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1、第5章 线性参数最小二乘处理第1页，本讲稿共42页 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数估计中的应用。从而使学生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。教学目教学目标第2页，本讲稿共42页n n 最小二乘法原理n n 等精度测量线性参数的最小二乘处 理理n n 不等精度测量线性参数的最小二乘不等精度测量线性参数的最小二乘 处理处理n n 最小二乘估计量的精度估计n n 组合测量的最小二乘法处理重点与重点与难点点第3页，本讲稿共42页第一节最小
2、二乘原理 一、引入一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？第4页，本讲稿共42页直接求得。有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 。第一节最小二乘原理 讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。第5页，本讲稿共42页第一节最小二乘原理 二、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有由此得测量数据 的残余误差残差方程式第6页，本讲稿共42页第一节最小二乘原理 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概
3、率为第7页，本讲稿共42页第一节最小二乘原理 测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小第8页，本讲稿共42页等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最小二乘原理：第一节最小二乘原理 最小最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也适用）（其他分布也适用）测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第9页，本讲稿共42页第一节最小二乘原理 三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：残差方程为第10页，本讲稿
4、共42页第一节最小二乘原理 令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第11页，本讲稿共42页不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节最小二乘原理 思路一：思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第12页，本讲稿共42页第一节最小二乘原理 思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度则有：第13页，本讲稿共42页第二节正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程第14页，本讲稿共42页第二节正规方程 正规方
5、程：正规方程：特点：特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等第15页，本讲稿共42页看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成第二节正规方程 即正规方程的矩阵形式正规方程的矩阵形式第16页，本讲稿共42页第二节正规方程 将代入到中，得（待测量的无偏估计）第17页，本讲稿共42页第二节正规方程 例5.1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为。为获得时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。1010202030304040505060602000.362000.362000.722000.722000.82000.8
6、2001.072001.07 2001.482001.48 2000.602000.60解：1）列出误差方程令 为两个待估参量，则误差方程为第18页，本讲稿共42页第二节正规方程 按照最小二乘的矩阵形式计算则有：第19页，本讲稿共42页第二节正规方程 那么：第20页，本讲稿共42页第二节正规方程 二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：第21页，本讲稿共42页第二节正规方程 整理得：第22页，本讲稿共42页第二节正规方程 即不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得（待测量的无偏估
7、计）第23页，本讲稿共42页第二节正规方程 例5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：试求 的最可信赖值。解：首先确定各式的权第24页，本讲稿共42页第二节正规方程 令第25页，本讲稿共42页三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程第二节正规方程 针对非线性函数其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有第26页，本讲稿共42页将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得 ，进而可得 。近似值近似值第二节正规方程 第27页，本讲稿共42页第二节正规方程 为获得函数的展开式，必须首先确定 1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差
8、方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应的权分别为，则测量的误差方程为第28页，本讲稿共42页按照最小二乘原理可求得结论：结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。第二节正规方程 第29页，本讲稿共42页第三节精度估计 目的：给出估计量 的精度。一、测量数据精度估计一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计对 进行n次
9、等精度测量，得 的估计量。可以证明 是自由度（nt）的 变量。根据 变量的性质，有第30页，本讲稿共42页则可取第三节精度估计 作为 的无偏估计量。因此测量数据的标准差的估计量为第31页，本讲稿共42页第三节精度估计 B）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权测量数据的单位权标准差的无偏估计标准差的无偏估计第32页，本讲稿共42页第三节精度估计 二、最小二乘估计量的精度估计二、最小二乘估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计设有正规方程第33页，本讲稿共42页第三节精度估计 设利用上述不定乘数，可求得其中：第34页，本讲稿共42页第三节精度估计 由于 为等精度 的相互独立的正
10、态随机变量，则同理可得则相应的最小二乘估计值的标准差为第35页，本讲稿共42页B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计第三节精度估计 同理经推导可得：各不定乘数 由 求得：第36页，本讲稿共42页第四节组合测量的最小二乘处理 组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。ABCDABCD第37页，本讲稿共42页第四节组合测量的最小二乘处理 直接测量各组合量，得首先列出误差方程由此可得：第38页，本讲稿共42页第四节组合测量的最小二乘处理 则第39页，本讲稿共42页式中，现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，第四节组合测量的最小二乘处理 第40页，本讲稿共42页第四节组合测量的最小二乘处理 那么，测量数据 的标准差为第41页，本讲稿共42页第四节组合测量的最小二乘处理 已知则最小二乘估计量 的标准差为第42页，本讲稿共42页