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1、角角动量守恒第一量守恒第一讲质点点1本讲稿第一页，共三十页一、质点的角动量一、质点的角动量结论之一：结论之一：和和 排在两排在两质点的瞬时连线质点的瞬时连线上。上。结论之二：结论之二：理想实验理想实验 现以任意瞬时两质点相对于参考点现以任意瞬时两质点相对于参考点O的相互作的相互作用为例，用图形加以说明：用为例，用图形加以说明：1.1.两质点之间的相互作用两质点之间的相互作用3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律2本讲稿第二页，共三十页由图可知由图可知:3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律3本讲稿第三页，共三十页3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动
2、量守恒定律4本讲稿第四页，共三十页称为质量为称为质量为m的质点相对参考系的质点相对参考系o点的角动量点的角动量2.质点的角动量（动量矩）质点的角动量（动量矩）注意：注意：有动量有动量 垂直于位置矢量的分量垂直于位置矢量的分量具有角动量，具有角动量，所以，所以，角动量是描述质点的运动方向相对于参考点的角动量是描述质点的运动方向相对于参考点的变化或物体的转动特征的物理量变化或物体的转动特征的物理量。它主要用来研究质。它主要用来研究质点的椭圆和圆等曲线运动以及物体的转动等问题。点的椭圆和圆等曲线运动以及物体的转动等问题。0.3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律5本讲稿第五页，共三
3、十页二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理1.力矩力矩对于由两质点构成的质点系有对于由两质点构成的质点系有:定义力矩定义力矩:一对相互作用的力对同一参考点的力矩矢量和为零。一对相互作用的力对同一参考点的力矩矢量和为零。3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律令令6本讲稿第六页，共三十页若一质点受到若一质点受到n个质点的作用，则作用于质点合力矩：个质点的作用，则作用于质点合力矩：一个质点的角动量对时间的变化率等于所有其它质点一个质点的角动量对时间的变化率等于所有其它质点给予它的力矩的矢量和（给予它的力矩的矢量和（合力矩合力矩）。）。2.质点的质点的角动量定理角动量定理(1)微分
4、形式微分形式:(2)积分形式积分形式:式中式中:称为合外力矩称为合外力矩 的的冲量矩冲量矩。3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律7本讲稿第七页，共三十页3.力矩与力的关系力矩与力的关系因一质点对于一给定点因一质点对于一给定点(0)有：有：.0力矩力矩:方向方向:如图如图.3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律8本讲稿第八页，共三十页三、质点的角动量守恒定律三、质点的角动量守恒定律由质点角动量定理微分形式由质点角动量定理微分形式:质点的角动量守恒定律：质点的角动量守恒定律：条件：条件：结论：结论：若对惯性参考系中一个固定点而言，质点受的合力矩为零，若对惯性参
5、考系中一个固定点而言，质点受的合力矩为零，则质点对该固定点的角动量大小和方向均保持不变。则质点对该固定点的角动量大小和方向均保持不变。注意：注意：和和 均对惯性参考系中同一个固定点而言。均对惯性参考系中同一个固定点而言。3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律9本讲稿第九页，共三十页四、例题分析四、例题分析讨论质点作匀速直线运动的角动量。讨论质点作匀速直线运动的角动量。解解（1）如图所示。如图所示。若以若以A点为参考点，则在任一时点为参考点，则在任一时刻刻t，有，有若以若以O点为参考点，则在任一时刻点为参考点，则在任一时刻3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律
6、B10本讲稿第十页，共三十页解解（2）如图所示。如图所示。质点质点m匀速运动匀速运动,若以若以O点为参考点，则在任一点为参考点，则在任一时刻，质点的角动量为：时刻，质点的角动量为：必须注意：必须注意：参考点不同角动量不同。参考点不同角动量不同。3.1 3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律11本讲稿第十一页，共三十页3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律一、质点系的角动量一、质点系的角动量二、质点系的角动量定理二、质点系的角动量定理三、例题分析三、例题分析12本讲稿第十二页，共三十页一、质点系的角动量一、质点系的角动量 质点系对惯性系中某一给定参考点质点系对惯性系中某一
7、给定参考点O的总角动量为各质的总角动量为各质点点i 对对O点的角动量的矢量和点的角动量的矢量和二、质点系的角动量定理二、质点系的角动量定理3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律13本讲稿第十三页，共三十页质点系的总内力矩为零质点系的总内力矩为零3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律14本讲稿第十四页，共三十页质点系的角动量定理质点系的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律注意：注意：1.对于有心力对于有心力(如如:行星绕太阳运转行星绕太阳运转).0m对力心对力心0(M的中心的中心)的角动量守恒的角动量守恒.M注意注意:3.2 3.2 质点系的角动量守
8、恒定律质点系的角动量守恒定律15本讲稿第十五页，共三十页3、合外力为零但合外力矩不一定为零；、合外力为零但合外力矩不一定为零；合外力矩为零合外力也不一定为零。合外力矩为零合外力也不一定为零。如：力偶如：力偶如如：有心力问题：有心力问题.0 3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律16本讲稿第十六页，共三十页已知条件如图所示。已知条件如图所示。地球绕太阳旋转地球绕太阳旋转 假定它的轨道假定它的轨道是圆形，且为匀速是圆形，且为匀速圆周运动，试求它圆周运动，试求它们的角动量。们的角动量。解解因此地球绕太阳旋转的角动量：因此地球绕太阳旋转的角动量：.3.2 3.2 质点系的角动量守
9、恒定律质点系的角动量守恒定律三、例题分析三、例题分析17本讲稿第十七页，共三十页已知桌面光滑已知桌面光滑,其它条件如图所示。其它条件如图所示。当运动半径变为当运动半径变为0.10m时，试求：时，试求：如果这时放开绳子，小球将如何运动？如果这时放开绳子，小球将如何运动？解解 因角动量守恒，因角动量守恒，3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律18本讲稿第十八页，共三十页注意注意：利用变力做功也可计算。：利用变力做功也可计算。放开绳子时，小球将沿切线方向飞出。放开绳子时，小球将沿切线方向飞出。3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律19本讲稿第十九页，共三十
10、页 1.7 刚体的基本运动刚体的基本运动一、刚体一、刚体刚体是各质元间的相对位置永不发生变化的质刚体是各质元间的相对位置永不发生变化的质点系。或所有质元间距保持不变的质点系。点系。或所有质元间距保持不变的质点系。在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的和体积的改变的理想模型理想模型。在研究刚体时，把刚体分成许多部分，每一部分在研究刚体时，把刚体分成许多部分，每一部分小到可以看成质点，叫做刚体的小到可以看成质点，叫做刚体的质元质元。20本讲稿第二十页，共三十页二、刚体的基本运动形式二、刚体的基本运动形式1.平动平动刚体在运动中，其上任意两点的
11、连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。特点：特点：刚体内任意一质元的运动都可代替刚体的运动。刚体内任意一质元的运动都可代替刚体的运动。常以质心作为代表点。这样常以质心作为代表点。这样,平动的刚体可看成质点平动的刚体可看成质点,质点的运动规律就是刚体的平动规律。质点的运动规律就是刚体的平动规律。21本讲稿第二十一页，共三十页2.刚体刚体定轴定轴转动转动定轴转动：定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。定不动的直线（转轴）上。转轴转轴O转动转动:刚体上任意一质元都在绕同一直线作圆周运刚体上任意一质元都在绕同
12、一直线作圆周运动。动。既平动又转动：既平动又转动：质心的平质心的平动加绕质心的转动动加绕质心的转动22本讲稿第二十二页，共三十页三、定轴转动的描述三、定轴转动的描述1.定轴转动的特点定轴转动的特点:(1)刚体上所有不在转轴上的各个质元都在做半刚体上所有不在转轴上的各个质元都在做半径不等的圆周运动径不等的圆周运动;(2)圆周轨道所在平面垂直于转轴圆周轨道所在平面垂直于转轴,这平面叫做这平面叫做转动平面转动平面;圆周轨道的中心就是转动平面与转轴的圆周轨道的中心就是转动平面与转轴的交点交点O,称为称为转心转心;(3)各个质元作圆周运动的半径各个质元作圆周运动的半径 ri 不等不等,运动速度运动速度v
13、i 也也不等不等,但各个但各个ri 在相同的时间内转过相同的角度。在相同的时间内转过相同的角度。23本讲稿第二十三页，共三十页各各质元的位移、速度、加速度一般不同，质元的位移、速度、加速度一般不同，但角位移、角速度、角加速度都相同但角位移、角速度、角加速度都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向转心转心O24本讲稿第二十四页，共三十页角速度：角速度：角速度是矢量角速度是矢量,其其方向规定方向规定为沿轴方向，指向用右手螺为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。旋法则确定。角加速度：角加速度：角加速度也角加速度也是矢量是矢量加速转动
14、加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 质点作圆周运动时，若以圆质点作圆周运动时，若以圆心为原点，则其角速度、速度、心为原点，则其角速度、速度、位矢之间的关系是位矢之间的关系是角位移：角位移：2.定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述25本讲稿第二十五页，共三十页对于任一质元对于任一质元Pi：3.定轴转动刚体中各质元的线量与角量的关系定轴转动刚体中各质元的线量与角量的关系26本讲稿第二十六页，共三十页 例题例题1.测量光速的方法中，一种是旋转齿轮法。一测量光速的方法中，一种是旋转齿轮法。一束光线通过轮边齿间空隙到达远处的镜面上，然后调束光线通过轮边齿间空隙到达远处的镜面上，然后
15、调节齿轮转速，使得光束在反射回来时刚好能够通过相节齿轮转速，使得光束在反射回来时刚好能够通过相邻的齿间空隙。若齿轮的半径为邻的齿间空隙。若齿轮的半径为6.0cm，所给齿轮边，所给齿轮边上共有上共有500 个齿，当镜面与齿轮间的距离为个齿，当镜面与齿轮间的距离为500m时时,所测得的光速为所测得的光速为 km/s ，试问齿轮旋转，试问齿轮旋转的角速度为多大？齿轮边缘上一点的线速度为多的角速度为多大？齿轮边缘上一点的线速度为多大？大？解解1-7 1-7 刚体的基本运动刚体的基本运动27本讲稿第二十七页，共三十页 1961年年4月月12日，前苏联的加加林日，前苏联的加加林成为第一个宇航员，当时所采用
16、的卫星成为第一个宇航员，当时所采用的卫星宇宇宙飞船的质量为宙飞船的质量为 近地点近地点P 和远地和远地点点A的高度分别为的高度分别为 和和 ，试求卫星通过海拔为试求卫星通过海拔为z时的速度时的速度v 与与 地地球质量球质量M、地球半径、地球半径R、引力常数、引力常数G之间的函数之间的函数关系。关系。解解椐题意作示意图如下：椐题意作示意图如下：因为卫星在有心力场中运因为卫星在有心力场中运动，所以其机械能、角动动，所以其机械能、角动量均守恒。量均守恒。3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律28本讲稿第二十八页，共三十页联立联立（1）、（）、（2）、（）、（3）可得：可得：3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律29本讲稿第二十九页，共三十页由方程的对称性可知另一解为：由方程的对称性可知另一解为：3.2 3.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律30本讲稿第三十页，共三十页