或者写成现在学习的是第70页，共96页对于和函数，得 对于差函数现在学习的是第71页，共96页 例1 电阻R11k，R22k，相对误差均为5，求串联后总的相对
28、误差。解：串联后电阻串联后电阻的相对误差现在学习的是第72页，共96页 2积函数的合成误差 设 ，绝对误差相对误差 若 都有正负号，则现在学习的是第73页，共96页 例3 已知电阻上电压及电流的相对误差分别为 ，计算功率，则户的相对误差是多少?解：积函数误差合成公式得现在学习的是第74页，共96页 3商函数的合成误差 设 绝对误差分别为 ，绝对误差 现在学习的是第75页，共96页若 都带有正负号，则相对误差现在学习的是第76页，共96页 例4 用间接法测电阻上直流电流。已知电阻lk，标称值相对误差 ，电压表测得该电阻端电压U2.0V，相对误差 。求流过该电流I及其相对误差。解得相对误差现在学习
29、的是第77页，共96页 4.幂函数的合成误差 设 为常数，将积函数的合成误差公式略加推广得当 带有正负号时现在学习的是第78页，共96页 例5 电流流过电阻产生的热量Q0.24I2Rt，若已知 求 。解：现在学习的是第79页，共96页 5积商幂函数的合成误差 设 ，式中k、m、n、p均为常数，综 合上述各函数合成误差公式，直接得到当 都有正负号时，有现在学习的是第80页，共96页 例6 用电桥法测电阻，已知 ，各电阻绝对误差均为正值：，求测得量值的相对误差 。解：各已知电阻的相对误差为现在学习的是第81页，共96页 由于这里各误差符号均为已知，得现在学习的是第82页，共96页 如果仅知道 ，则
30、应引用误差合成公式，有现在学习的是第83页，共96页2.7 测量数据的处理测量数据的处理 一、有效数字的处理 1有效数字 若末位数字是个位，则包含的绝对误差值不大于0.5，若末位是十位，则包含的绝对误差值不大于5，对于其绝对误差不大于末位数字一半的数，从它左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字(包括零)止，都叫做有效数字。现在学习的是第84页，共96页 例如：3.1416 五位有效数字，极限(绝对)误差0000 05 3.142 四位有效数字，极限误差0.000 5 8 700 四位有效数字，极限误差0.5 87102 二位有效数字，极限误差0.5102 0.087 二位有效数字，极限误
31、差0.000 5 0.807 三位有效数字，极限误差0.000 5 现在学习的是第85页，共96页 2.多余数字的舍入规则 对测量结果中的多余有效数字，应按下面的舍入规则进行：小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则。例1 将下列数字保留到小数点后一位：l234，l236，l235，l245。解：1234 l23 (45，进1)l235 l24 (3是奇数，进1)1245 124 (4是偶数，舍去)现在学习的是第86页，共96页 例2 用一台0.5级电压表100V量程档测量电压，电压表指示值为85.35V，试确定有效位数。解：该表在100V档最大绝对误差绝对误差为0.5V，测量结果末位应是个位
32、，也就是保留2位有效数字，测量结果的报告值为：现在学习的是第87页，共96页 利用修正值等办法，对测得值进行修正，将已减弱恒值系差影响的各数据 依次列成表格。求出算术平均值 列出残差 ，并验证二、等精度测量结果的处理现在学习的是第88页，共96页 按以 的原则，检查和剔除粗差，如果存在坏值，应当剔除不用，而后从开始重新计算，直到所有 为止。列出 ，按贝塞尔公式计算标准偏差(实际上是标准偏差 的最佳估计值 )：现在学习的是第89页，共96页 判断有无系统误差，如有系差，应查明原因，修正或消除系差后重新测量。算出算术平均值的标准偏差(实际上是其最佳估计值)：写出最后结果的表达式，即 现在学习的是第
33、90页，共96页 例1 对某电压进行了16次等精密度测量，测量数据中已计入修正值，列于表，要求给出包括误差在内的测量结果表达式。现在学习的是第91页，共96页现在学习的是第92页，共96页 解：求出算术平均值 计算 ，并列于表中。计算标准差(估计值)：现在学习的是第93页，共96页 按着 判断有 ，查表中第5个数据 ，应将 视为坏值加以剔除，现剩下15个数据。重新计算剩余15个数据的平均值：重新计算各残差 列于表中。重新计算标准差现在学习的是第94页，共96页 按 再判有无坏值，各 均小于 ，则认为剩余15个数据中不再含有坏值。对 作图，判断有无变值系差，从图中可见无明显累进性或周期性系差.计算算术平均值标准偏差(估计值)：写出测量结果表达式：现在学习的是第95页，共96页 的变化情况现在学习的是第96页，共96页