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1、控制工程基础第三章时域分析法你现在浏览的是第一页，共84页控制工程基础时域分析方法的实质直接解系统的运动微分方程式时间域的微分方程拉氏变换复数域的代数方程复域解时域解拉氏反变换瞬态解瞬态解自由解自由解瞬态响应瞬态响应稳态解稳态解强迫解强迫解稳态响应稳态响应时域问题变换方法复域问题 控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。你现在浏览的是第二页，共84页3.1控制系统的时间响应控制系统的时间响应控制工程主要研究系统的零状态响应。控制工程主要研究系统的零状态响应。一一零状态响应和零输入响应零状态响应和零输入响应控制系
2、统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励而初始仅有激励而初始状态为零的响应状态为零的响应仅有初始状态而激仅有初始状态而激励为零时的响应励为零时的响应 若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。你现在浏览的是第三页，共84页系统的零状态响应系统的零状态响应等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式自然响应模式；第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位置，即输入信号的
3、性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。零状态响应为：设系统输入为：设系统传递函数为：设系统传递函数为：若若函函数数中中不不含含有有多多重重极极点点，可展成部分分式可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零状态响应的模式由零状态响应的模式由系统系统G（s）和输入）和输入u（s）的极点共同确定。的极点共同确定。你现在浏览的是第四页，共84页瞬态响应和稳态响应瞬态响应和稳态响应若若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，仍假定仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫
4、响应就是稳态响应。瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。二二 瞬态响应和稳态响应瞬态响应和稳态响应系统的完全响应系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着时间时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬态响应与态响应与G(s)和和u(s)都有关系。都有关系。当当G(s)和和u(s
5、)的极点都在的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于自然响域左半平面时，瞬态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。应与强制响应之和，稳态响应等于零。你现在浏览的是第五页，共84页系统的时间响应系统的时间响应你现在浏览的是第六页，共84页3.2控制系统时间响应的求解控制系统时间响应的求解一一基于传递函数的输出响应求解基于传递函数的输出响应求解实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程求系统的零状态响应，可按下列步骤进行：(1)设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换；(2)求解关于s的代数方程得输出响应的拉氏变换Y(s)；(3)对y(s)进行部
6、分分式展开；(4)取反变换后，得到y(t)。例例1已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为零。求系统已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为零。求系统的输出响应。的输出响应。解：根据传递函数定义有：阶跃输入的拉氏变换为：部分分式展开：你现在浏览的是第七页，共84页基于传递函数的输出响应求解基于传递函数的输出响应求解待定系数的求法：用乘上式两边，取spi的极限。注注注注意意意意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。结论：结论：结论：结论：系统极点决
7、定了系统瞬态响应的特性。系统极点决定了系统瞬态响应的特性。取反变换后，得到y(t)你现在浏览的是第八页，共84页系统的零点对响应的影响系统的零点对响应的影响可可见见，尽尽管管这这两两个个系系统统的的极极点点相相同同,但但由由于于零零点点不不同同,它它们们的的响响应应截截然不同，系统然不同，系统1有超调。有超调。例2已知两个系统的传递函数已知两个系统的传递函数单位阶跃响应分别为系统的零点影响系系统的零点影响系统响应曲线的形状。统响应曲线的形状。结论结论你现在浏览的是第九页，共84页3.3控制系统动态性能分析控制系统动态性能分析 控制系统必须具有良好的动态特性，从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并
8、且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制的核心工作。为了衡量系统的动态性能，同时能对不同系统的性能进行比较，通常采用单位阶跃函数作为测试信号。相应地，系统的响应称为单位阶跃响应。你现在浏览的是第十页，共84页任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成任何复杂信号都是由简单信号叠加而成的傅立叶级数傅立叶级数线性稳定系统响应输入的微分(积分)响应的微分(积分)输入脉冲函数阶跃函数加速度函数速度函数积分积分微分一、一、低阶系统的阶跃响应分析低阶系统的阶跃响应分析你现在浏览的是第十一页，共84页（一）一阶系统的阶跃响应举例特点：
9、有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。响应分析：时间常数你现在浏览的是第十二页，共84页一阶系统的脉冲响应单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以记系统的单位脉冲响应函数为g（t），那么00-0.0180.0184T-0.1350.1352T-0.3680.368T0t一阶系统时域指标：一阶系统对单位阶跃输入的响应达到稳态值的98%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。一阶系统对单位脉冲输入的响应达到初始值的2%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。你现在浏览的是第十三页，共84页一阶系统的时间响应分析练习：一阶系统的结构下图所示练习：一阶系统的结构下图所示.试求该系统单位阶试求
10、该系统单位阶跃响应的调节时间跃响应的调节时间 。如果要求。如果要求 秒秒,试求系统的试求系统的反馈系数应如何取值反馈系数应如何取值?图图 一阶系统结构图一阶系统结构图你现在浏览的是第十四页，共84页一阶系统的时间响应分析解：解：（1 1）写出闭环传递函数）写出闭环传递函数因此因此调节时间调节时间：(2)(2)现求满足现求满足 秒的反馈系数：秒的反馈系数：假设系统的反馈系数为假设系统的反馈系数为 ，由结构图写出闭环传递函数，由结构图写出闭环传递函数你现在浏览的是第十五页，共84页一阶系统的时间响应分析根据题意：根据题意：则：则：你现在浏览的是第十六页，共84页一阶系统的时间响应现将一阶系统的典型
11、输入响应归纳成下表：现将一阶系统的典型输入响应归纳成下表：现将一阶系统的典型输入响应归纳成下表：现将一阶系统的典型输入响应归纳成下表：你现在浏览的是第十七页，共84页一阶系统示例例：电气传感器例：电气传感器你现在浏览的是第十八页，共84页一阶系统示例例：电气传感器例：电气传感器你现在浏览的是第十九页，共84页一阶系统应用示例例：电气传感器例：电气传感器传递函数模型：传递函数模型：你现在浏览的是第二十页，共84页一阶系统应用示例电气传感器电气传感器你现在浏览的是第二十一页，共84页一阶系统应用示例温度控制系统的方温度控制系统的方框图模型框图模型你现在浏览的是第二十二页，共84页一阶系统示例机械系
12、统机械系统你现在浏览的是第二十三页，共84页一阶系统示例机械系统机械系统你现在浏览的是第二十四页，共84页一阶系统示例机械系统机械系统你现在浏览的是第二十五页，共84页一阶系统示例电路系统电路系统你现在浏览的是第二十六页，共84页一阶系统示例电路系统电路系统你现在浏览的是第二十七页，共84页一阶系统示例电路系统电路系统你现在浏览的是第二十八页，共84页二阶系统以二阶微分方程描述的控制系统，称为以二阶微分方程描述的控制系统，称为二阶系统二阶系统。你现在浏览的是第二十九页，共84页二阶系统你现在浏览的是第三十页，共84页二阶系统你现在浏览的是第三十一页，共84页(二)二阶系统的阶跃响应二阶系统结构
13、如图二二阶阶系系统统闭闭环环传递函数为传递函数为注意典型环节与系统典型环节与系统的联系与区别的联系与区别二阶系统开环传递函数为二阶系统开环传递函数为1.二阶系统的传递函数你现在浏览的是第三十二页，共84页2.二阶系统闭环极点的分布根据系统阻尼比的值，二阶系统有：由图可知你现在浏览的是第三十三页，共84页2.二阶系统闭环极点的分布你现在浏览的是第三十四页，共84页3.二阶系统的响应曲线系统在s左半平面上有一对共轭复数极点欠阻尼系统欠阻尼系统欠阻尼系统的瞬态响应是欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，正弦衰减振荡，衰减的快慢衰减的快慢与系统极点的负实部有关，与系统极点的负实部有关，距虚轴越远，衰减越
14、快；距虚轴越远，衰减越快；振荡频率振荡频率取决于极点的虚取决于极点的虚部。部。阻尼比阻尼比影响振荡的程影响振荡的程度度。注意注意极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率。你现在浏览的是第三十五页，共84页一一般般希希望望二二阶阶系系统统工工作作在在=0.40.8的的欠欠阻阻尼尼状状态态，因因为为这这个个工工作作状状态态有有一一个个振振荡荡特特性性适适度度而而持持续续时时间间较短的响应过程。称较短的响应过程。称=0.707为为最佳阻尼比最佳阻尼比。决决定定响响应应过过程程的的是是瞬瞬态态响响应应部部分分。选选择择合合适适的的响响应应过过程程实实际际上上就就是是选选
15、择择合合适适的的瞬瞬态态响响应应，也也就就是是选选择择合适的特征参数合适的特征参数 n与与的值。的值。3.二阶系统的响应曲线你现在浏览的是第三十六页，共84页3.二阶系统的响应曲线无阻尼系统有一对共轭虚极点，响应是等幅振荡曲线临界阻尼系统过阻尼系统两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联有两个负实数极点单调上升曲线单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快。随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s s平面原点，平面原点，其幅值越来越小，衰减越来越快；而另一个极点越来越其幅值越来越
16、小，衰减越来越快；而另一个极点越来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比1 1时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。你现在浏览的是第三十七页，共84页4.系统阶跃响应的特点分析响应特性响应特性与闭环极点与闭环极点位置有关位置有关响应的快慢与极点响应的快慢与极点距离虚轴的远近有关距离虚轴的远近有关阻尼比阻尼比和无阻尼自和无阻尼自然频率然频率n确定了系统确定了系统动态特性动态特性闭环极点具有负实部，时间趋
17、向无穷大时，瞬态响应趋于零，系统稳定。极点距离虚轴近，对应的响应模式衰减慢；距离越远衰减越快。阻尼比阻尼比确定了系统响应振荡特性响应平稳性。越小，响应振荡越剧烈；越大，响应越缓慢呆滞。无阻尼自然频率无阻尼自然频率n确定了系统瞬态响应过程时间的长短响应快速性。n越小，即时间常数T越大，响应就慢，反之，n越大，即时间常数T越小，响应就越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。共轭复数极点共轭复数极点：衰减正弦振荡曲线，系统稳定。负实数极点负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。共轭虚极点共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。你现在浏览的是第三十八页，共84页二、高阶系统的时域响应不失一般性，高
18、阶系统的闭环传递函数可表示为：当输入为阶跃当输入为阶跃函数时，输出可函数时，输出可表示为表示为：通过拉氏反变通过拉氏反变换，输出响应换，输出响应可表示为可表示为：你现在浏览的是第三十九页，共84页1.闭环主导极点 当某极点（一对共轭极点）离虚轴很近，其余极点实部之模大于该极点（该对共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极点对应的响应持续时间很短，系统输出响应可以近似地视为该极点（该对共轭极点）所产生，其余极点对应的响应可以忽略不计。该极点（该对共轭极点）称为系统的闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点附近没有闭环零点时，可以消去其他远远极点极点而实现对系统的降阶。须注意保持系统稳态增益不变。你现在
19、浏览的是第四十页，共84页2.偶极子假如某极点与某零点很近，那么由该极点产生的响应的将很小，因而该响应分量在全部响应中所占的“权重权重”也必然很小，可以忽略不计。这对零点和极点称为偶极子偶极子。高阶系统降阶时可以同时取消偶极子，但须注意保持系统稳态增益不变。你现在浏览的是第四十一页，共84页3.高阶系统降阶举例已知系统的闭环传递函数为：四个闭环极点为：单个闭环零点为：消去偶极子偶极子和远极点远极点后得到：你现在浏览的是第四十二页，共84页三、用Matlab求系统响应步骤1：启动Matlab你现在浏览的是第四十三页，共84页步骤2：设置工作文件路径你现在浏览的是第四十四页，共84页步骤3：打开文
20、件编辑窗口，输入、编辑文件并存盘。下图示例中传递函数为：你现在浏览的是第四十五页，共84页步骤4：运行文件，显示结果。你现在浏览的是第四十六页，共84页你现在浏览的是第四十七页，共84页例2降阶前后阶跃响应对比。你现在浏览的是第四十八页，共84页四、四、控制系统时域动态性能指标控制系统时域动态性能指标最大超调量:相对稳定性相对稳定性,响应平稳性响应平稳性,阻尼程度阻尼程度时时间间指指标标：响应的快速性。注意：响应的平稳性与快速性是相互矛盾的。你现在浏览的是第四十九页，共84页1.时域动态性能指标概念与定义时域动态性能指标概念与定义线性线性控制控制系统系统典型典型的单的单位阶位阶跃响跃响应曲应曲
21、线线延迟时间延迟时间td：系统阶跃响应达到稳态值50%所需的时间。上升时间上升时间tr：系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态值的90%所需的时间。你现在浏览的是第五十页，共84页1.时域动态性能指标概念与定义时域动态性能指标概念与定义峰值时间峰值时间tp：响应第一次到达最大峰值所需时间。调调节节时时间间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在稳态值%允许误差范围内的最小时间。%取稳态值的2%或5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时间、过渡过程时间。超超调调量量：又称最大超调量，反映系统响应振荡的剧烈程度。振荡次数振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。在上述指标中，调节时
22、间和超调量反映了对系统动态性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。你现在浏览的是第五十一页，共84页2.欠阻尼二阶系统时域性能指标计算欠阻尼二阶系统时域性能指标计算只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相应指标数值。延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间都是系统无阻尼自然频率和阻尼比的函数，当阻尼比给定时，系统自然频率越高，这些时间指标越短，系统响应越快。超调量仅仅是阻尼比的函数超调量仅仅是阻尼比的函数。进进一一步步思思考考的的问问题题：综合性能指标；高阶系统的降阶处理；速度反馈的作用；传递函数零点的影响；系统对输入信号的微分（积分）的响应，等于系
23、统对输入信号响应的微分（积分）。你现在浏览的是第五十二页，共84页自然响应模式的概念若输出函数中不含有多重极点，可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零零状状态态响响应应的的模模式式由由系系统统G(s)和和输输入入R(s)的的极极点点共共同同确确定定。式中，等号右边的第一项和式是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G(s)的极点在S平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自自然然响响应应模模式式，亦称为主主振振型型、主主模模态态；第二项和式是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励R(s)的极点在S平面的位置。但是待定系数Ck（留数）与G(s）和
24、R(s）的零点、极点分布都有关系。你现在浏览的是第五十三页，共84页自然响应模式的概念单重实数极点p单重共轭复数极点jr重实数极点pr重共轭复数极点j你现在浏览的是第五十四页，共84页自然响应模式的概念当G(s)的极点与R(s)的零点或G(s)的零点和R(s)的极点相消时，就会使G(s)的极点所对应的自然响应模式或R(s)的极点所对应的强迫响应模式消失。若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，一般它相当于脉冲信号，可以证明零输入响应(自然响应)的模式由D(s)0的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。这里D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根或系统的固有频率。可以说零输入响应的模
25、式由系统的固有频率确定。如果G(s)没有零、极点相消，则特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的极点，则零输入响应的模式由G(s)的极点确定。但是，当G(s)有零极点相消时，系统的某些固有频率在G(s)的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由G(s)的极点确定，但G(s)的零极点是否相消，并不影响零状态响应的模式。这这一一现象说明，系统传递函数现象说明，系统传递函数G(s)一般只用于研究系统的零状态响应。一般只用于研究系统的零状态响应。你现在浏览的是第五十五页，共84页学习中应思考的问题学习中应思考的问题综合性能指标高阶系统的降阶处理速度反馈的作用传递函数零点的影响系统对输入信号的微分（
26、积分）的响应，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。系统结构及其结构参数系统的零点和极点系统的瞬态、稳态特性即系统性能瞬态性能指标响应的快速性响应的平稳性无阻尼自然振动频率n系统阻尼比你现在浏览的是第五十六页，共84页3.4线性控制系统的稳定性分析线性控制系统的稳定性分析稳定性的概念稳定性的概念稳定性的物理意义稳定性的物理意义系统稳定的必要充分条件系统稳定的必要充分条件稳定性判据稳定性判据系统稳定性分析你现在浏览的是第五十七页，共84页一稳定性概念与物理意义系统稳定与不稳定举例系统稳定与不稳定举例稳定稳定不稳定不稳定c点稳定，点稳定，a、e点不稳定点不稳定当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态
27、被破坏，但它当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但它仍能恢复到原有平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常仍能恢复到原有平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常称为稳定性称为稳定性。稳定性是系统的一个动态属性。稳定是系统能够工作的首要条件！你现在浏览的是第五十八页，共84页一、稳定性概念与物理意义系统处于偏离平衡位置的初始状态，且不存在输入作用，若在初始状态的影响下，系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，即回到平衡状态，则称该系统是稳定的；反之，若在初始状态影响下,系统的时间响应随时间的推移发散(即偏离平衡位置来越远)，则称该系统不稳定。小偏差稳定稳定性定义稳定性定义稳定
28、性概念系统的由初始状态所引起的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，即回到平衡位置的性质。系统在受到扰动作用后，随着时间的推移，系统能恢复到原有平衡工作点的性质。数学实质：系统齐次微分方程的解是收敛的。大范围稳定你现在浏览的是第五十九页，共84页稳定性的物理意义响应是有界的；系统能够消耗初始状态提供给系统的能量。系统的初始状态就是系统的蓄能状态，研究系统稳定性就是研究系统零输入响应的情况。如果零输入响应逐渐衰减并趋向于零，则系统是稳定的，即系统能够消耗系统初始蓄存的能量。或者说，系统的响应是能量有界的。（BIBO稳定）稳定性的物理意义稳定性的物理意义你现在浏览的是第六十页，共84页稳定程
29、度稳定程度相对稳定性相对稳定性稳定程度稳定程度相对稳定性相对稳定性系统的零输入响应逐渐衰减并趋于零，则系统稳定；如果系统的零输入响应是发散的，则系统不稳定。而如果系统的零输入响应趋于某一恒定值或成为等幅振荡，则系统处于稳定的边缘，即处于临界稳定状态。显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能工作的。而且即使没有超出临界稳定状态，只要与临界稳定状态接近到某一程度，系统在实际工作中就可能变成不稳定。因此，对一个实际系统，只知道系统稳定还是不稳定是不够的，还要了解系统的稳定程度，即系统必须具有稳定性储备稳定性储备。系统离开临界稳定状态的程度，反映了系统稳定的程度，称为相对稳定性。你现在浏览的是第六
30、十一页，共84页二二线性系统稳定的必要充分条件线性系统稳定的必要充分条件系统的全部特征根都必须具有负实部；反之，若特征根中只要有一个具有正实部，则系统必不稳定。也可以表述为：系统传递函数G(s)的全部极点均位于s平面的左半开平面，则系统稳定,反之，只要有一个极点位于s平面的右半平面，则系统不稳定。注意：注意：系统运动微分方程右端各项系数，对系统稳系统运动微分方程右端各项系数，对系统稳定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定性没有影响，因为这些系数仅反映系统与外界作用的关性没有影响，因为这些系数仅反映系统与外界作用的关系，与系统稳定与否无关
31、。系，与系统稳定与否无关。线性系统是否稳定，完全取决于系统的特征根，即取决于系统本身的固有特性。你现在浏览的是第六十二页，共84页三三稳定性时域判据稳定性时域判据Routh判据判据线性定常系统稳定的条件是其特征根均具有负实部。因此，要判别某系统的稳定性，只要解得系统特征根即可。但实际控制系统的特征方程往往是高阶的，求解困难。如果不去直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判据，其中最重要的是(1884年)劳斯(Routh)判据。劳斯判据是基于方程式的根和系数的关系建立起来的，它是判别系统稳定性的充分必要条件。你现在浏览的是第六十三页，共84页1.
32、应用劳斯判据的步骤下面以六阶系统为例说明劳斯判据的用法。步骤判据列写闭环系统特征方程（特征多项式）列出劳斯表考查劳斯表第一列元素的符号，进行判别。符号相同则系统稳定，符号不同则系统不稳定；符号改变的次数是正实部根的数目。你现在浏览的是第六十四页，共84页2.劳斯判据应用举例列出劳斯表，劳斯表将有n+1行；此例有7行。已知六阶系统的特征方程为你现在浏览的是第六十五页，共84页劳斯表的排列与计算你现在浏览的是第六十六页，共84页劳斯判据的用法判据：当劳斯表中第一列的全部元素具有相同的符号时，系统的特征根全部位于s平面的左半部，而其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于s平面右半部的根的个数。4.劳斯
33、判据的其它应用劳斯判据的其它应用计算使系统稳定的某个参数的取值范围。估计系统的相对稳定性。确定自激震荡频率。5.两种特殊情况的处理两种特殊情况的处理第一列出现零元素用任意小的正数替代；出现全行元素都为零用该行构造辅助方程。你现在浏览的是第六十七页，共84页举例1ConsiderConsiderthestabilityofthestabilityofasystemasystemhavinghavingthecharacteristicequationofthecharacteristicequationof The characteristic equation has two roots wi
34、th positive real parts.Hence,the system is unstable.The complete Routh array is 你现在浏览的是第六十八页，共84页举例2IfafeedbackcontrolsystemhasopenlooptransferfunctionasFindoutthevalueofKtoenabletheclosed-loopsystemtobestable.closed-loopcharacteristicequationRouthsarraySothatthevalueofKisas你现在浏览的是第六十九页，共84页举例3Formt
35、heRoutharray,replacethezerobyanepsilon,andcompletethearray.Ifischosenpositive,thesystemisunstableandhastwopolesintherighthalf-plane.Ifischosennegative,theresultisexactlythesameasthatforapositivechoicefor.Thus,thesystemisunstable.你现在浏览的是第七十页，共84页举例4Determinethenumberofrighthalf-planepolesintheclosed-
36、looptransferfunction,ifitscharacteristicequationisWestopatthefourthrow,sincetheentirerowconsistsofzeros.Wehavetousethefollowingprocedure.Returntotherowimmediatelyabovetherowofzerosandformanauxiliarypolynomial,usingtheentriesinthatrowascoefficients.你现在浏览的是第七十一页，共84页举例4(续）Differentiatethepolynomialwit
37、hrespecttosandobtainUsethecoefficientsoftheequationtoreplacetherowofzeros.ThustheentireRoutharraybecomes:Allelementsinthe1stcolumnarepositive,hencethesystemisstable.你现在浏览的是第七十二页，共84页举例4(续）Whenarowofzerosoccurs,thereexistsanevenoroddpolynomialdivisoroftheoriginalpolynomial.Thecoefficientsofthisdiviso
38、rpolynomialaregivenbythepreviousnonzorerowofthearray.ForthisExamplepolynomial,thedivisorisDividingtheoriginalpolynomialbythisevendivisorgives你现在浏览的是第七十三页，共84页举例4(续）Evenlydividingimplysthatthedivisorpolynomialisafactoroftheoriginalpolynomial.Hencetherootsofthedivisorpolynomialalsoaretherootsoftheorig
39、inalpolynomial.Therootsare:Whichindicatesthatthedivisorrepresentstwoconjugatepairsofimaginaryaxisroots,andacturelythesystemiscriticallystable.Bythemean,theoscillationfrequenciescanbedetermined.你现在浏览的是第七十四页，共84页3.5控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差分析控制系统的控制精度用稳态误差来表征，稳态误差越小控制精度越高。稳态时系统的误差分为原理性误差和结构性误差：与系统型号、输入信号性质
40、有关的误差称为原理性误差，而因制造、间隙、死区等造成的误差是结构性误差。这里仅仅这里仅仅讨论原理性误差。讨论原理性误差。误差与偏差的定义、关系决定系统稳态误差的因素稳态误差的计算方法你现在浏览的是第七十五页，共84页一一 误差与偏差的概念与关系误差与偏差的概念与关系偏差：在输入端定义的误差，它是输入信号与反馈信号之差，亦称偏差。既可计算，也可量测。误差：在输出端定义的误差，它是期望输出与实际输出之差。只能计算，不能量测。当偏差为零时，系统的输出定义为系统的期望输出误差与偏差的关系G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)+1/H(s)E(s)Cd(s)+你现在浏览的是第七十六页，共84页
41、二二瞬态误差和稳态误差瞬态误差和稳态误差你现在浏览的是第七十七页，共84页三三主令输入下的稳态误差的计算主令输入下的稳态误差的计算稳稳态态误误差差的的终终值值与与系系统统的的开开环环传传递递函函数数(即即系系统结构统结构)和输入信号的性质有关！和输入信号的性质有关！用终值定理计算用终值定理计算结论结论设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试分别求出系统在单位阶跃、速度、加速度输入时的稳态误差。单位阶跃输入时：单位速度输入时：单位加速度输入时：稳态误差为。结论：0型系统不能跟踪速度和加速度信号。你现在浏览的是第七十八页，共84页用静态误差系数计算用静态误差系数计算阶跃信号输入引入位置误差系数0型系
42、统kp=K0，型以上系统kp=引入速度误差系数0型系统kv=，型系统kv=K0，型系统kp=0斜坡信号输入加速度信号输入开环传递函数中积分环节个数决定了系统在阶跃、斜坡及抛物线信号输入时系统是否存在稳态误差。开环增益则决定稳态误差的大小。引入加速度误差系数0型、型系统ka=，型系统kp=k0结结论论知道系统型号和误差系数就可以直接写出不同输入信号作用下的系统的稳态误差！你现在浏览的是第七十九页，共84页关于误差系数几点说明关于误差系数几点说明0型系统在阶跃输入时产生稳态误差，因而称为有差系统有差系统。I型和型系统对阶跃输入不产生误差，因而称为无差系统无差系统，且称I型系统为一阶无差系统(或其无
43、差度为1)，型系统为二阶无差系统(或其无差度为2)。对于开环控制系统只能按误差定义用终值定理计算对于开环控制系统只能按误差定义用终值定理计算特别注意误差系数Kp，Kv，Ka只能用来计算系统当参考输人为阶跃、斜坡或抛物线信号时的稳态误差。速度误差、加速度误差并不是并不是输入速度和输出速度之间或输入加速度和输出加速度之间的误差，而是指而是指当系统输入速度信号(斜坡函数)或加速度信号(抛物线函数)时，输出与输入在位置上的误差。你现在浏览的是第八十页，共84页四四减小或消除系统稳态误差的措施减小或消除系统稳态误差的措施提高开环增益可减小有差系统的稳态误差；提高无差度(即增加积分环节)可使有差系统成为无
44、差系统。但这两个措施都会使系统动态性能和稳定性恶化。因此，系统前向通道中的积分环节一般不宜超过两个。采用复合控制方式。你现在浏览的是第八十一页，共84页五扰动作用下的稳态误差的计算扰动作用下的稳态误差的计算：先求出扰动作用下的误差信号，再用终值定理。按线性叠加原理，可求得系统的总误差。你现在浏览的是第八十二页，共84页本章小结本章小结控制系统时域分析法的主要内容是：通过在时间域内直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析系统的性能。控制系统的时域性能指标主要是看其响应的稳定性、快速性和准确性。稳定性是系统能够正常工作的首要条件。线性系统的稳定性，是系统固有的特性，完全决定于系统本身的结
45、构和参数，与输入信号的形式和初始条件无关。判断线性系统稳定性的充要条件是其特征方程的所有特征根均具有负实部。求其特征根是很困难的事情，但可利用古尔维茨判据与劳斯判据判别系统的稳定性。快速性反映系统响应过程的动态特性。主要是评价系统动态过程的平稳性和快慢程度。常见的指标有单位阶跃响应的超调量、上升时间、峰值时间及调节时间等。准确性反映系统稳态特性。主要指标是稳态误差。稳态误差不仅和系统的结构、参数(如系统的型别、开环增益等)有关，还和外信号的作用点、形式及大小有关。系统的性能与传递函数的零极点分布密切相关，特别是极点分布情况，决定了系统响应的性质。阶、二阶系统的时域分析是基础，许多高阶控制系统的动态性能往往具有一阶、二阶系统的时域响应的类似的形式。你现在浏览的是第八十三页，共84页欢迎同学们提出宝贵意见！谢谢大家！电话：027-87858193（宅）13072701038你现在浏览的是第八十四页，共84页