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1、高等数学第十章曲线积分本讲稿第一页，共四十一页一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1定义定义 2物理意义物理意义 表示线密度为表示线密度为 的弧段的弧段 的质量的质量.本讲稿第二页，共四十一页二、对弧长的曲线积分的性质二、对弧长的曲线积分的性质1线性性质：线性性质：若若 ,则则5.奇偶对称性：奇偶对称性：2可加性：可加性：3 的弧长：的弧长：4.单调性：单调性：设在上设在上 ，则则关于关于x轴对称，轴对称，为为y的奇函数的奇函数关于关于x轴对称，轴对称，为为y的偶函数的偶函数本讲稿第三页，共四十一页三、对弧长的曲线积分的计算方法三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：方法：化为定积
2、分计算（注：下限化为定积分计算（注：下限上限）上限）（1）参数方程：若）参数方程：若 则则（2）直角坐标：若）直角坐标：若 则则（3）极坐标：若）极坐标：若 ;则则“描述代入描述代入”法法本讲稿第四页，共四十一页（4）参数方程：若）参数方程：若 则则注：注：被积函数可用积分曲线方程化简！被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分的应用四、对弧长的曲线积分的应用1几何应用几何应用 求曲线的弧长求曲线的弧长 2物理应用物理应用 质量质量 质心质心 转动惯量转动惯量 本讲稿第五页，共四十一页一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念1定义定义 2物理意义物理意义 变力变力 沿沿 所
3、作的功所作的功.对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）本讲稿第六页，共四十一页二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质若若 （方向不变），则（方向不变），则设设 是是 的反向曲线弧，则的反向曲线弧，则 2.方向性：方向性：1可加性：可加性：3.奇偶对称性：奇偶对称性：关于关于x轴对称，轴对称，为为y的偶函数的偶函数关于关于x轴对称，轴对称，为为y的奇函数的奇函数关于关于y轴对称，轴对称，为为x的偶函数的偶函数关于关于y轴对称，轴对称，为为x的奇函数的奇函数本讲稿第七页，共四十一页三、对坐标的曲线积分的计算方法三、对坐标的曲线积分的计算方法（化为定积分计
4、算）化为定积分计算）（1）参数方程：）参数方程：1直接计算法：直接计算法：设设 从从 变到变到 ;则则设设 ;从从 变到变到 ;则则“描述代入描述代入”法法本讲稿第八页，共四十一页设设 从从 变到变到 ;则则（2）直角坐标：）直角坐标：设设 从从 变到变到 ;则则注注:下限下限 起点起点 上限上限 终点终点本讲稿第九页，共四十一页3利用积分与路径无关的条件计算法利用积分与路径无关的条件计算法与路径无关与路径无关 单连域单连域.单连域单连域.2格林（格林（Green）公式计算法）公式计算法（注意使用条件！）（注意使用条件！）（这里（这里 为区域为区域 的正向边界曲线的正向边界曲线)，为为区域内任
5、意区域内任意闭闭曲曲线线.本讲稿第十页，共四十一页四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系 其中其中 为有向曲线弧为有向曲线弧 在点在点 处的切向量的方向角处的切向量的方向角.五、对坐标的曲线积分的解题方法五、对坐标的曲线积分的解题方法 本讲稿第十一页，共四十一页No积分与路径无关积分与路径无关 封闭封闭取特殊曲线取特殊曲线 转化为定积分转化为定积分积分与路径有关积分与路径有关 封闭封闭 确定确定D 应用应用Green公式公式 对对L补上特殊曲线补上特殊曲线 在封闭曲线在封闭曲线 上应用上应用Green公式公式 转化为转化为定积分定积分 YesNoYesNoYes解题方法流程图解题
6、方法流程图 本讲稿第十二页，共四十一页由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数 及积分曲线及积分曲线 然后判断等式然后判断等式 是否是否成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 内与积分路径内与积分路径无关无关.此时的计算方法是，看积分曲线此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭是否封闭.若若 为封闭为封闭曲线曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方若上式不成立，则曲线积分与
7、积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线法是，看积分曲线 是否封闭是否封闭.若若 为封闭曲线为封闭曲线,则直接利用则直接利用若若 不是封闭曲线不是封闭曲线,通常采用取特殊路径的方法（如取平行于通常采用取特殊路径的方法（如取平行于坐标轴的折线坐标轴的折线 )来计算所给积分，即来计算所给积分，即本讲稿第十三页，共四十一页Green公式计算所给积分，即公式计算所给积分，即若若 不是封闭曲线不是封闭曲线,则计算方法一般有两种则计算方法一般有两种,一种是将曲线一种是将曲线再计算再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值最后将两式相减便得原曲线积分的值,即即积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径积
8、分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 ,使使 与与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用上应用Green公式公式,即即本讲稿第十四页，共四十一页六、对坐标的曲线积分的物理应用六、对坐标的曲线积分的物理应用 求变力沿曲线所作的功：求变力沿曲线所作的功：.本讲稿第十五页，共四十一页五、对弧长的曲线积分典型例题五、对弧长的曲线积分典型例题【例【例1】计算】计算 其中其中 为摆线为摆线的一拱的一拱 分析由于本分析由于本题积题积分曲分曲线线 的方程的方程为为参数形式，从参数形式，从计计算方法算方法框框图图上看，我上看，我们们可采用可采用线线路路2的方法的方法计计算算.
9、解：解：由于由于 而而故故 本讲稿第十六页，共四十一页【例【例2】计算曲线积分】计算曲线积分 其中其中 为圆周为圆周分析由于圆周分析由于圆周 在极坐标下的方程为在极坐标下的方程为 故从解题方法框图上看，我们可采用线路故从解题方法框图上看，我们可采用线路3的方法计算。的方法计算。解：解：圆周圆周 在极坐标下的方程为在极坐标下的方程为则则 故故.本讲稿第十七页，共四十一页分析由于本题积分曲线分析由于本题积分曲线 的方程可化为的方程可化为 或或 的的形式形式,故从计算方法框图上看故从计算方法框图上看,我们可采用线路我们可采用线路1的方法计算。的方法计算。但考虑到化为以但考虑到化为以 为积分变量的定积
10、分计算比较困难为积分变量的定积分计算比较困难,故本题故本题解解:由于由于 所以所以【例【例3】计算】计算 ,其中其中 为双曲线为双曲线 从点从点 至至点点 的弧段的弧段 积分曲线积分曲线 应采用应采用 的形式的形式.本讲稿第十八页，共四十一页【例【例4】计算计算 其中其中 为圆周为圆周直线直线 及及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界分析分析 由于积分曲线由于积分曲线 为闭曲线为闭曲线,由三段组成由三段组成故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法.在在 与与上可用框图中线路上可用框图中线路1的方法计算，在的方法计
11、算，在 上可用线路上可用线路3的方的方 法计算。法计算。本讲稿第十九页，共四十一页解：积分曲线解：积分曲线 为闭曲线（如图）为闭曲线（如图）其中其中 故故 可分解为可分解为本讲稿第二十页，共四十一页【例【例5】设设 为椭圆为椭圆 其周长记为其周长记为 求求 分析分析 由于积分曲线由于积分曲线 可恒等变形为可恒等变形为 而被积函数而被积函数 中又含有中又含有 故可将故可将代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分由于由于 关于关于 轴对称轴对称,函数函数 关于关于 为奇函数为奇函数,故有故有本讲稿第二十一页，共四十一页解：由奇偶对称性可知解：由奇偶对
12、称性可知 所以所以注：由于被积函数注：由于被积函数 定义在曲线定义在曲线 上上,故故 满足曲线满足曲线的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.本讲稿第二十二页，共四十一页分析分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是曲线是 而由轮换对称性可知：而由轮换对称性可知：故故由奇偶对称性知：由奇偶对称性知：故本题有如下简单的解法。故本题有如下简单的解法。【例【例6】*求求
13、,其中其中解解:本讲稿第二十三页，共四十一页【例【例7】设螺旋线弹簧一圈的方程为】设螺旋线弹簧一圈的方程为 其中其中 它的线密度它的线密度 求此线关于求此线关于轴的转动惯量轴的转动惯量 分析分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应先本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分 表示，然后计算积分即可。表示，然后计算积分即可。解：所求的转动惯量为解：所求的转动惯量为 而而故故 本讲稿第二十四页，共四十一页六、对坐标对曲线积分典型例题六、对坐标对曲线积分典型例题【例【例1】计算曲线积分】计算曲线积分 其中其中 为曲线为
14、曲线沿沿 增大的方向增大的方向.分析分析 由于由于 故曲线积分与路径有关故曲线积分与路径有关.又因为曲又因为曲线线不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为的方程改写为再代入被积函数中计算。再代入被积函数中计算。本讲稿第二十五页，共四十一页解：由于解：由
15、于 所以所以分析分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。【例【例2】计算曲线积分计算曲线积分 ,其中其中 为有向闭折线为有向闭折线,这里的这里的 依次为点依次为点 、本讲稿第二十六页，共四十一页解法解法1：化为定积分
16、计算：化为定积分计算.由于由于(如图如图)，这里，这里所以所以 从从 变到变到 。从从 变到变到 。从从 变到变到 。本讲稿第二十七页，共四十一页从而从而 解法解法2：利用斯托克斯公式计算：利用斯托克斯公式计算.设设 为平面为平面 上上 所围成部分的上侧，所围成部分的上侧，由由Stokes公式，得公式，得为为 在坐标面在坐标面 上的投影区域，则上的投影区域，则本讲稿第二十八页，共四十一页分析分析 由于由于 ,故曲线积分与路径有关。故曲线积分与路径有关。【例【例3】计算曲线积分】计算曲线积分 ,其中其中为区域为区域 的边界，取逆时针方向。的边界，取逆时针方向。又因又因 为封闭曲线（如图）。为封闭
17、曲线（如图）。且且 、在在 所围区域上满足所围区域上满足格林公式的条件，故本题可格林公式的条件，故本题可采用格林公式方法来计算，采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路即采用框图中线路221的方法。的方法。.本讲稿第二十九页，共四十一页解解:令令 ，.则则即即 由于由于故利用格林公式，得故利用格林公式，得本讲稿第三十页，共四十一页【例【例4】计算曲线积分计算曲线积分 .其中其中 为为圆周圆周 （按逆时针方向绕行）（按逆时针方向绕行）.分析分析 由于本题积分曲线由于本题积分曲线 为圆周为圆周 ,故可首先写故可首先写出出 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，的参数方程，然后将曲线积分转化
18、为定积分来计算，即可采用框图中线路即可采用框图中线路223的方法计算；另外，考虑到积分的方法计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采用框图中线路用框图中线路221的方法计算；此时应注意首先要利用积的方法计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。足格林公式的条件。本讲稿第三十一页，共四十一页解法解法1：化为定积分计算。：化为定积分计算。的参数方程为：的参数方程为：,从从 变到变到 .则则解法解法2：利用格林公式计
19、算。：利用格林公式计算。设设 由所围区域为由所围区域为 ,则则 ;于是于是本讲稿第三十二页，共四十一页分析分析 由例由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径 的积分，被积函数中含有的积分，被积函数中含有 和和 的项的项,【例【例5】计算曲线积分计算曲线积分 ,其中其中为曲线为曲线 上从点上从点 到点到点 的一段弧的一段弧.积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用G
20、reen公式的方法计算本题，即采用框图中线路公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。计算。线线 不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直本讲稿第三十三页，共四十一页解解:补直线段补直线段 :,从从 变到变到 ;并设曲线并设曲线所围区域为所围区域为 （如图），则由（如图），则由Green公式，得：公式，得：又又故故 .本讲稿第三十四页，共四十一页【例【例6】设】设 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分曲线积分 .分析分析 因因 ,则则由于由于 与与 在原点在原点 处不连续处不连
21、续,因此：因此：（1）若给定的曲线若给定的曲线 所围成的闭区域不包括原点所围成的闭区域不包括原点 ,则在则在此区域内曲线积分与路径无关；此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线若给定的曲线 所围成所围成的闭区域包括原点的闭区域包括原点 ,那么那么 、在在 所围成的闭区域上不所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取Green公式公式,由此将由此将 上的曲线积分转化为上的曲线积分转化为 上的曲线积分上的曲线积分.一条包围点一条包围点 的特殊的封闭光滑曲线的特殊的封闭光滑曲线 ,在在 上应用上应用本讲稿第三十五页
22、，共四十一页解：解：因因 ,则则故故 .（1）若给定的曲线若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点围成的闭区域不包括原点 .由由知曲线积分知曲线积分 与路径无关与路径无关,故故 .（2）若给定的曲线若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点所围成的闭区域包括原点 ,则取一条则取一条特殊的有向曲线特殊的有向曲线 (充分小充分小),规定规定 的方向的方向为为逆时针（如图所示）。逆时针（如图所示）。设设 所围成的区域为所围成的区域为 ,则在则在 上应用上应用Green 公式，得公式，得本讲稿第三十六页，共四十一页所以所以 .而而 故故或利用参数方程计算：令或利用参数方程计算：令 :,从从 到到 .所以所以本讲
23、稿第三十七页，共四十一页【例【例7】计算曲线积分】计算曲线积分 ,其中其中为为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.解：记解：记 ,.则由于则由于 ,分析分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看先看 以决定是否用格林公式或其他的方法计算。以决定是否用格林公式或其他的方法计算。则所给积分与路径无关。现取则所给积分与路径无关。现取 ,从从 变到变到 ;则有则有本讲稿第三十八页，共四十一页【例【例8】设位于点】设位于点 的质点的质点 对质点对质点 的引力大小为的引力大小为（为常数为常数,为质点为质点 对质点对质点
24、 之间的距离之间的距离),质点质点沿曲线自沿曲线自 运动到运动到 .求在此运动过程求在此运动过程分析分析 设质点设质点 对质点对质点 的引力的引力 .因此，因此，问题问题的关的关键键是写出引力是写出引力 的表达式的表达式.中质点中质点 对质点对质点 的引力所作的功的引力所作的功.则所求的功为则所求的功为本讲稿第三十九页，共四十一页解：解：作图如右图所示，可知作图如右图所示，可知引力引力 的方向与的方向与 一致一致,故故 ,于是于是),(yxM本讲稿第四十页，共四十一页分析分析 由于场力沿路径所作的功为由于场力沿路径所作的功为 ,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。是证明上述曲线积分与路径无关的问题。证明：场力沿路径所作的功为证明：场力沿路径所作的功为 ,【例【例9】设在半平面】设在半平面 内有力内有力 构成力场构成力场,其中其中 为常数，为常数，,证明在此力场中场力所作的功证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。与所取的路径无关。令令 ,;则则由于右半平面为单连通区域，且由于右半平面为单连通区域，且 ,所以场力所作的功所以场力所作的功与所取的路径无关。与所取的路径无关。本讲稿第四十一页，共四十一页