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1、材力 第七章 弯曲变形1第1页，本讲稿共36页771 1 概述概述2第2页，本讲稿共36页FFFF3第3页，本讲稿共36页一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。性质：性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。轴线方向的位移。用用“w w”表示。表示。w w=w=w（x x）挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用用“”表示。表示。=(x)=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。逆
2、时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系四、挠度和转角的关系w w=w=w（x x）上任一点处小变形小变形w w C 1xCwF4第4页，本讲稿共36页772 2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIM=r1EIM=)()(1xxr（1）二、曲率与挠曲线的关系：二、曲率与挠曲线的关系：（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得5第5页，本讲稿共36页挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、对变形的影响。使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。结论：挠曲线近似微分方程结论：
3、挠曲线近似微分方程wxM00)(xwMb时）确定挠曲线和转角方程应用位移边界条件和连续条件求积分常数X1=0,w1=0;x2=L,w2=0.X1=X2=a，w1=w2；w1=w2两端支座处的转角两端支座处的转角12第12页，本讲稿共36页讨论：讨论：1、此梁的最大转角。、此梁的最大转角。左左侧侧段：段：右右 侧侧 段：段：当当 ab 时时13第13页，本讲稿共36页2、此梁的最大挠度、此梁的最大挠度由图可见，当ab时，最大挠度发生在AC段，且最大挠度处的转角为零。已知得14第14页，本讲稿共36页 2、a=b 时时此梁的最大挠度和最大转角。此梁的最大挠度和最大转角。ABFCLab写出下列各梁变
4、形的写出下列各梁变形的边界条件和连续条件边界条件和连续条件1C截面稍左截面稍左2C截面稍右截面稍右ABFCL/2L/2EABC15第15页，本讲稿共36页774 4 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形1 1、载荷叠加：、载荷叠加：2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：、结构形式叠加（逐段刚化法）：一、前提条件：弹性、小变形。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每 个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。三、叠加法计算的两种类型：三、叠加法计算
5、的两种类型：16第16页，本讲稿共36页aaF=+例例1 1：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.解解、载荷分解如图、由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。aaqFA AC CA 载荷叠加法载荷叠加法：17第17页，本讲稿共36页、叠加aaqFA AC CA18第18页，本讲稿共36页=+L/2qFL/2ABC例例2：确定图示梁C截面的挠度和转角。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2qL/2L/2FL/219第19页，本讲稿共36页3、叠加L/2qFL/2ABC20第20页，本讲稿共36页+1w=FFFFw 结构形式叠加法（逐段刚化法结构形式叠加法（逐段刚化法)：21第
6、21页，本讲稿共36页=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa2/2（b）例例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。已知）。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加B B C Cq q（a）22第22页，本讲稿共36页例例：求图示梁C截面的挠度。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/23、叠加23第23页，本讲稿共36页24第24页，本讲稿共36页25第25页，本讲稿共36页例：例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上
7、下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求 B 截面的垂直位移。分析分析：B点的垂直位移由两部分组成，即：BA弯曲和CA杆扭转由A截面转角而引起。F FBwB1FBAC CMA=FLABwB2F26第26页，本讲稿共36页775 5 梁的刚度计算梁的刚度计算一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；w/L称为许用挠跨比。、校核刚度：、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）二、刚度计算二、刚度计算、确定外载荷。土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。27第27页，
8、本讲稿共36页三、提高梁的刚度的措施三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比成反比；跨长跨长梁的位移与跨长 L 的的 n 次幂成正比次幂成正比。28第28页，本讲稿共36页注意：注意：同类的同类的材料材料，“E E”值相差不多值相差不多，“u u”相差较大相差较大，故换用故换用同类材料只能提高强度，同类材料只能提高强度，不能提高刚度不能提高刚度。不同类的材料不同类的材料，“E”E”相差很多（钢相
9、差很多（钢E=200GPa,E=200GPa,铜铜E=100GPaE=100GPa），故可选用不同类的材料以达到），故可选用不同类的材料以达到提高刚度提高刚度的目的。的目的。但是改换材料，其但是改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变原料费用也会随之发生很大的改变！1、增大梁的抗弯刚度（、增大梁的抗弯刚度（EI）所以只能设法提高惯性矩所以只能设法提高惯性矩I，在截面积相等的情况下，选用面，在截面积相等的情况下，选用面积远离中性轴的截面形状，以增大惯性矩，从而降低弯曲刚度。积远离中性轴的截面形状，以增大惯性矩，从而降低弯曲刚度。29第29页，本讲稿共36页0.8a2a21.6a22a2zzD1
10、30第30页，本讲稿共36页PL/2L/2P=qLL/54L/5对称2、调整跨长和改变结构、调整跨长和改变结构方法方法同提高梁的强度的措施相同同提高梁的强度的措施相同31第31页，本讲稿共36页qLL/5qL/5qL/2L/232第32页，本讲稿共36页776 6 简单超静定梁的求解简单超静定梁的求解1 1、用多余约束反力代替多余约束（取相当系统，原则：便于计算）、用多余约束反力代替多余约束（取相当系统，原则：便于计算）2 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。L/2A AC CAqL/2B=L/2A AC CAqL/2BFcY分析步骤步骤33第33页，本讲稿共36页q q 0 0L LA AB BF FBYBY=、几何方程解解：、建立相当系统、由物理关系确定力的 补充方程求出多余反力=F FBYBY34第34页，本讲稿共36页、几何方程 解解：、建立相当系统例例：结构如图，求B点反力。L LBCBC、补充方程求出支反力FBYFBY35第35页，本讲稿共36页36第36页，本讲稿共36页