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1、行列式和线性方程组的求解第1页，共31页，编辑于2022年，星期二我想说我想说课程的重要性课程的重要性大学与中学的区别大学与中学的区别综合考评综合考评自主学习自主学习如何学好如何学好做好预习复习做好预习复习多看多练多想多看多练多想工科基础工科基础考研基础考研基础v期末成绩占期末成绩占 90%v平时成绩占平时成绩占5%v分配时间分配时间v学习方法学习方法v数学试验占数学试验占5%未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学学习习(Study,not learn)的人的人 _Alvin Toffler(未来学家未来学家)怎样做怎样做(How
2、?)为什么这样做为什么这样做(Why?)不这样做可以吗不这样做可以吗(Other ways?)应试型学习应用型学习应试型学习应用型学习按时完成作业按时完成作业 A B C思维训练思维训练趣味思考题趣味思考题第2页，共31页，编辑于2022年，星期二v掌握三基掌握三基基本概念基本概念(定义、符号定义、符号)基本理论基本理论(定理、公式定理、公式)基本方法基本方法(计算、证明计算、证明)v提前预习提前预习体会思路体会思路v多动手，勤思考多动手，勤思考深入体会思想方法深入体会思想方法v培养培养自学自学能力能力，独立分析问题，独立分析问题能力能力 和独立解决问题的和独立解决问题的能力能力学习方法学习方
3、法返回第3页，共31页，编辑于2022年，星期二训练思维，塑造学生内在素质训练思维，塑造学生内在素质 1.1.学会观察，发现规律学会观察，发现规律2.2.培养耐心与坚韧的性格培养耐心与坚韧的性格 书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心3.3.培养学生的发散思维培养学生的发散思维 将结论做为条件进行倒推将结论做为条件进行倒推 一题多解，多解归一，多题归一一题多解，多解归一，多题归一 培养学生多角度看问题培养学生多角度看问题 利用精炼的语言艺术归纳、比拟利用精炼的语言艺术归纳、比拟 探讨变换问题条件探讨变换问题条件 转换思考角度，训练思维的求异性转换思考角度，
4、训练思维的求异性5.5.培养学生化繁为简的思考模式培养学生化繁为简的思考模式6.6.培养学生分析问题的能力培养学生分析问题的能力 非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力4.4.转化思想，训练思维的联想性转化思想，训练思维的联想性返回第4页，共31页，编辑于2022年，星期二课程内容与结构课程内容与结构一、线性代数一、线性代数主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 二、空间解析几何二、空间解析几何三、两者关系：三、两者关系：数量关系数量关系 在三维空间中在三维空间中:空
5、间形式空间形式 点点,线线,面，二次曲面面，二次曲面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）三维三维n维维ch1ch1核心工具核心工具初等变换初等变换第5页，共31页，编辑于2022年，星期二n 维维 空空 间间成功的五要素空间成功的五要素空间第一、目第一、目标 第二、胸第二、胸怀 第三、勇气第三、勇气 第四、第四、坚持持 第五、第五、聪明明 创业老板成功十意识创业老板成功十意识空间空间一、创造梦想、发现机遇的意识一、创造梦想、发现机遇的意识 二、凝聚梦想、专注热爱的意识二、凝聚梦想、专注热爱的意识 三、学习新知、进取提升的意识三、学习新知、进取提升的意识 四
6、、坚持社会公理、科学理性思维的意识四、坚持社会公理、科学理性思维的意识 五、突破陈规、创新创造的意识五、突破陈规、创新创造的意识 六、平和心态、调节情绪的意识六、平和心态、调节情绪的意识 七、关注细节、紧盯结果的意识七、关注细节、紧盯结果的意识 八、改造员工、影响他人的意识八、改造员工、影响他人的意识 九、敢担责任、直面挑战的意识九、敢担责任、直面挑战的意识 十、居安思危、自省自警的意识十、居安思危、自省自警的意识 第6页，共31页，编辑于2022年，星期二线线 性性 代代 数数一、主要任务一、主要任务解线性方程组解线性方程组 线性方程组线性方程组方程间方程间的关系的关系向量间向量间的关系的关
7、系矩阵的性矩阵的性质和运算质和运算 行列式行列式的运算的运算 返回考考虑再学再学方程方程对应一个向量一个向量再学再学向量向量组构成矩构成矩阵再学再学方方阵再学再学二、主要问题二、主要问题 应用线性方程组应用线性方程组 求方阵的特征值特征向量求方阵的特征值特征向量方阵的相似对角化问题方阵的相似对角化问题实对称矩阵的正定性实对称矩阵的正定性三、重点难点三、重点难点 向量组的线性无关性向量组的线性无关性向量组的线性无关性向量组的线性无关性 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩核心工具初等变换核心工具初等变换核心工具初等变换核心工具初等变换第7页，共31页，编辑于2022年，星期二线性方程组：线性方程组：
8、(2)2 (1)可得可得：1/3 (2)可得可得：(1)(2)可得可得：高斯消元法：高斯消元法：(2)+k (1)(k 0)k (2)(k 0)(1)(2)初等变换线性代数的核心工具经济政策模型返回DetLELE第8页，共31页，编辑于2022年，星期二线性方程组：线性方程组：高斯消元法：高斯消元法：初等变换第9页，共31页，编辑于2022年，星期二教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数课件课件 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 111-161.2 n阶行列式阶行列式 116-281.3 行
9、列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 2第10页，共31页，编辑于2022年，星期二 线性方程组的应用线性方程组的应用:平面的位置关系平面的位置关系 电路 化学方程式配平化学方程式配平 交通流量交通流量 营养配方营养配方 搜索引擎 投入产出模型投入产出模型 W.Leontief 美美(1905.8.5-1999.2.5)(1905.8.5-1999.2.5)1973 1973 NobelNobel经济学奖经济学奖经济学奖经济学奖 第11页，共31页，编辑于2022年，星期二1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 一一.排列的逆序数排列的逆序数 二二.n
10、阶行列式阶行列式的定义的定义三三.行列式的转置行列式的转置第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解1.2 n阶行列式阶行列式第12页，共31页，编辑于2022年，星期二第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式(a11a22 a12a21)x1=b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2=a11b2 b1a21 当当 a11a22 a12a
11、21 0 时时,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21,x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 第13页，共31页，编辑于2022年，星期二a11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当D=a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21方程组有唯一确定的解方程组有唯一确定的解x2
12、=a11a22 a12a21a11b2 b1a21第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 =a11b2 b1a21二阶行列式的对二阶行列式的对角线法则角线法则Cramer法则法则例例例例第14页，共31页，编辑于2022年，星期二三阶行列式的对角线法则三阶行列式的对角线法则 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2每项都是三个元素的乘积每项都是三个元素的乘积.每项的三个元素位于不同
13、的行列每项的三个元素位于不同的行列.问题问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗能用对角线法则计算四阶行列式吗?a1 a2 a3 a4 4b1 b2 b3 b4 4c1 c2 c3 c4 4d d1 1 d d2 2 d3 d d4 4对角线法则可得对角线法则可得八八项的代数和；项的代数和；每项的每项的四四个元素位于不同的行列个元素位于不同的行列 可得可得 4！=24 项的代数和项的代数和.产生矛盾产生矛盾 否否 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列
14、式二阶、三阶行列式 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 第15页，共31页，编辑于2022年，星期二二二.三阶行列式的特点三阶行列式的特点 每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.将行标按将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于排好，列标恰好对应于1,2,3的的6种排列种排列.各项系数与列标的排列的逆序数有关各项系数与列标的排列的逆序数有
15、关.(1)1对换对换2次次 对换对换1次次(1)2问题问题问题问题:如何利用二三阶行列式的如何利用二三阶行列式的如何利用二三阶行列式的如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式其他特点计算四阶以上行列式?对换的次数对换的次数称为逆序数称为逆序数.(1)0第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 第16页，共31页，编辑于2022年，星期二a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33排列排列j1 j2 j
16、3的逆序数的逆序数 对所有不同的三级排列对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31第17页，共31页，编辑于2022年，星期二1.逆序数逆序数 逆序：逆序：违反从小到大的正常顺序违反从小到大的正常顺序 一个一个排列的排列的逆序数逆序数:所
17、有数的逆序数的总和所有数的逆序数的总和.奇奇(偶偶)排列：排列：逆序数为奇逆序数为奇(偶偶)数的排列数的排列.逆序数逆序数 k：设设i1 i2 ik in是是1 n的一个排列的一个排列,则则ik在此排列中的逆序数在此排列中的逆序数 k为为排在数排在数ik之前之前(后后)比比ik大大(小小)的数的个数的数的个数.三三.排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 对换对换(变成变成12n)的次数称为逆序数的次数称为逆序数.
18、第18页，共31页，编辑于2022年，星期二例例1.求下列排列的求下列排列的逆序数逆序数 (1)32514 (2)n(n 1)(n 2)321 (3)(2n)(2n 2)4213(2n 3)(2n 1).2.对换对换 对换对换:对调对调排列中的任排列中的任两个两个元素元素,其余元素不动其余元素不动.相相邻对换邻对换:将将相邻相邻的两个元素对换的两个元素对换.逆序数逆序数 k：排在数：排在数ik之前之前(后后)比比ik大大(小小)的数的个数的数的个数.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n
19、阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第19页，共31页，编辑于2022年，星期二定理定理1.1.每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性.推论推论.n 2时时,n个个元素的所有排列中元素的所有排列中,奇、偶奇、偶 排列各占一半排列各占一半,即各有即各有n!/2个个.注注:任一相邻对换都任一相邻对换都改变改变排列的排列的奇偶性奇偶性.任一对换都可通过任一对换都可通过奇数次奇数次相邻对换来实现相邻对换来实现.a1 al ab1 bm b c1 cna1 al ab b1 bm c1 cna1 al b b1 bm a c1 cna1 al ab1 bm-1bbm c1 cna1 al
20、 bab1 bm c1 cna1 al bb1a bm c1 cn对换对换m次次对换对换m+1次次共对换共对换2m+1次次a1 al ab b1 bma1 al ba b1 bm若若ab,则则 a =a,b =b 1,若若ab,则则 a =a+1,b =b,=1.=+1.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第20页，共31页，编辑于2022年，星期二1.1-2 方阵的行列式方阵的行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 三三.
21、排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 四四.n阶行列式的定义阶行列式的定义 1.逆序数逆序数 2.对换：对换：1.n阶行列式的定义阶行列式的定义 2.几个特殊的行列式几个特殊的行列式 二二.三阶行列式的特点三阶行列式的特点 每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性.第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解3.行列式的转置行列式的转置对角线法则对角线法则第21页，共31页，编辑于2022年，星期二1.n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注:n阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和
22、.四四.n阶行列式的定义（阶行列式的定义（Determinant）n阶行列式是定义在阶行列式是定义在nn个数集合个数集合(n阶方阵阶方阵)上的上的一个一个函数函数，即，即 f(A)=detA:Rnn R.当当n=1时时,一阶行列式一阶行列式|a11|=a11,有正负号有正负号.排列排列j1 j2 jn的逆序数的逆序数 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第22页，共31页，编辑于2022年，星期二2.几个特殊的行列式几个特殊的行列式 a11 0 0 0
23、 a22 0 0 0 ann 0 0 a1n 0 a2,n 1 0 an1 0 0=a11a22ann a1n a2,n 1an1(1)对角行列式对角行列式 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第23页，共31页，编辑于2022年，星期二第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 (2)上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann=a11 a22ann=
24、2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0=a1na2n-1an1 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann第24页，共31页，编辑于2022年，星期二第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 例例1.证明证明f()是是 的的n次次多项式多项式,并求并求 n,n1的系数的系数及常数项及常数项.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=d1=
25、(a11)(a22)(ann)f(0)2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式=(1)n|A|=(1)n=|A|第25页，共31页，编辑于2022年，星期二3.n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 anna11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.=a11 a22 a33第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线
26、性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 +a31 a12 a23+a21 a32 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33 a31 a22 a13 第26页，共31页，编辑于2022年，星期二3.n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann证明：证明：第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式
27、行列标逆序行列标逆序数之和的奇数之和的奇偶性不变偶性不变 第27页，共31页，编辑于2022年，星期二4.行列式的转置行列式的转置(Transpose)性质性质1|AT|=|A|.记记|A|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 anna11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann,|AT|=第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 或或|A|=|B|第28页，共31页，编辑于2022年，星期二1.1-2 方
28、阵的行列式方阵的行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 三三.排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 四四.n阶行列式的定义阶行列式的定义 二二.三阶行列式的特点三阶行列式的特点|A|:Rnn REx.第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解=|AT|对角线法则对角线法则第29页，共31页，编辑于2022年，星期二(A)填空题选择题：作为课下练习填空题选择题：作为课下练习一一.(A)1(1-7),(B)1,2,3(B)留作业留作业每周三交作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做课下提高题：有时间的话尽量做第30页，共31页，编辑于2
29、022年，星期二趣味思考题趣味思考题一一一一.试证试证明在二明在二明在二明在二维维平面上，平面上，平面上，平面上，2 2阶阶行列式行列式行列式行列式 的的的的绝对值绝对值是以是以是以是以 =(a a11,a a21),=(a a1212,a a2222)为邻边为邻边的平行四的平行四的平行四的平行四边边形的面形的面形的面形的面积积。提示：在二提示：在二维平面上，平面上，=(a a1111,a a2121)=(a a12,a2222)(1)(1)试计试计算算算算 =(a a1212,a a2222)=)=(a a11,a a2121)时的平行四的平行四边形面形面积；(3)试说明明 与与D的关系；的关系；的关系；的关系；(2)(2)试说试说明明明明 与与与与D的关系；的关系；第31页，共31页，编辑于2022年，星期二