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1、小波与多分辨率分析第1页，本讲稿共30页信号分析工具信号分析工具41822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。4 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力41946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。41982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband coding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank).41910年Harr提出规范正交基。41981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。41984年,Morlet提出了连续
2、小波41985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基41986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。41987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。41988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。小波分析 深圳大学信息工程学院 2第2页，本讲稿共30页小波的应用4J.Morlet，地震信号分析。4S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构4Farge，连续小波用于涡流研究4Wickerhauser，小波包用于图像压缩。4Frisch噪声的未知瞬态信号。
3、4Dutilleux语音信号处理4H.Kim时频分析4Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探流体力学、电磁场、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算小波分析 深圳大学信息工程学院 3第3页，本讲稿共30页软件包4Math Works:Wavelet Toolbox4Standford:Wave Tool4Yale:WPLab4MathSoft:S+WAVELETS4Aware:WaveTool4Rice
4、:Wavelet ToolBox http:/www.dsp.rice.edu小波分析 深圳大学信息工程学院 A.Brice,D.Donoho,H.Y.Gao,Wavelet Analysis,IEEE Spectrum,33(10),19964第4页，本讲稿共30页距离空间距离空间距离空间距离空间常用的距离空间常用的距离空间小波分析 深圳大学信息工程学院 5第5页，本讲稿共30页函数空间小波分析 深圳大学信息工程学院 线性空间线性空间线性赋范空间线性赋范空间Banach空间空间Hilbert空间空间6第6页，本讲稿共30页基底基底小波分析 深圳大学信息工程学院 张成张成span基底基底正交正
5、交标准正交系标准正交系完全的标准正交系完全的标准正交系双正交基双正交基7第7页，本讲稿共30页Hilbert空间小波分析 深圳大学信息工程学院 8第8页，本讲稿共30页框架及紧框架框架及紧框架 Frame&Compact Frame小波分析 深圳大学信息工程学院 9第9页，本讲稿共30页小波分析小波分析小波分析 深圳大学信息工程学院 10第10页，本讲稿共30页小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析与付里叶变换的比较小波分析与付里叶变换的比较11第11页，本讲稿共30页连续小波变换连续小波变换小波分析 深圳大学信息工程学院 12第12页，本讲稿共30页连续小波变换的再生核连续小波变换的再生核
6、小波分析 深圳大学信息工程学院 尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过渡完全过渡完全基基，小波展开系数之间有相关关系，采用如下描述1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。重建核方程13第13页，本讲稿共30页常用的连续小波常用的连续小波小波分析 深圳大学信息工程学院 Morlet Waveletmorl(x)=exp(-x2/2)*cos(5x)No Orthogonal,No Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-4 4,SymmetryMorlet小波是一种复数小波
7、，时频均具有很好的局部性。14第14页，本讲稿共30页Mexican hat Waveletmexh(x)=c*exp(-x2/2)*(1-x2)where c=2/(sqrt(3)*pi1/4)No Orthogonal,No Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-5 5,Symmetry常用的连续小波常用的连续小波小波分析 深圳大学信息工程学院 Mexican Hat小波是Gaussian二阶导数，时频均具有很好的局部性。15第15页，本讲稿共30页小波分析 深圳大学信息工程学院 Daubechies WaveletGenera
8、l characteristics:Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width.Associated scaling filters are minimum-phase filters.Orthogonal,Biorthogonal,Compact SupportSupport width 2N-1,No Symmetry常用的正交连续小波常用的正交连续小波16第16页，本讲稿共30页常用的正交连续小波常用的正
9、交连续小波小波分析 深圳大学信息工程学院 Meyer WaveletGeneral characteristics:Infinitely regular orthogonal waveletOrthogonal,Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-8 8,Symmetry Meyer小波是在频域具有紧支集和任意阶正则性，时频缺乏很好的局部性。17第17页，本讲稿共30页Symlets WaveletsGeneral characteristics:Compactly supported wavelets with least as
10、symetry and highest number of vanishing moments for a given support width.Associated scaling filters are near linear-phase filters.Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support(width 2N-1)Near Symmetry 常用的正交连续小波常用的正交连续小波小波分析 深圳大学信息工程学院 18第18页，本讲稿共30页离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)小波分析 深圳大学信息工程学院 二进小波二进
11、小波Dyadic Wavelet（数学显微镜）（数学显微镜）19第19页，本讲稿共30页尺度空间和尺度函数尺度空间和尺度函数(Scaling Space)小波分析 深圳大学信息工程学院 尺度尺度j越大，尺度函数定义域变大，实际平移间隔也变大，越大，尺度函数定义域变大，实际平移间隔也变大，不能反映函数（小于该尺度）的细微变化。不能反映函数（小于该尺度）的细微变化。20第20页，本讲稿共30页多分辨率分析多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis)小波分析 深圳大学信息工程学院 V0V1V221第21页，本讲稿共30页小波函数和小波空间小波函数和小波空间小波分析 深圳大学信息
12、工程学院 V0V1V2W1W2SW1V1W2V222第22页，本讲稿共30页 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波函数和尺度函数的性质小波函数和尺度函数的性质Poisson公式：小波函数和尺度函数满足小波函数和尺度函数满足23第23页，本讲稿共30页双尺度方程双尺度方程小波分析 深圳大学信息工程学院 24第24页，本讲稿共30页滤波器系数滤波器系数h0(k)和和h1(k)的性质的性质小波分析 深圳大学信息工程学院 25第25页，本讲稿共30页正交小波变换的正交小波变换的Mallat快速算法快速算法小波分析 深圳大学信息工程学院 26第26页，本讲稿共30页离散信号的多分辨率分析与正交小波变换离散信号的多分辨率分析与正交小波变换小波分析 深圳大学信息工程学院 27第27页，本讲稿共30页双通道多分辨率滤波器组的设计双通道多分辨率滤波器组的设计小波分析 深圳大学信息工程学院 28第28页，本讲稿共30页正交镜像滤波器组正交镜像滤波器组Quadrature Mirror Filter Bank小波分析 深圳大学信息工程学院 29第29页，本讲稿共30页二维正交小波变换小波分析 深圳大学信息工程学院 30第30页，本讲稿共30页