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1、弹性力学平面问题的有限元法1第1页，共91页，编辑于2022年，星期六9.1弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程弹性力学弹性力学:是研究弹性体（变形体）在约束和外载荷作用下应力是研究弹性体（变形体）在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。和变形分布规律的一门学科。方法方法:在弹性力学中针对微小的单元体（在弹性力学中针对微小的单元体（dxdydz）建立基本方）建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。程组的边值问题。弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程:平衡方程、几何方程、物理方
2、程。平衡方程、几何方程、物理方程。有限元方法所处理的对象有限元方法所处理的对象:任意变形体任意变形体变形体变形体:即物体内任意两点之间可发生相对移动。即物体内任意两点之间可发生相对移动。2第2页，共91页，编辑于2022年，星期六1）连续，）连续，2）均匀，）均匀，3）各向同性，）各向同性，4）完全弹性，）完全弹性，5）小变形。）小变形。5)小变形假定小变形假定:物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以略去物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以略去高阶小量高阶小量(二阶以上二阶以上)。1)物体内的物质连续性假定物体内的物质连续性假定:物质无空隙，可用连续函数来描述。物质无空隙
3、，可用连续函数来描述。2)物体内的物质均匀性假定物体内的物质均匀性假定:物体内各个位置的物质具有相同特性。物体内各个位置的物质具有相同特性。3)物体内的物质物体内的物质(力学力学)特性各向同性假定特性各向同性假定:物体内同一位置的物质物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性。在各个方向上具有相同特性。4)线性弹性假定线性弹性假定:物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状。后，物体可恢复原状。弹性力学的基本假定如下：弹性力学的基本假定如下：3第3页，共91页，编辑于2022年，星期六9.1.1基本变量基本变量弹性力学中的基本变
4、量为弹性力学中的基本变量为体力体力、面力面力、应力应力、位移位移、应变应变1）体力：体力：是分布在物体体积内部的力，例如重力和惯性力。是分布在物体体积内部的力，例如重力和惯性力。2）面力：面力：是作用在物体表面上的力，例如两物体间接触力、是作用在物体表面上的力，例如两物体间接触力、流体压力。流体压力。3）应力：应力：物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。一点的内力就是应力。应力应力S在其作用截面上的法向分量称为在其作用截面上的法向分量称为正应力正应力，用，用表示；在作用截面上的切表示；在作用截面上的切向分量称为向
5、分量称为剪应力剪应力，用，用表示。表示。外力外力4第4页，共91页，编辑于2022年，星期六外力外力内力内力内力5第5页，共91页，编辑于2022年，星期六将每个面上的应力分解为一个正应力和将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。研究受外力作用的物体中某点的应力状态研究受外力作用的物体中某点的应力状态单元体应力分量问题：问题：1）、下标表示？）、下标表示？2）、剪应力互等关系？）、剪应力互等关系？6第6页，共91页，编辑于2022年，星期六剪应力互等：剪应力互等：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该作用在两个互相垂直的面上并且垂直于
6、该两面交线的剪应力是互等的（大小、方向）。两面交线的剪应力是互等的（大小、方向）。物体内任意一点的物体内任意一点的应应力状力状态态可以用六个独立的可以用六个独立的应应力分量力分量来表示。来表示。7第7页，共91页，编辑于2022年，星期六4）位移位移:包括刚体位移、相对位移。包括刚体位移、相对位移。由于物体受力后发生了变形，物体内个点间的相对移动。用位移由于物体受力后发生了变形，物体内个点间的相对移动。用位移在在x，y，z坐标轴上的投影坐标轴上的投影u、v、w表示。表示。5）应变应变:物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为
7、各线段的单位长度的伸缩，称为正应变正应变，用，用表示。表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变剪应变，用，用表示。表示。与与应应力定力定义类义类似，物体内任意一点的似，物体内任意一点的变变形，可以用形，可以用六个六个应变应变分量表示。分量表示。8第8页，共91页，编辑于2022年，星期六9.1.3平衡方程（平衡方程（应力应力体力之间关系）体力之间关系）弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了衡方程代表了力的平衡力的平衡关系，建立了关系，建立了应力分量应
8、力分量和和体力分量体力分量之间的之间的关系。对于关系。对于平面问题平面问题，在物体内的任意一点有，在物体内的任意一点有，9第9页，共91页，编辑于2022年，星期六三维应力情况下的平衡微分方程三维应力情况下的平衡微分方程若：若：则平面问题则平面问题10第10页，共91页，编辑于2022年，星期六9.1.4几何方程（应变几何方程（应变位移关系）位移关系）对于平面问题，总的变形可分解为长度变化和角度变化：对于平面问题，总的变形可分解为长度变化和角度变化：由几何方程可以得到由几何方程可以得到位移和变形位移和变形之间的关系。之间的关系。定义定义x方向的相对伸长量方向的相对伸长量定义定义y方向的相对伸长
9、量方向的相对伸长量11第11页，共91页，编辑于2022年，星期六定义夹角的变化定义夹角的变化则定义夹角的总变化为则定义夹角的总变化为则则平面问题平面问题的几何变形方程为的几何变形方程为:12第12页，共91页，编辑于2022年，星期六3D问题的几何变形方程为问题的几何变形方程为:13第13页，共91页，编辑于2022年，星期六变形协调方程（变形连续方程、相容方程）变形协调方程（变形连续方程、相容方程）描述六个描述六个应变分量应变分量之间的关之间的关系。系。14第14页，共91页，编辑于2022年，星期六9.1.5物理方程（应力与应变关系，本构方程）物理方程（应力与应变关系，本构方程）对弹性体
10、，应力对弹性体，应力-应变应变线性关系线性关系广义虎克定理：广义虎克定理：15第15页，共91页，编辑于2022年，星期六虚位移原理虚位移原理若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能。就等于弹性体所具有的虚应变能。同样当虚位移发生时，在弹性体单位体积内应力在相应的虚应变上所作的功为同样当虚位移发生时，在弹性体单位体积内应力在相应的虚应变上所作的功为16第16页，共91页，编辑于
11、2022年，星期六9.1.2平面应力和平面应变问题平面应力和平面应变问题弹性体在满足一定条件时，其弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替形和应力的分布规律来代替，这类问题称为，这类问题称为平面问题平面问题。平面应变问题平面应变问题平面问题平面问题平面应力问题平面应力问题1.平面应力问题平面应力问题设设有有很很薄薄的的等等厚厚薄薄板板（某某一一方方向向的的尺尺寸寸较较另另外外两两个个方方向向尺尺寸寸小小很很多多），只只在在板板边边上上受受到到平平行行于于板板面面并并且且不不沿沿厚厚度度变变化化的的面面
12、力力，体体力力也也平平行行于于板板面面且不沿厚度变化。且不沿厚度变化。即即：当结构满足以下两个条件时，则认为是平面应力问题。当结构满足以下两个条件时，则认为是平面应力问题。(1)(1)几何条件：厚度尺寸远远小于截面尺寸，即结构形状呈薄板几何条件：厚度尺寸远远小于截面尺寸，即结构形状呈薄板形。形。(2)(2)载荷条件：载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，板平载荷条件：载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，板平面不受任何外力作用。面不受任何外力作用。17第17页，共91页，编辑于2022年，星期六设板的厚度为设板的厚度为t，在板面上：，在板面上：由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有，
13、由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有，工程中的许多结构都可作为平面应力问题来处理，如工程中的许多结构都可作为平面应力问题来处理，如链传动中链传动中的链片的链片、发动机中的连杆发动机中的连杆、内燃机的飞轮内燃机的飞轮、轧机的机架轧机的机架和和齿齿宽较小宽较小的直齿圆柱齿轮的直齿圆柱齿轮等。等。18第18页，共91页，编辑于2022年，星期六19第19页，共91页，编辑于2022年，星期六2）平面应变问题）平面应变问题设有很长的柱形体（长度远大于它的横向尺寸），支承情况不沿长度变化，在柱面上设有很长的柱形体（长度远大于它的横向尺寸），支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面（受到
14、平行于横截面（z轴）而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。轴）而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题。问题。(1)(1)几何条件几何条件:沿厚度方向的截面形状沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即结构呈等截面的细长形。结构呈等截面的细长形。(2)(2)载荷条件载荷条件:载荷垂直于厚度方向载荷垂直于厚度方向(平平行横截面行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受且沿厚度均匀分布，两个端面不受力。力。20第20页，共91页，编辑于2022年，星期六以柱体的
15、任一横截面为以柱体的任一横截面为XY平面，任一纵线为平面，任一纵线为Z轴。假定该柱体为轴。假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，工程中工程中滚针轴承的滚针滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊轧钢机的轧辊、水坝水坝、受受内压管道内压管道、齿宽较大的直齿轮齿宽较大的直齿轮等都可按平面应变等都可按平面应变问题来处理。问题来处理。位移分量都不沿位移分量都不沿z方向变化。方向变化。21第21页，共91页，编辑于2022年，星期六1 1、平面应力问题中（、平面应力问题中（Z Z轴垂直于该平面），诸应力分量中为零的是轴垂直于该平面），诸应力分量中为零
16、的是（）。）。2、在平面应力问题中，沿板厚方向（、在平面应力问题中，沿板厚方向（）。）。A应变为零，但应力不为零应变为零，但应力不为零B应力为零，但应变不为零应力为零，但应变不为零C应力、应变都为零应力、应变都为零D应变、应力都不为零应变、应力都不为零3 3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析，正确、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析，正确的是的是()()A.x=y=0,xy0B.xy=yz=0,x=y0C.yz=xz=0,z=0D.x=y0,xy=0Ax,y，zBxy,xz,yzCx,y,xyDz,yz,xz22第22页，共91页，编辑于2022年，星期六弹性力学平面问题的物
17、理方程由广义虎克定律得到。弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。1 1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程23第23页，共91页，编辑于2022年，星期六令：令：D=C-1D称为称为弹性矩阵弹性矩阵。对称矩阵，与材料性能参数对称矩阵，与材料性能参数E、有关。有关。由应变求应力的由应变求应力的弹性方程弹性方程。24第24页，共91页，编辑于2022年，星期六2 2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程25第25页，共91页，编辑于2022年，星期六在平面应力问题的物理方程中，将在平面应力问题的物理方程中，将E替换为替换为，替换为替换为可以得到平面应变问题的物理方程；
18、可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将在平面应变问题的物理方程中，将E替换为替换为、替换替换，可以得到平面应力问题的物理方程。可以得到平面应力问题的物理方程。26第26页，共91页，编辑于2022年，星期六平面问题的基本解法平面问题的基本解法平面问题的未知变量平面问题的未知变量平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程平面应力平面应力平面应变平面应变27第27页，共91页，编辑于2022年，星期六一、应力法：应力作为基本未知量一、应力法：应力作为基本未知量位移位移应变应变应力应力几何方程几何方程物理方程物理方程应力应力应变应变位移位移物理方程物理方程几何方程几何方
19、程求解求解二、位移法：位移分量作为基本未知量二、位移法：位移分量作为基本未知量求解求解弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法外力外力平衡微分方程平衡微分方程力力平衡微分方程平衡微分方程28第28页，共91页，编辑于2022年，星期六9.2单元位移函数单元位移函数9.2.1平面问题的平面问题的3节点三角形单元节点三角形单元3结结点三角形点三角形单单元元节节点点i、j、m的坐的坐标标分分别为别为节节点位移分别为点位移分别为逆时针方向编码为正逆时针方向编码为正uvP29第29页，共91页，编辑于2022年，星期六节点节点位移位移单元内位单元内位移分量移分量应变应变应力应力节点力节点力几何方程几
20、何方程物理方程物理方程平衡方程平衡方程K?怎样描述位移的变化规律？怎样描述位移的变化规律？位移模式位移模式30第30页，共91页，编辑于2022年，星期六uvP9.2.1位移模式位移模式由节点位移求内部任一点位移由节点位移求内部任一点位移弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元单元位移函数位移函数、或、或单元位移模式单元位移模式。（单元位移和节点位移之间的关系）（单元位移和节点位移之间的关系）
21、假设单元内任一点假设单元内任一点P(x,y)的位移的位移u,v为为坐标的某种函数坐标的某种函数u(x,y)、v(x,y)将将3个结点上的坐标和位移分量代入公式，个结点上的坐标和位移分量代入公式，就可以将六个待定系数用节点坐标和位移就可以将六个待定系数用节点坐标和位移分量表示出来。分量表示出来。31第31页，共91页，编辑于2022年，星期六将水平位移分量和节点坐标公式中的第一式，将水平位移分量和节点坐标公式中的第一式，（下标（下标i，j，m轮换）轮换）其中其中:32第32页，共91页，编辑于2022年，星期六同理同理:令令（下（下标标i，j，m轮换轮换）Ni称为形态函数称为形态函数N称为形态矩
22、阵称为形态矩阵33第33页，共91页，编辑于2022年，星期六单元内的位移函数用节点位移表示，可以简写成，单元内的位移函数用节点位移表示，可以简写成，单元的结点位移记为单元的结点位移记为单元内的位移记为单元内的位移记为34第34页，共91页，编辑于2022年，星期六选择单元位移函数应满足以下条件：选择单元位移函数应满足以下条件：1）位移模式必须反映单元的刚体位移：常数项）位移模式必须反映单元的刚体位移：常数项2）位移模式必须反映单元的常量应变：线性）位移模式必须反映单元的常量应变：线性3）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也
23、不能脱离。即位移函数在单元之间连续，称为协调性条件。不能脱离。即位移函数在单元之间连续，称为协调性条件。满足满足1）、）、2）条原则的称为完备性单元。）条原则的称为完备性单元。同时满足三条原则的称为完备协调单元。同时满足三条原则的称为完备协调单元。35第35页，共91页，编辑于2022年，星期六形态函数形态函数N(x,y)具有以下性质：具有以下性质：1）形态函数在单元节点上形态函数的值，具有）形态函数在单元节点上形态函数的值，具有“本点为本点为1，它点，它点为为0”。2）形态函数在单元中任一点，三个形态函数之和为）形态函数在单元中任一点，三个形态函数之和为1。36第36页，共91页，编辑于20
24、22年，星期六3）三角形单元任意一边上的形函数，仅与该边的两端）三角形单元任意一边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，而与其他节点坐标无关。节点坐标有关，而与其他节点坐标无关。例如：在例如：在ij边上（即边上（即i，j节点），有节点），有37第37页，共91页，编辑于2022年，星期六例题例题1：如图所示等腰三角形单元，求其形态矩阵：如图所示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。38第38页，共91页，编辑于2022年，星期六三角形三角形积为积为形态函数为形态函数为形形态态矩矩阵为阵为39第39页，共91页，编辑于2022年，星期六例例2 2、证明：对平面三角形单元形函数存在下列关系、证明：对平
25、面三角形单元形函数存在下列关系40第40页，共91页，编辑于2022年，星期六节点节点位移位移单元内位单元内位移分量移分量应变应变应力应力节点力节点力几何方程几何方程物理方程物理方程平衡方程平衡方程K位移模式位移模式N41第41页，共91页，编辑于2022年，星期六9.3单元刚度矩阵单元刚度矩阵用节点位移表示单元内部各点位移：用节点位移表示单元内部各点位移：1由节点位移求应变由节点位移求应变42第42页，共91页，编辑于2022年，星期六记为记为，B矩矩阵阵称称为为几何矩几何矩阵阵。B矩矩阵阵可以表示可以表示为为分分块块矩矩阵阵的形式的形式由几何方程可以得到单元的应变表达式由几何方程可以得到单
26、元的应变表达式43第43页，共91页，编辑于2022年，星期六关于几何矩阵关于几何矩阵1)几何矩阵中每一元素几何矩阵中每一元素bi的物理意义：单元某一节点有单位位移且的物理意义：单元某一节点有单位位移且其它节点位移皆为其它节点位移皆为0时，所引起单元内部的时，所引起单元内部的应变分布应变分布。2)几何矩阵中各元素为常数（单元位移确定后，节点坐标值为定几何矩阵中各元素为常数（单元位移确定后，节点坐标值为定值），因而值），因而应变分量为常量应变分量为常量，平面三角形单元为常应变单元平面三角形单元为常应变单元。（这是由于采用线性位移函数的结果）。（这是由于采用线性位移函数的结果）。1、推导杆单元的形
27、态函数、形态矩阵、几何矩阵。、推导杆单元的形态函数、形态矩阵、几何矩阵。练习：练习：EAl12x44第44页，共91页，编辑于2022年，星期六45第45页，共91页，编辑于2022年，星期六2、已知三角形单元的形态矩阵为、已知三角形单元的形态矩阵为根据形态矩阵求三角形单元的几何矩阵根据形态矩阵求三角形单元的几何矩阵46第46页，共91页，编辑于2022年，星期六2由应变求应力由应变求应力由物理方程，可以得到单元的应力表达式由物理方程，可以得到单元的应力表达式D称为称为弹性矩阵弹性矩阵，对于平面应力问题，对于平面应力问题对于平面应变问题对于平面应变问题47第47页，共91页，编辑于2022年，
28、星期六3由节点位移求应力由节点位移求应力定定义义为为应应力矩力矩阵阵。将应力矩阵分块表示为将应力矩阵分块表示为关于应力矩阵关于应力矩阵1)应力矩阵中每一元素的物理意义：单元某一节点有单位位移且其它节点位应力矩阵中每一元素的物理意义：单元某一节点有单位位移且其它节点位移皆为移皆为0时，所引起单元内部的时，所引起单元内部的应力分布应力分布。2)应力矩阵中各元素为常数，因而应力矩阵中各元素为常数，因而应力分量为常量应力分量为常量，平面三角形单元为常平面三角形单元为常应力单元应力单元。48第48页，共91页，编辑于2022年，星期六4由应力求节点力由应力求节点力根据虚位移原理根据虚位移原理49第49页
29、，共91页，编辑于2022年，星期六5由节点位移求节点力由节点位移求节点力单元刚度矩阵单元刚度矩阵50第50页，共91页，编辑于2022年，星期六例题例题2：如图所示等腰三角形单元，求其刚度矩阵：如图所示等腰三角形单元，求其刚度矩阵K，设，设=0。解：解：1）求）求B51第51页，共91页，编辑于2022年，星期六2）求）求D3）求）求S52第52页，共91页，编辑于2022年，星期六4）求）求K53第53页，共91页，编辑于2022年，星期六9.4单元刚度矩阵的性质与物理意义单元刚度矩阵的性质与物理意义（一）单元刚度矩阵的物理意义（一）单元刚度矩阵的物理意义假假设单设单元的元的节节点位移如下
30、：点位移如下：由由，得到，得到节节点力如下：点力如下：Kix,ix表示表示i节点在水平方向产生单位位移时，节点在水平方向产生单位位移时，在在节节点点i的的水平方向水平方向上需要施加的上需要施加的节节点力。点力。Kiy,ix表示表示i节节点在水平方向产生单位位移时，点在水平方向产生单位位移时，在在节节点点i的的垂直方向垂直方向上需要施加的上需要施加的节节点力。点力。因此单元刚度矩阵中每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点产生单位位移时需因此单元刚度矩阵中每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点产生单位位移时需要施加的力。要施加的力。54第54页，共91页，编辑于2022年，星期六（二）单元刚度矩阵
31、的性质（二）单元刚度矩阵的性质1)对称性对称性2)奇异性奇异性3)分块性分块性55第55页，共91页，编辑于2022年，星期六9.5整体刚度矩阵的形成整体刚度矩阵的形成基本方法是基本方法是刚度集成法刚度集成法，由单元刚度矩阵中的元素累加得到整，由单元刚度矩阵中的元素累加得到整体刚度矩阵中的元素，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。体刚度矩阵中的元素，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。如何得到整体刚度矩阵？如何得到整体刚度矩阵？刚刚度度集集成成法法即即结结构构中中的的节节点点力力是是相相关关单单元元节节点点力力的的叠叠加加，整整体体刚刚度度矩矩阵阵的的元元素素是是相相关关单单元元的的单单元元刚
32、刚度度矩矩阵阵元元素素的的集集成成。节节点点3在在整整体体刚刚度度矩矩阵阵的的对对应应系系数数，应应该该是是单单元元（1）、（3）、（4）中中对对应应系系数数的集成。的集成。56第56页，共91页，编辑于2022年，星期六iijijjmjmmim单元单元(1):i，j，m单元的局部码与整体的总码的对应关系：单元的局部码与整体的总码的对应关系：1，2，3单元单元(2):i，j，m2，4，5单元单元(3):i，j，m2，5，3单元单元(4):i，j，m3，5，6ijmijm12312345645657第57页，共91页，编辑于2022年，星期六123123456456123123232452455
33、32535635658第58页，共91页，编辑于2022年，星期六kii1kij1kij1kji1kjj1+kii2+kii3kjm1+kim3kij2kim2+kij3kmi1kmj1+kmi3kmm1+kmm3+kii4kij1+kmj3+kij4kij1+kim4kji2kjj2kjm2kmi2+kji3kij1+kjm3+kji4kmj2kmm2+kjj3+kjj4kij1+kjm4kij1+kmi4kij1+kmj4kij1+kmm4123456123456整体刚度矩阵如下所示：整体刚度矩阵如下所示：总码总码59第59页，共91页，编辑于2022年，星期六刚度矩阵集成的规则刚度矩阵集
34、成的规则确定整体结构节点数确定整体结构节点数n，整体刚度矩阵为，整体刚度矩阵为2nx2n阶矩阵，整体阶矩阵，整体刚度矩阵分块矩阵为刚度矩阵分块矩阵为nxn阶矩阵。阶矩阵。确定局部码与总码的对应关系，确定局部码与总码的对应关系，i、j、m总码位置。总码位置。将各单元刚度矩阵中的每个子矩阵将各单元刚度矩阵中的每个子矩阵Kije放到整体刚度矩放到整体刚度矩阵的对应位置。阵的对应位置。出现在同一位置上的分块矩阵，迭加成整体刚度矩阵中的一出现在同一位置上的分块矩阵，迭加成整体刚度矩阵中的一个子矩阵。个子矩阵。60第60页，共91页，编辑于2022年，星期六9.6整体刚度矩阵的特点与存储方法整体刚度矩阵的
35、特点与存储方法1、整体刚度矩阵的特点：、整体刚度矩阵的特点：对称性对称性稀疏性稀疏性非零系数带形分布非零系数带形分布对称性：对称性：利用对称性，只保存整体矩阵上三角部分的系数即可。利用对称性，只保存整体矩阵上三角部分的系数即可。61第61页，共91页，编辑于2022年，星期六稀疏性稀疏性:在整体刚度矩阵中，存在大量的零元素，非零元素的个数只占较小的部在整体刚度矩阵中，存在大量的零元素，非零元素的个数只占较小的部分分。这是由结构体存在大量互不相关的节点造成的。这是由结构体存在大量互不相关的节点造成的。62第62页，共91页，编辑于2022年，星期六整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带形
36、区域内，这种矩阵称为整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，这种矩阵称为带形矩阵带形矩阵。在包括对角线元素的半个带形区域内，每行具有的元素个数叫做在包括对角线元素的半个带形区域内，每行具有的元素个数叫做半带宽半带宽。63第63页，共91页，编辑于2022年，星期六2D连续体问题总体刚度矩阵的半带宽连续体问题总体刚度矩阵的半带宽:64第64页，共91页，编辑于2022年，星期六9.7约束条件的处理约束条件的处理位移边界条件在大多数情形下有两类位移边界条件在大多数情形下有两类:第一类第一类:零位移边界零位移边界第二类第二类:给定具体数值的给定具体数值的位移边界位移边界65第65页，
37、共91页，编辑于2022年，星期六第一类第一类:零位移边界零位移边界方法方法:对角元素置对角元素置“1”法法不变不变不变不变66第66页，共91页，编辑于2022年，星期六第二类第二类:给定具体数值的位移边界给定具体数值的位移边界方法方法:对角元素乘大数法对角元素乘大数法67第67页，共91页，编辑于2022年，星期六9.8单元等效节点载荷列阵单元等效节点载荷列阵1、体积分布力、体积分布力68第68页，共91页，编辑于2022年，星期六2、分布面力、分布面力xqmjiys69第69页，共91页，编辑于2022年，星期六xqmjiys70第70页，共91页，编辑于2022年，星期六xqmjiys
38、71第71页，共91页，编辑于2022年，星期六3、集中力、集中力xqmjiyslilj72第72页，共91页，编辑于2022年，星期六节点载荷列阵的集成节点载荷列阵的集成单元单元(1)123456单元单元(2)123456单元单元(3)123456单元单元(4)123456P73第73页，共91页，编辑于2022年，星期六结构的平衡方程结构的平衡方程74第74页，共91页，编辑于2022年，星期六9.9应用应用iijijjmjmmimP1KN/m1、如图所示结构为一平面应力问题离散化、如图所示结构为一平面应力问题离散化后的结构图，用有限元法计算节点位移、后的结构图，用有限元法计算节点位移、单
39、元应变、单元应力。（单元应变、单元应力。（=0,t=1）解：解：载荷载荷P作用在节点作用在节点1上，边界条件：上，边界条件：u1=u2=u4=v4=v5=v6=01)单元分析：单元分析：75第75页，共91页，编辑于2022年，星期六由于由于=076第76页，共91页，编辑于2022年，星期六2)整体分析：整体分析：对称77第77页，共91页，编辑于2022年，星期六对称78第78页，共91页，编辑于2022年，星期六3)单元应变计算：单元应变计算：79第79页，共91页，编辑于2022年，星期六4)单元应力计算：单元应力计算：80第80页，共91页，编辑于2022年，星期六5)单元节点力计算
40、：单元节点力计算：81第81页，共91页，编辑于2022年，星期六2、等腰直角三角形单元、等腰直角三角形单元ABC，AC=BC=10mm，厚度为，厚度为5mm，已知材，已知材料弹性模量料弹性模量E2x105N/mm2，=0。如。如A点沿点沿x方向位移为方向位移为uA=2x10-5mm，B点沿点沿y方向位移为方向位移为vB=10-5mm，而，而C点的位移为点的位移为0。试计算此单。试计算此单元元3个节点的节点力。个节点的节点力。ijm82第82页，共91页，编辑于2022年，星期六3、如图所示一厚度为、如图所示一厚度为t的等厚度矩形薄板。该矩形薄板一端固定，的等厚度矩形薄板。该矩形薄板一端固定，
41、一端承受均匀拉力一端承受均匀拉力q(吨吨/米米)，长为，长为2米，宽为米，宽为1米，材料弹性常数米，材料弹性常数为为E和和(=1/3)。在不计自重的情况下，试用有限元法求其应力。在不计自重的情况下，试用有限元法求其应力分量。分量。83第83页，共91页，编辑于2022年，星期六84第84页，共91页，编辑于2022年，星期六85第85页，共91页，编辑于2022年，星期六4、如图所示二杆平面桁架，杆长为、如图所示二杆平面桁架，杆长为L，弹性模量为，弹性模量为E，杆截面积为，杆截面积为A，试，试求（求（1）整体刚度矩阵；（）整体刚度矩阵；（2）在）在1、2节点处引入支承条件，写出总体平衡节点处引
42、入支承条件，写出总体平衡方程。方程。123Pxy45086第86页，共91页，编辑于2022年，星期六5、三角形单元的面积为、三角形单元的面积为1，厚度为，厚度为1，已知三角形单元的形态矩阵为，已知三角形单元的形态矩阵为利用单元的形态矩阵求三角形单元的刚度矩阵。利用单元的形态矩阵求三角形单元的刚度矩阵。87第87页，共91页，编辑于2022年，星期六1、在一平面桁架中，已知节点、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的（划去总体刚度矩阵中的（）第第3行和第行和第3列列第第6行和第行和第
43、6列列第第3行和第行和第6列列第第6行和第行和第3列列2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为，总码为4和和1。其。其单元刚度矩阵中的元素单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵应放入总体刚度矩阵K的（的（）第第3行第行第2列上列上第第4行第行第1列上列上第第9行第行第6列上列上第第12行第行第11列上列上3、在一平面刚架中共有、在一平面刚架中共有9个杆单元，个杆单元，12个节点，则其总体刚度矩阵个节点，则其总体刚度矩阵K是（是（）9阶方阵阶方阵12阶方阵阶方阵36阶方阵阶方阵912阶矩阵阶矩阵4、若把平面
44、应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将（）、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将（）E换成换成E/(1-2),换成换成/(1-2)E换成换成E/(1-2),换成换成/(1-)E换成换成E/(1-),换成换成/(1-2)E换成换成E/(1-),换成换成/(1-)88第88页，共91页，编辑于2022年，星期六5、刚架杆单元与平面三角形单元（、刚架杆单元与平面三角形单元（）单元刚度矩阵阶数不同单元刚度矩阵阶数不同局部坐标系的维数不同局部坐标系的维数不同无任何不同无任何不同节点载荷和位移分量数不同节点载荷和位移分量数不同6、图图示平面示平面结结构的构的总总体体刚刚度
45、矩度矩阵阵和和竖带竖带矩矩阵阵K*的元素的元素总总数分数分别别是（是（）。）。400和和200400和和160484和和200484和和1607、材料性质均匀的三节点三角形单元，其内部各点（、材料性质均匀的三节点三角形单元，其内部各点（）应力和应变均不随位置变化应力和应变均不随位置变化应力和应变均随位置变化应力和应变均随位置变化应力不随位置变化，应变随位置变化应力不随位置变化，应变随位置变化应力随位置变化，应变不随位置变化应力随位置变化，应变不随位置变化89第89页，共91页，编辑于2022年，星期六8、描述位移与应变关系的方程称（、描述位移与应变关系的方程称（）弹性方程弹性方程几何方程几何方
46、程平衡方程平衡方程虚功方程虚功方程9、在以平面刚架中，支承节点、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（则应将总体刚度矩阵中的（）第第4行和第行和第4列上的元素换为大数列上的元素换为大数A第第4行和第行和第4列上的所有元素换为大数列上的所有元素换为大数A第第10行、第行、第10列上的元素换为大数列上的元素换为大数A第第10行、第行、第10列上的所有元素换为大数列上的所有元素换为大数A10、图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划、图示的四根杆组成的平面刚架结构
47、，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（）8x8阶矩阵阶矩阵10 x10阶矩阵阶矩阵12x12阶矩阵阶矩阵16x16阶矩阵阶矩阵90第90页，共91页，编辑于2022年，星期六11、在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为5，则半宽值为，则半宽值为()1018151212、图示平面应力问题的结构中、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵（）单元刚度矩阵（）KI=KIII,KII=KIV,但KIKIIKI=KII,KIII=KIV,但KIKIIIKIKIIKIIIKIVKI=KII=KIII=KIV91第91页，共91页，编辑于2022年，星期六