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1、专题二 运输规划问题建模第1页，本讲稿共56页1 1煤炭、钢铁、木材、粮食等物资煤炭、钢铁、木材、粮食等物资,在全国有若干生产基在全国有若干生产基地，据已有交通网，应如何制定调运方案，将这些物资运到地，据已有交通网，应如何制定调运方案，将这些物资运到各消费地点，而使总运费最小。各消费地点，而使总运费最小。这类问题可用以下数学语言来描述：假设有这类问题可用以下数学语言来描述：假设有m m个生产地个生产地点，可以供应某种物资点，可以供应某种物资(以后称为产地以后称为产地)，用，用A Ai i表示，表示，i i=1,2,=1,2,m m；有；有n n个销售地，用个销售地，用B Bj j表示，表示，j
2、 j=1,2,=1,2,n n；产地的产量和销售地的销售量分别为；产地的产量和销售地的销售量分别为a ai i ,i i=1,2,=1,2,m m和和b bj j，j j=1,2,=1,2,n n，从，从A Ai i到到B Bj j运输单位物运输单位物资的运价为资的运价为c cijij，这些数据可汇总于如表。，这些数据可汇总于如表。1.1 运输问题数学模型运输问题数学模型第2页，本讲稿共56页2 2 销地产地B1B2Bn产量A1c11c12c1na1A2c21c22c2na2Amcm1cm2cmnam销量b1b2bn第3页，本讲稿共56页3 3要求使总运费最小的调运方案。如果运输问题的总产量等
3、于其总销量，即则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。建立在产销平衡情况下的运输问题的数学模型。解:假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数学模型为:第4页，本讲稿共56页4 4u目标函数表示运输总费用，要求其极小化；目标函数表示运输总费用，要求其极小化；u第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；量之和等于该销地的销量；u第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和等于该产地的产量；等于该产地的产量；u第三个约束条件表示
4、变量的非负条件。第三个约束条件表示变量的非负条件。第5页，本讲稿共56页5 5 设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能力分别是：产能力分别是：50，60，50，供应四个门市部，供应四个门市部，日销售量分别是：日销售量分别是：40，40，60，20台，从各分厂台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。低的运输计划。门市部工厂1234供应总计12397612359796711506050需求总计40406020第6页，本讲稿共56页6 6供求平衡的运输问题：供：供求平衡的运
5、输问题：供：50+60+50=160 需：需：40+40+60+20=160数学模型第7页，本讲稿共56页7 7设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能力分别是：力分别是：50，80，50，供应四个门市部，日销售量，供应四个门市部，日销售量分别是：分别是：40，40，60，20台，从各分厂运往个门市部台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。门市部工厂1234供应12397612359796711508050需求40406020供应量供应量180，需求量，需求量16
6、0，供需不平衡，供大于求。，供需不平衡，供大于求。第8页，本讲稿共56页8 8供大于求的情况数学模型第9页，本讲稿共56页9 9特点与处理办法特点处理办法：设置一个虚销售点n+1，使且 ，因而化为平衡问题。第10页，本讲稿共56页1010 设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能力分别是：生产能力分别是：50，80，50，供应四个门市部，供应四个门市部，日销售量分别是：日销售量分别是：40，40，60，20台，从各分厂台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。低的运输计划。
7、门市部工厂12345供应总计12397612359796711000508050需求总计4040602020供应量180，需求量180，供需平衡。第11页，本讲稿共56页1111 设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能力分别是：产能力分别是：50，60，50，供应四个门市部，供应四个门市部，日销售量分别是：日销售量分别是：40，70，60，20台，从各分厂运台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的往个门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。运输计划。门市部工厂1234供应总计12397612359796711
8、506050需求总计40706020供应量供应量160，需求量，需求量190，供需不平衡，需求大于供应。，供需不平衡，需求大于供应。第12页，本讲稿共56页1212求大于供求大于供数学模型第13页，本讲稿共56页1313特点与处理办法特点处理办法：增加一个虚产地m+1，使且 ，化为平衡问题。第14页，本讲稿共56页1414 设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生产能力分别是：能力分别是：50，60，50，供应四个门市部，日销，供应四个门市部，日销售量分别是：售量分别是：40，70，60，20台，从各分厂运往个台，从各分厂运往个门市部的运费如表
9、所示，试安排一个运费最低的运输门市部的运费如表所示，试安排一个运费最低的运输计划。计划。门市部门市部工厂工厂1234供应总计供应总计123497601235097906711050605030需求总计需求总计40706020供应量供应量190，需求量，需求量190，供需平衡。，供需平衡。第15页，本讲稿共56页1515n这就是运输问题的数学模型，它包含这就是运输问题的数学模型，它包含m n个变量，个变量，m+n个约束条件，是一个线性规划问题。个约束条件，是一个线性规划问题。n如果用单纯形法求解，首先应在每个约束条件上加如果用单纯形法求解，首先应在每个约束条件上加入一个人工变量入一个人工变量(以
10、便求出初始基可行解以便求出初始基可行解)。即使是。即使是m=4，n=5这样的简单问题这样的简单问题,变量个数就有变量个数就有29个之多，利用个之多，利用单纯形法进行计算是非常复杂的。单纯形法进行计算是非常复杂的。n有必要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便有必要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的求解方法。的求解方法。第16页，本讲稿共56页1616约束方程组的系数矩阵具有如下特点：约束方程组的系数矩阵具有如下特点：（1）在该矩阵中，它的元素等于）在该矩阵中，它的元素等于0或或1；（2）每列只有两个元素为）每列只有两个元素为1，其余都是，其余都是0；（3）对应于每一个变量，在前）
11、对应于每一个变量，在前m个约束方程中只出现一个约束方程中只出现一次，在后次，在后n个约束方程中也只出现一次。个约束方程中也只出现一次。根据这个特点，在单纯形法的基础上，下面设计出一根据这个特点，在单纯形法的基础上，下面设计出一种专门用来求解运输问题的方法，称为表上作业法。种专门用来求解运输问题的方法，称为表上作业法。1.2 表上作业法表上作业法第17页，本讲稿共56页1717第18页，本讲稿共56页1818运输问题的解代表着一个运输方案，其中每一个变量运输问题的解代表着一个运输方案，其中每一个变量xij的的值表示由值表示由Ai调运数量为调运数量为xij的物品给的物品给Bj。运输问题的解运输问题
12、的解X必须要满足模型中的所有约束条件；基必须要满足模型中的所有约束条件；基变量对应的约束方程组的系数列向量必须是线性无关的；变量对应的约束方程组的系数列向量必须是线性无关的；解中基变量应由解中基变量应由 m+n-1个变量组成个变量组成(即基变量的个数即基变量的个数=产产地个数地个数+销售地个数销售地个数 1)，原因是在运输问题中虽有，原因是在运输问题中虽有m+n个约束条件，个约束条件，但由于总产量等于总销量但由于总产量等于总销量，有，有m+n-1个约束个约束条件是线性独立的。条件是线性独立的。怎样的怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？个变量会构成一组基变量？第19页，本讲稿共56页191
13、9表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形算法，可归纳为：简化方法，其实质是单纯形算法，可归纳为：（1）找出初始基可行解；）找出初始基可行解；（2）求各非基变量的检验数；）求各非基变量的检验数；（3）确定换入变量和换出变量，找出新基可行解。）确定换入变量和换出变量，找出新基可行解。（4）重复（）重复（2）、（）、（3）步，直到求得最优解为）步，直到求得最优解为止。止。第20页，本讲稿共56页2020（1）确定初始基可行解）确定初始基可行解最小元素法：最小元素法：u最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表中最小元素法的基
14、本思想就是就近供应。即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始方最小的运价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始方案为止。案为止。u某公司有某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销售个销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工厂到点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工厂到各销售点的单位产品运价如表所示。问该公司应如何调运产各销售点的单位产品运价如表所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的运费为最小。品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的运费为最小。第21页，本讲稿共56页2
15、121初始可行解（最小元素法）门市工厂1234供应123403020301030506050需求40306030就近供应的思想：就近供应的思想：从单位运价表中选取最低运从单位运价表中选取最低运价的空格开始供求分配。价的空格开始供求分配。供应量大于需求量，取值为供应量大于需求量，取值为需求量，划去该空格的列；需求量，划去该空格的列；供应量小于需求量，取值供供应量小于需求量，取值供应量，划去该空格的行。应量，划去该空格的行。根据划去一列或行的单位运根据划去一列或行的单位运价表，再选择最小运价的空价表，再选择最小运价的空格进行。格进行。门市工厂1234供应1239761235979671150605
16、0需求40306030第22页，本讲稿共56页2222两种特殊情况：两种特殊情况：一是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小元素一是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小元素时，时，有多个元素同时达到最小有多个元素同时达到最小，这时从这些最小元素中，这时从这些最小元素中任意任意选择选择一个作为基变量；一个作为基变量；二是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小元二是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小元素时，发现该元素所在行的素时，发现该元素所在行的剩余产量等于该元素所在列剩余产量等于该元素所在列的剩余销售量的剩余销售量。这时在产销平衡表相应的位置填上一个。这时在产销平衡表相应
17、的位置填上一个数，同时划去一行和一列，需要在同时划去的行或列的数，同时划去一行和一列，需要在同时划去的行或列的任一空格位置添上一个任一空格位置添上一个“0”。第23页，本讲稿共56页2323某公司有某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个个销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工厂到各销售点的单位产品运价如表所示。利用及各工厂到各销售点的单位产品运价如表所示。利用最小元素法，求该公司的初始调运方案。最小元素法，求该公司的初始调运方案。销地产地B1B2B3B4产量A1531049A216964A3
18、2010577销量3584第24页，本讲稿共56页2424 门市门市工厂工厂1234供应供应123317119432101085749需求需求2657 门市部门市部工厂工厂1234供应供应12392612359796711506050需求总计需求总计40703020第25页，本讲稿共56页2525（2）最优解的判别）最优解的判别判别的方法是计算判别的方法是计算非基变量非基变量即空格的检验数。当所有的非基即空格的检验数。当所有的非基变量检验数全都大于等于变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。时为最优解。方法一：闭回路法方法一：闭回路法n在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发，找在给出调运方案
19、的计算表上，从每一空格出发，找一条一条闭回路闭回路。n它是以它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划，每碰到一空格为起点，用水平线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转数字格就转 90 度后继续前进。直到回到起始空格处为止，度后继续前进。直到回到起始空格处为止，(A1,B1)空格与空格与(A1,B4)、(A2,B4)和和(A2,B1)三个有三个有数字的格构成一闭回路，如此等等。数字的格构成一闭回路，如此等等。n每个空格每个空格都存在都存在唯一唯一的闭回路。的闭回路。第26页，本讲稿共56页2626闭回路计算检验数的经济解释为：闭回路计算检验数的经济解释为：l在已给出初始解的表中，可以从任一空格出发
20、，如从在已给出初始解的表中，可以从任一空格出发，如从(A1,B1)出发，若让出发，若让 A1 的产品调的产品调 1 吨给吨给B1，为了保持产销平衡，为了保持产销平衡，就要依次作调整：在就要依次作调整：在(A1,B3)处减少处减少 1 吨，吨，(A2,B3)处增加处增加 1 吨，吨，(A2,B1)处减少处减少 1 吨，即构成了以吨，即构成了以(A1,B1)空格为起点，空格为起点，其它为有数字格的闭回路。其它为有数字格的闭回路。l可见这一调整方案使运费增加了：可见这一调整方案使运费增加了：(+1)3+(-1)3+(+1)2+(-1)1=1(元元)，这表明若这样调整运输方式将增加运费。将，这表明若这
21、样调整运输方式将增加运费。将“1”填入填入(A1,B1)格，就是检验数。格，就是检验数。第27页，本讲稿共56页2727 销地产地B1B2B3B4产量A1437A2314A3639销量3656 销地产地B1B2B3B4产量A13113107A219284A3741059销量3656第28页，本讲稿共56页2828空 格闭 回 路检验数(A1,B1)(1,1)(1,3)(2,3)(2,1)(1,1)1(A1,B2)(1,2)(1,4)(3,4)(3,2)(1,2)2(A2,B2)(2,2)(2,3)(1,3)(1,4)(3,4)(3,2)(2,2)1(A2,B4)(2,4)(2,3)(3,3)(
22、1,4)(2,4)-1(A3,B1)(3,1)(3,4)(1,4)(1,3)(2,3)(2,1)(3,1)10(A3,B3)(3,3)(3,4)(1,4)(1,3)(3,3)12第29页，本讲稿共56页2929 方法二：位势法方法二：位势法对偶数学模型？对偶数学模型？第30页，本讲稿共56页3030检验数第31页，本讲稿共56页3131基变量的方程共有m+n-1个方程，但有m+n个变量，一般令 。因此可求得这些变量。称 分别为产地位势和销地位势。对于本例：第32页，本讲稿共56页3232解得：因而可计算得第33页，本讲稿共56页3333 门市门市工厂工厂1234供应供应总计总计191296U1
23、 401027377U23030365911u33020v1v2v3v4第34页，本讲稿共56页3434 门市工厂1234供应总计191296U130 20 27377U22040365911u34010v1v2v3v4第35页，本讲稿共56页3535 基可行解改进的方法基可行解改进的方法闭回路调整法闭回路调整法取负检验数中绝对值最大的空格作回路。取负检验数中绝对值最大的空格作回路。从空格开始依次给回路顶点格标从空格开始依次给回路顶点格标“+”和和“-”找出找出“-”格中运量最小者，作为调整量，格中运量最小者，作为调整量，将每个将每个“+”格的运量加上该调整量，每个格的运量加上该调整量，每个“
24、-”格的运量减去该调整量。格的运量减去该调整量。即得新的基本可行解。即得新的基本可行解。再计算空格检验数和调整基本解，直到检再计算空格检验数和调整基本解，直到检验数非负为止。验数非负为止。第36页，本讲稿共56页3636 门市工厂1234供应总计19129650 +4010-273776030-30+3659115030+20 -需求总计40406020第37页，本讲稿共56页3737产销平衡的运输问题必定存在最优解。产销平衡的运输问题必定存在最优解。有唯一最优解还是无穷多个最优解？依据仍有唯一最优解还是无穷多个最优解？依据仍然是看非基变量（即空格处）的检验数是否然是看非基变量（即空格处）的检
25、验数是否有为有为0的。若有，则存在无穷多个最优解；否则，的。若有，则存在无穷多个最优解；否则，只有唯一最优解。只有唯一最优解。以检验数为以检验数为0的格为调入格，作闭回路，的格为调入格，作闭回路，调整得最优解。调整得最优解。第38页，本讲稿共56页38381.3 几种特殊的情况几种特殊的情况1）某供应地不能供应某销地；2）某供应地至少供应某销地量A；3）某销地至少获得供应量B；第39页，本讲稿共56页3939某供应地不能供应某销地；对策：对策：在对应的运价表格中，运价做在对应的运价表格中，运价做+处理，处理，（一般用（一般用M表示，如何处理呢？）。表示，如何处理呢？）。几种特殊几种特殊情况的处
26、理情况的处理第40页，本讲稿共56页4040 有一批物资在三个供应点，供应给四个需求点，运价如表所示，第三供应点不能向第四需求点运送该物资，求总运费最少调运方案。1234s1231614191313202219231715M506050d30705010特殊情况1举例第41页，本讲稿共56页41411）某供应地不能供应某销地；2）某供应地至少供应某销地量A；3）某销地至少获得供应量B；对策：对策：在对应供应地和需求地，同时减去在对应供应地和需求地，同时减去A。第42页，本讲稿共56页4242 有一批物资在三个供应点，供应给四个需求点，运价如表所示，第3供应点必须调拨20单位物资给需求点2，求总
27、运费最少的调运方案。1234s123161419131320221923171516506050（30）d3070（50）5010特殊情况2举例第43页，本讲稿共56页4343 某玩具公司生产三种新型玩某玩具公司生产三种新型玩具（具（A,B,C），供量分别为：），供量分别为：1000，2000，2000件，三件，三个百货公司个百货公司(甲，乙，丙甲，乙，丙)销销量均为量均为1500件。由于经营等件。由于经营等原因，各公司销售盈利额不原因，各公司销售盈利额不同（见下表），又丙百货点同（见下表），又丙百货点要求至少供应要求至少供应C玩具玩具1000件，件，而拒绝进而拒绝进A玩具，求满足盈玩具，求满
28、足盈利额最大的供应方案。利额最大的供应方案。甲乙丙供A54-1000B16892000C1210112000第44页，本讲稿共56页44441）某供应地不能供应某销地；2）某供应地至少供应某销地量A；3）某销地至少获得供应量B；对策：对策：供不应求，增加一个虚拟供地。增加一个虚拟供不应求，增加一个虚拟供地。增加一个虚拟销地，其需要量为销地，其需要量为B。从各产地至其（虚拟销地）的运。从各产地至其（虚拟销地）的运价与原运价相同，而从虚拟供地至其的运价为价与原运价相同，而从虚拟供地至其的运价为+。第45页，本讲稿共56页4545 有甲、乙、丙三个城市，有甲、乙、丙三个城市，每年煤炭需求每年煤炭需求
29、320，250，350单位，由单位，由A和和B两个两个煤矿负责供应，两矿的产量煤矿负责供应，两矿的产量分别为分别为400和和450单位，矿单位，矿到各城市的运价如下表。到各城市的运价如下表。经过协商，丙城市必须得经过协商，丙城市必须得到到320单位的供应，试求单位的供应，试求将两矿煤炭分配出去的总将两矿煤炭分配出去的总运费最低的调运方案。运费最低的调运方案。甲乙丙A151822B212526第46页，本讲稿共56页4646某产地至少运出量某产地至少运出量A对策：供大于求的情况。该对策：供大于求的情况。该产地分为产地产地分为产地1和产地和产地1，产地产地1的产量为的产量为A，产地，产地1的的产量
30、产量C-A。增加虚拟销地，。增加虚拟销地，产地产地1到虚拟销地的运费为到虚拟销地的运费为M，产地，产地1到虚拟销地的运费为到虚拟销地的运费为0。如表所示的运输问题。假定产如表所示的运输问题。假定产地地2的物资至少运出的物资至少运出38个单位，个单位，产地产地3的物资至少运出的物资至少运出27个单个单位。求此运输问题的最优解。位。求此运输问题的最优解。ABC产112220214540323330销302020第47页，本讲稿共56页4747供大于求时，存在储存费用供大于求时，存在储存费用如表所示的运输问题，若产地i有一个单位物资未运出，则将发生储存费用。假定1，2，3产地单位物资储存费用分别为3
31、，7，5。求此运输问题的最优解（含运输费和储存费）。ABC产112220214540323330销302020第48页，本讲稿共56页4848供不应求时，存在需求不足的损失费供不应求时，存在需求不足的损失费供不应求时，存在需求不足的损失费供不应求时，存在需求不足的损失费如表所示的运输问题，若需地缺少一个单位物资，则将发生损失费用。假定A，B，C需地单位物资需求不足的损失费用分别为5，3，7。求此运输问题的最优解（含运输费和损失费）。ABC产112220214520323330销303030第49页，本讲稿共56页4949运输规划问题运输规划问题灵敏度分析灵敏度分析第50页，本讲稿共56页505
32、0已知某运输问题产销平衡，运价表：门市工厂1234供应12397612359796711506050需求404060201.求最优运输调运方案；求最优运输调运方案；2.单位运价表中，运价系数单位运价表中，运价系数cij分别在什么范围之内变化，分别在什么范围之内变化，上面求出的最优调拨方案不变。上面求出的最优调拨方案不变。第51页，本讲稿共56页5151 已知某运输问题的产销已知某运输问题的产销平衡表，最优调运方案平衡表，最优调运方案及单位运价表如下表。及单位运价表如下表。由于从产地由于从产地2到销地到销地B的的道路因故暂时封闭，故道路因故暂时封闭，故需调整最优调拨方案，需调整最优调拨方案，试用
33、尽可能简单的方法试用尽可能简单的方法重新找出最优调运方案。重新找出最优调运方案。ABCDE110 20 59102210 10 30 63120 710 4ABCDE产1459244331138销 35463第52页，本讲稿共56页5252运输问题的应用运输问题的应用某厂按合同规定必须当年每个季度末分别提供某厂按合同规定必须当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的机器，该厂生产能力及生产每台机器的台同一规格的机器，该厂生产能力及生产每台机器的成本见下表。如果生产出的机器不当季交货，每台每积压成本见下表。如果生产出的机器不当季交货，每台每积压一个季度需要储存和维护费一个季度需要储
34、存和维护费0.15万，要求在完成合同情况万，要求在完成合同情况下，做出使该厂全年生产费用（含储存和维护费）最小的下，做出使该厂全年生产费用（含储存和维护费）最小的决策。决策。季度生产能力（台）单位成本(万)12510.823511.13301141011.3第53页，本讲稿共56页5353解：解：设设 xij 表示表示为为第第i季度生季度生产产的用于第的用于第j季度交季度交货货的柴油的柴油机数。根据合同要求，必机数。根据合同要求，必须满须满足：足：x11 =10 x12+x22 =15 x13+x23+x33 =25 x14+x24+x34+x44=20每季度生每季度生产产的用于当季和以后各季
35、交的用于当季和以后各季交货货的柴油机数不可的柴油机数不可能超能超过该过该季度的生季度的生产产能力，故又有：能力，故又有：x11+x12+x13+x14 25 x22+x23+x24 35 x33+x34 30 x44 10第第 i 季度生季度生产产的用于第的用于第 j 季度交季度交货货的每台柴油机的的每台柴油机的实际实际成成本本 cij 应该应该是是该该季度季度单单位成本加上位成本加上储储存、存、维护维护等等费费用。用。第54页，本讲稿共56页5454 交货生产IIIIIIIVI10.810.9511.1011.25II11.1011.2511.40III11.0011.15IV11.30设用 ai 表示该厂第 i 季度生产能力，bj 表示第 j 季度的合同供应量，则问题可写成：第55页，本讲稿共56页5555本章要求本章要求分析本企业物流的特点,根据实际情况,分析并建立企业物流运输的模型并求解,基于结果对比提出改进措施.撰写3000-4000字的课题研究报告。第56页，本讲稿共56页5656