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1、高等数学概率二项分布本讲稿第一页，共二十六页一、一、常常见的离散型随机的离散型随机变量的概率分布量的概率分布 （一）（一）01分布分布 1、概率函数、概率函数 2、数学期望和方差、数学期望和方差 本讲稿第二页，共二十六页3、概率背景、概率背景 设随机试验设随机试验 E 只有只有两种可能结果：两种可能结果：A和和 ，且，且P(A)=p(0p1)，。用。用 表示一次试验表示一次试验中中A发生的次数，则发生的次数，则 服从参数为服从参数为 p 的的0 01 1分布。分布。例如：例如：掷骰子：骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”新生儿：新生儿：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩”抽抽
2、验产品：品：“是正品是正品”，“是次品是次品”本讲稿第三页，共二十六页（二）二项（二）二项分布分布 1、概率函数、概率函数 2、概率背景、概率背景 若随机变量若随机变量 的概率函数为的概率函数为其中其中0p1，则称，则称 服从参数为服从参数为n，p的二项的二项分布，记为分布，记为 。用用 表示表示 n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次发生的次数，且数，且P(A)=p(0p1)，则，则 服从参数为服从参数为n，p 的二项分布，即的二项分布，即 。本讲稿第四页，共二十六页例例1、设生男孩的概率为设生男孩的概率为 p，生女孩的，生女孩的概率为概率为 q=1-p，令令 表示随机抽查出生的
3、表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩男孩”的个数的个数.B(4，p)解：解：概率函数为概率函数为本讲稿第五页，共二十六页解：解：例例2、将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次，次，令令 表示表示3次中出现次中出现“4 4”点的次数。点的次数。B(3，1/6)概率函数为概率函数为本讲稿第六页，共二十六页例例3、某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品小时以上视为正品.已知有已知有一大批一大批这类的灯泡这类的灯泡,其次品率是其次品率是0.2。随机随机抽出抽出2020只灯泡做寿命试验只灯泡做寿命试验,求这求这2020只灯泡中至多有只灯泡中至多有3 3只是次品的概率只是
4、次品的概率.解解:设设 为为2020只灯泡中次品的个只灯泡中次品的个数数,则则.B(20,0.2)所以所以本讲稿第七页，共二十六页 特别地，当二项分布特别地，当二项分布B(n,p)的参数的参数n=1时，时，B(1,p)就是参数为就是参数为p的的01分布。分布。说明说明 设试验设试验E只有两个结果：只有两个结果：A和和 .记P(A)=p,则P()=1-p,0p0 是常数是常数,则称则称 服从参数为服从参数为 的的 泊松分布，记作泊松分布，记作 P().本讲稿第十九页，共二十六页2、概率背景、概率背景 泊松分布常见于所谓稠密性的问题中。泊松分布常见于所谓稠密性的问题中。例如：例如：一段时间内，一段
5、时间内，车站来候车的旅客数；车站来候车的旅客数；原子放射粒子数；原子放射粒子数；用户对电话交换台的呼叫次数；用户对电话交换台的呼叫次数；织布机上断头的次数。织布机上断头的次数。零件铸造表面上砂眼的个数；零件铸造表面上砂眼的个数；又例如：又例如：一定面积内一定面积内耕地上杂草的数目等。耕地上杂草的数目等。本讲稿第二十页，共二十六页3、泊松分布的期望和方差、泊松分布的期望和方差 同理求得同理求得所以所以本讲稿第二十一页，共二十六页解解:例例8、某一无线寻呼台某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次每分钟收到寻呼的次 数数 服从参数服从参数=3=3的泊松分布的泊松分布.求求:(1):(1)一分一分钟内恰好
6、收到内恰好收到3 3次次寻呼呼的概率的概率.(2)(2)一分一分钟内收到内收到2 2至至5 5次次寻呼的概率呼的概率.(1)(1)P =3=(33/3!)e-30.2240 (2)(2)P2 5 =P =2+P =3+P =4+P =5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169本讲稿第二十二页，共二十六页解解:例例8 8、某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数 服从服从参数泊松分布参数泊松分布,且平均每天发生火灾且平均每天发生火灾0.8次次.求求:该城市一天内城市一天内发生生3 3次以上火灾的概率次以上火灾的概率.P 3=1-P 100
7、,p0.1）时时,则对任意固定的非负整数则对任意固定的非负整数k,有有近似公式近似公式 即二项分布即二项分布B(n,p)可由泊松分布可由泊松分布P(np)近似近似.本讲稿第二十四页，共二十六页 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事件出现出现的次数近似地服从泊松分布的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀稀有事件有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等故等等 本讲稿第二十五页，共二十六页解解:例例9 9、某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400辆辆,设设每天每辆出租车出现故障的概率为每天每辆出租车出现故障的概率为0.02,求求:一天内没有出租一天内没有出租车出出现故障的概率故障的概率.设设 表示一天内出现故障的出租车数表示一天内出现故障的出租车数,则则:B(400,0.02).令令=np=4000.02=8,于是近似地于是近似地 P(8)。所求为所求为:P =0=b(0;400,0.02)(80/0!)e-8=0.0003355本讲稿第二十六页，共二十六页